陕西省咸阳市乾县杨汉中学2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷【含答案】

这是一份陕西省咸阳市乾县杨汉中学2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷【含答案】，共17页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
2．复数，则（ ）
A．2B．4C．2iD．4i
3．已知，若不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．3B．1C．5D．7
4．椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．空间内有三点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．已知三角形三个顶点，，，则边上中线所在直线方程是
A．B．C．D．
7．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
8．设，圆．若动直线与圆M交于点A，C，动直线与圆M交于点B，D，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，，，，则（ ）
A．平面的一个法向量是
B．直线的单位方向向量是
C．点到直线的距离为
D．四点共面
11．如图，在长方体中，，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，，P，D三点共线
B．当时，
C．当时，平面
D．当时，平面
三､填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分.）
12．已知直线在轴上的截距为1，则 .
13．如图，在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则，满足的关系式为 .
14．已知直线 过定点 ，直线 过定点 的交点为C，则的最大值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．如图，在平行六面体中，，，设向量，，.
(1)用、、表示向量，并求；
(2)证明：直线平面.
16．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为．
(1)若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程；
(2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程．
17．如图，是圆的直径，直线平面，且为圆周上一点，.
(1)求点到平面的距离；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图所示，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，、、分别为，，的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在一点？使得点到平面的距离为，若存在，请说明点的位置.
19．如图，平面，，，，，．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求证：平面；
(3)若平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长．
参考答案
1．A
根据空间中点的坐标确定方法知，空间中的点，
在坐标平面上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变.
所以空间向量，在坐标平面上的投影向量坐标是：.
2．B
复数，则.
3．B
若不能构成空间的一个基底，
共面，
存在，使，
即，
解得，
4．C
由椭圆定义可知，，得，
又椭圆的两个焦点是和，
所以椭圆焦点在x轴上，且，所以，
所以，所求椭圆的标准方程为.
5．B
因为，所以，
.所以，，
点P到直线EF的距离为.
6．C
由，，得的中点坐标为，，
又，
．
边上中线所在直线方程是，即．
7．C
因为，，，
由余弦定理得，
所以，
所以为直角三角形，且，
以为原点，建立如图直角坐标系：
所以，
所以，
所以.
8．A
由，圆心，半径为，
、均恒过点，
由知，且，即在圆内，如下图示，
所以，设分别是的中点，则，
令，则，
所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号，故最大值为.
9．ACD
是空间的一个基底，故不共面，
对于A选项，假设共面，
则存在唯一实数使得，
则，所以为共面向量，
故不能构成空间的一个基底，故A正确；
对于B选项，假设共面，
则存在唯一实数使得，
所以，无解，故不共面，故可构成空间的一个基底，故B错误；
对于C选项，假设共面，
则存在唯一实数使得，
所以，解得，故共面，
故故不能构成空间的一个基底，故C正确；
对于D选项，假设共面，
则存在唯一实数使得，
所以，解得，故共面，
故故不能构成空间的一个基底，故D正确.
10．AD
对于A：设平面的法向量是，因为，，
所以，则，令，可得，正确；
对于B：因为，，
所以直线的单位方向向量是或，
（注意直线的单位方向向量有2个，互为相反向量），错误；
对于C：，，，
则点到直线的距离为，错误；
对于D：由题意得，则，所以，四点共面，正确.
11．ACD
由题意，如图建系：
则，
，
设，，则，
可得，
，
对于A：当时，则点P为对角线的中点，
根据长方体性质可得三点共线，故A正确；
对于B：当时，
∴，解得，
所以，
则，
因此不正确，故B错误；
对于C：当时，，
设平面的法向量为，
，
∴，，
当时，，，故，
∴，∴，
又平面，∴平面，故C正确；
对于D：当时，可得，，
设平面的法向量为，
则，，
取，则，∴，
而，∴，∴平面，故D正确．
12．
因为直线，令，得到，
由题有，解得，
13．
因为
，
所以，
因为，，，
所以，
因为，，，四点共面，
所以，所以.
14．
根据的方程及，易知时，,恒过定点，
根据的方程，易知时，,
恒过定点.
则，则的最大值即求的最大值，
由，的方程可得：
当时，两直线垂直，
当时，，两直线垂直，
所以可得，
所以交点的轨迹为以为直径的圆，
所以的最大值即为直径，
即两点重合时，最大，最大值为.
15．（1）解：，
由已知可得，，
因此，.
（2）证明：，则，
，，
则，
，、平面，因此，平面.
16．（1）∵直线的方程为，其斜率为，
∵，∴，又，
∴由点斜式得直线的方程为，即.
（2）设点，则线段的中点为，
将其代入所在直线方程中，得，
将点代入所在的直线方程中，得，
解得，即，
设点关于直线对称点为，
则，得，即，
因三点共线，则，
所以直线所在的直线方程为，即．
17．（1）因为直线平面，平面，
，
由是圆的直径，可得，
又因为，平面，
所以平面，
点到平面的距离为.
（2）
以为原点，以所在直线为轴，轴，
过点作平面的垂线，并以该直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，
取，则，则，
设直线与平面的夹角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，
则，
，于是，
即，因此直线，
而平面，则平面；
又，则，直线，
而平面，则平面，又点平面，
所以平面平面.

（2）假设存在点到平面的距离为，且，，
所以，则，
由（1）知，是平面的一个法向量，
所以点到平面的距离，
所以，可得或，
所以，当为靠近的三等分点或与重合时，满足要求.
19．（1）依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），
则，
可得，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2）设，则，
由题意可知：平面的法向量为，且，
可得，则，
且平面，所以平面.
（3）设为平面的法向量，则，
令，则可得，
由题意可得：，
整理可得，解得或（舍去），
所以线段的长为．