内蒙古呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷【附解析】

这是一份内蒙古呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷【附解析】，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.与向量a=(2,3,6)共线的单位向量是( )．
A. 27,37,67B. −27,−37,−67
C. 27,−37,−67和−27,37,67D. 27,37,67和−27,−37,−67
2.若向量a=(1,λ,2),b=(2,−1,2)，且a与b的夹角的余弦值为89，则λ=( )
A. 2B. −2C. −2或255D. 2或−255
3.四棱锥P−ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是( )
A. 155B. 105C. 63D. 62
4.空间向量a=(1,0,1)在b=(0,1,1)上的投影向量为( )
A. 12,0,12B. 22,0, 22C. 0,12,12D. 0, 22, 22
5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别是BC1,CD1的中点，则下列判断错误的是( )
A. MN⊥CC1B. MN⊥平面ACC1A1
C. MN//平面ABCDD. MN//A1B1
6.设x,y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)且a⊥c，b//c，则a+b=( )
A. 2 2B. 10C. 3D. 4
7.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，若AB=AD=2 3,CC1= 2，则二面角C1−BD−C的大小为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
8.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，EF//AB，若AB=3EF，▵ADE和▵BCF都是正三角形，且AD=2EF，则异面直线DE与BF所成角的大小为( )
A. π2B. π4C. π3D. π6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，记平面A1C1B与平面ABCD的交线为l，则下列结论正确的是( )
A. l//平面AB1CB. l⊥A1B
C. l与BC1所成角大小为π3D. l⊂平面AB1C
10.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，AB=AD=AA1=1，下列说法正确的是( )
A. AB+AD+AA1=AC1B. A1C=2
C. A1A⋅BD=0D. A1B⋅DB=1
11.如图，棱长均为2的正三棱柱ABC−A1B1C1中，M、N分别为AB、BB1的中点，则( )
A. B1C1//平面A1CM
B. AN⊥A1C
C. 直线A1M与B1C1所成角的余弦值为 510
D. 点B1到平面A1CM的距离为4 55
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(5,3,1)，b=−2,t,−25，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ．
13.α,β是两个平面，m,n,l是三条直线，有下列四个命题：
①若m//n,n//l，则m//l；
②若m//n,m//α,则n//α
③若α//β,m⊂α，则m//β.
④若m//n,α//β,则m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有
14.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF ②AB与CM成60° ③EF与MN是异面直线 ④MN//CD，其中正确的是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=(2,−1,3)，b=(−4,2,x)，c=(1,−x,2)．
(1)若a//b，求x的值；
(2)若a+b⊥c，求x的值．
16.(本小题15分)
四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DA=2，F、E分别为AD、PC的中点．

(1)证明：DE//平面PFB；
(2)求点D到平面PFB的距离．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D,E,F分别为AA1,AC,A1C1的中点，AB=BC= 5，AC=AA1=2．
(1)求证：AC⊥平面BEF；
(2)求二面角B−CD−C1的余弦值；
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD 为直角梯形，AB // CD，∠DAB=∠PCB=60°,CD=1,AB=3,PC=2 3，平面PCB⊥平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点．
(1)证明：PF⊥AD；
(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为 74．
19.(本小题17分)
如图，直角梯形BDFE中，EF//BD,BE⊥BD,EF=2 2，等腰梯形ABCD中，AB//CD,AC⊥BD,AB=2CD=4，且平面BDFE⊥平面ABCD．
(1)求证：AC⊥平面BDFE；
(2)若BF与平面ABCD所成角为π4，求二面角B−DF−C的余弦值．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.C
5.D
6.C
7.A
8.A
9.AC
10.ACD
11.BCD
12.−∞,−65∪−65,5215
13.①③④
14.①③
15.【详解】解：(1)b=λa，
∴2λ=−4−λ=2x=3λ,
∴x=−6．
(2)a+b=(−2,1,3+x)，
∵(a+b)⊥c，
∴(a+b)⋅c=0，
∴−2−x+2(3+x)=0，
∴x=−4．

