上海市某校2025~2026学年高一上册（9月）月考数学试卷【含答案】

这是一份上海市某校2025~2026学年高一上册（9月）月考数学试卷【含答案】，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.非空数集A⊆R，同时满足如下两个性质：(1)若a,b∈A，则ab∈A；(2)若a∈A，则1a∈A.则称A为一个“封闭集”，以下叙述：
①若A为一个“封闭集”，则1∈A；
②若A为一个“封闭集”且a,b∈A，则ab∈A；
③若A,B都是“封闭集”，则A∩B是“封闭集”的充要条件是A⊆B或B⊆A；
④若A,B都是“封闭集”，则A∪B是“封闭集”的充要条件是A⊆B或B⊆A．
正确的是( )
A. ①③④B. ①②③④C. ①②③D. ①②④
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
2.已知二次函数y=x2−2x+3,x∈[a,3]的最小值是2，最大值是6，则a的取值范围 ．
3.如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘,AC=20,BC=24，分别以点A,B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P,Q，过P,Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ．
4.菱形ABCD的面积为24，点E是AB中点，F是BC上动点，若▵BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
5.若关于x的分式方程k−1x+1=2的解为负数，则k的取值范围为 ．
6.如图，点A是反比例函数y=−4x(x0)的图像交于点B，则|AO||BO|= ．
7.已知x1,x2为方程x2+4x+2=0的两实根，则x13+14x2+5= ．
8.如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为B，将▵ABO绕点A逆时针旋转到▵AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=−34x上，再将▵AB1O1绕点B1逆时针旋转到▵A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线y=−34x上，以此进行下去……若点B的坐标为(0,3)，则点B21的纵坐标为 ．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.(本小题15分)
(1)记集合A=xx=a2,a∈N ，集合B=x| x=4k或 x=4k+1,k∈N，证明：A⊂B；
(2)证明：形如︸111⋯11n个1n∈N且 n≥2，不能表示成两个自然数的平方和．
10.(本小题15分)
已知m:x∈A,A=[−3,2]；n:x∈B，非空集合B=x|x2+2x+a≤0．
(1)求实数a的取值范围：
(2)若m是n的充分条件，求实数a的取值范围；
(3)若m是n的必要条件，求实数a的取值范围
11.(本小题15分)
函数y=x2−2x−3的图像与x轴交于A(a,0),B(−1,0)，与y轴交于点C(0,c)
(1)求a,c的值：
(2)已知M是函数y=x2−2x−3图像对称轴l上的一点，若▵MAC为等腰三角形，求出所有满足条件的M的坐标：
(3)已知F是函数y=x2−2x−3上一点，若▵BCF是直角三角形，求出所有满足条件的点F的坐标．
12.(本小题15分)
对集合1,2,⋯,n及其每一个非空子集A，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将A中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集1,2,4,6,9的“交替和”是9−6+4−2+1=6，子集5,6的“交替和”是6−5=1，子集2的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将A中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合1,2,4,6,9的“交替积”是9÷6×4÷2×1=3，5,6的“交替积”是6÷5=1．2，2的“交替积”是2．
(1)对于1,2,3,4,5,6,7,8,9，求其所有子集的“交替和”的总和；
(2)对于1,2,⋯,n，求其所有子集的“交替和”的总和；
(3)对于n495n+2∈N,n∈Z 求其所有子集的“交替积”的总和．
参考答案
1.D
2.[−1,1]
3.113/323
4.10
5.k12BC，
由此可得：对称轴右侧，BG上方抛物线上的点一定在圆外，
∵点F在圆上，∴F不在抛物线上．
综上所述：点F的坐标分别是73,−209或103,139．

12.【详解】(1)集合1,2,3,4,5,6,7,8,9的子集中，除去9外还有29−2个非空子集，
把这29−2个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和，
组合原则是设Ai=9,a1,a2,...，Ai1=a1,a2,...，集合Ai1的元素为集合Ai中去掉9的所有元素，把Ai和Ai1结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为9，共有29−22组，所以，所有“交替和”之和应该为929−22+9=2304
(2)集合1,2,⋯,n的子集中，除去n外还有2n−2个非空子集，
把这2n−2个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和，
组合原则是设Ai=n,a1,a2,...，Ai1=a1,a2,...，集合Ai1的元素为集合Ai中去掉n的所有元素，把Ai和Ai1结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为n，共有2n−22组，所以，所有“交替和”之和应该为n2n−22+n=n⋅2n−1；
(3)集合n495n+2∈N,n∈Z =493,163,97,53,43,31,13,9,7,3,1,−1，
其中除去−1外还有212−2个非空子集，
把这把这212−2个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替积”之积，
组合原则是设Aj=−1,a1,a2,...，Aj1=a1,a2,...，集合Aj1的元素为集合Aj中去掉−1的所有元素，把Aj和Aj1结合为一组，显然，每组的“交替积”的和为0，共有212−22组，所以，所有“交替积”之和应该为212−22×0−1=−1．