16.【详解】(1)取PB中点G，连接EG，FG，

因为E,G分别是PC,PB的中点，所以EG//BC，EG=12BC
而DF//BC，DF=12BC，所以EG//DF且EG=DF，
因此四边形DEGF是平行四边形，所以DE//FG，
又DE⊄平面PFB，FG⊂平面PFB，
所以DE//平面PFB．
(2)设点D到平面PFB的距离d，点D到平面PFB的距离可以看成三棱锥D−PFB以PFB为底面的高，
由VD−PFB=VP−DFB，故13S▵PFB⋅d=13S▵DFB⋅PD
由于PF= PD2+DF2= 5，BF= AF2+AB2= 5，
PB= PD 2+BD2= PD 2+BA2+AD2=2 3，
故S▵PFB=12PB× PF2−PB22= 6，S▵DFB=12DF×AB=1，
故13× 6×d=13×1×2，解得d= 63，
故D到平面PFB的距离为 63．

17.【详解】(1)在三棱柱ABC−A1B1C1中，
∵CC1⊥平面ABC，
故四边形A1ACC1为矩形．
又E,F分别为AC,A1C1的中点，
∴AC⊥EF，
又∵AB=BC，
∴AC⊥BE，
∵BE∩EF=E,BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF
∴AC⊥平面BEF．
(2)由(1)知，EF//CC1
由CC1⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC．
如图建立空间直角坐称系E−xyz．
由题意得B(0,2,0),C(−1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1)，
F(0,0,2),G(0,2,1)，
∴CD=(2,0,1),CB=(1,2,0)设平面BCD的法向量为n=(a,b,c)，
∴n⋅CD=0n⋅CB=0,
∴2a+c=0a+2b=0,
令a=2，则b=−1,c=−4，
所以平面BCD的法向量n=(2,−1,−4)，
又平面CDC1的法向量为EB=(0,2,0)，
∴cs〈n⋅EB〉=n⋅EB|n|⋅|EB|=− 2121．
所以二面角B−CD−C1的余弦值为− 2121．

18.【详解】(1)过D作DM⊥AB，垂足为M，
由题意知：BCDM为矩形，可得AM=2,BC=DM=AMtan60°=2 3，
由PC=2 3,∠PCB=60°，则▵PBC为等边三角形，且F为线段BC的中点，则PF⊥BC，
又因为平面PCB⊥平面ABCD，平面PCB∩平面ABCD=BC，PF⊂平面PCB，
可得PF⊥平面ABCD，且AD⊂平面ABCD，
所以PF⊥AD．
(2)由(1)可知：PF⊥平面ABCD，
取线段AD的中点N，连接NF，则FN//AB，FN=2，
又因为AB⊥BC，可知NF⊥BC，
以F为坐标原点，NF,FB,FP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则A3, 3,0,D1,− 3,0,P(0,0,3),B0, 3,0，
因为E为线段PF上一点，设E(0,0,a),a∈[0,3]，
可得DA⃗=2,2 3,0,DP⃗=−1, 3,3,BE⃗=0,− 3,a，
设平面PAD的法向量n=(x,y,z)，则n⃗⋅DA⃗=2x+2 3y=0n⃗⋅DP⃗=−x+ 3y+3z=0,
令x=−3，则y= 3,z=−2，可得n⃗=−3, 3,−2，
由题意可得：csn,BE=n⋅BEn⋅BE=|2a+3|4× 3+a2= 74，
整理得a2−4a+4=0，解得a=2，
所以当EF=2，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为 74．

19.(1)∵平面BDFE⊥平面ABCD，AC⊥BD，平面BDFE∩平面ABCD=BD，
又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDFE；
(2)设AC∩BD=O，∵四边形ABCD为等腰梯形，∠DOC=π2,AB=2CD=4，
∴OD=OC= 2,OB=OA=2 2，
∵FE//OB，∴四边形BOFE为平行四边形，∴OF//BE，
又∵BE⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD，
∴∠FBO为BF与平面ABCD所成的角，∴∠FBO=π4，
又∵∠FOB=π2，∴OF=OB=2 2，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，
则B0,2 2,0,D0,− 2,0,F0,0,2 2,C− 2,0,0,A2 2,0,0，DF=0, 2,2 2,CD= 2,− 2,0，
∵AC⊥平面BDFE，∴平面BDF的法向量为(1,0,0)，
设平面DFC的一个法向量为n=(x,y,z)，
由DF·n=0CD·n=0得 2y+2 2z=0 2x− 2y=0，令x=2得，n=(2,2,−1)，
csn,AC=21· 22+22+12=23，∴二面角B−DF−C的余弦值为23．