江苏省扬州市广陵区扬州大学附属中学2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷【附解析】

这是一份江苏省扬州市广陵区扬州大学附属中学2025~2026学年高二上册（10月）月考数学试卷【附解析】，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过两点P(0,−3),Q(− 3,0)的直线的倾斜角为( )
A. 30 ∘B. 60 ∘C. 120 ∘D. 150 ∘
2.圆心为O−1,1，半径为3的圆的方程为( )
A. x−12+y+12=3B. x+12+y−12=3
C. x+12+y−12=9D. x−12+y+12=9
3.设直线l1:x+2ay−5=0，l2:3a−1x−ay−2=0，则a=1是l1⊥l2的( )
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知直线x+ay+2a=0与直线2x+a+3y+2=0平行，则这两条平行直线间的距离为( )
A. 4B. 102C. 2 105D. 105
5.已知直线l1:x−y+1=0，l2:2x−y−1=0，则过l1和l2的交点且与直线3x+4y−5=0垂直的直线方程为( )
A. 3x−4y−1=0B. 3x−4y+1=0C. 4x−3y−1=0D. 4x−3y+1=0
6.已知圆x2+y2+2x−2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a的值是( )
A. −3B. −2C. −1D. −4
7.由曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为( )
A. π+4B. 2π+4C. 4π+4D. 4π+8
8.设直线l:x+y−2=0，一束光线从原点O出发沿射线y=kxx≥0向直线l射出，与l交于点P，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N.若光线所经长度OP+PM+MN=2 5，则k的值为( )
A. 32B. 23C. 12D. 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1:x−y−1=0，动直线l2:k+1x+ky+k=0k∈R，则下列结论正确的是( )
A. 任意k,l2总过一定点B. 存在k，使得l2的倾斜角为90∘
C. 存在k，使得l1与l2平行D. 存在k，使得l1与l2垂直
10.已知圆C:x2+y2+4x−2y=0，点Px,y在圆C上，下列结论正确的是( )
A. 圆心在第二象限B. 圆的面积是5π
C. 直线y=kx+2与圆C必定相交D. x2+y2的最大值是20
11.已知点M−1,1，N2,1，且点P在直线l:x+y+2=0上，则( )
A. 存在点P，使得PM=PNB. 存在点P，使得PM⊥PN
C. 存在点P，使得2PM=PND. 存在点P，使得PM+PN=6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点A3,4，且在x轴上截距为3的直线方程是 ．
13.在平面直角坐标系xOy中，点Px,y在直线x+2y−5=0上，当OP最小时，P点的坐标为 ．
14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2+y2−6−2mx−4my+5m2−6m=0，直线l经过点1,0.若对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
▵ABC的顶点A，B，C的坐标分别为A−8,0，B0,6，C1,3．
(1)AC边上的中线BD的方程；
(2)▵ABC的外接圆方程．
16.(本小题15分)
如图，平面直角坐标系xOy中，▵AOB和△COD都是等腰直角三角形，A−2,0，Ca,0a>0.设▵AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N．

(1)若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；
(2)若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程．
17.(本小题15分)
已知⊙C:x−12+y−22=4及经过点P−1,−1的直线l．
(1)当l与⊙C相切时，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆相交于A，B两点，且PA=2PB，求AB的长．
18.(本小题17分)
已知点A，B分别是两射线y=xx≥0和y=−12xx≥0上的两点，点P3,0．
(1)若点P是线段AB的中点，求线段AB的长；
(2)若线段AB的中点M在直线y=12x上，且直线AB与圆x2+y2=29相切，求直线AB的方程；
(3)若点P在直线AB上，O为坐标原点，求▵OAB面积的最小值，并求取最小值时直线AB的方程．
19.(本小题17分)
已知圆x2+y2=25，▵ABC内接于此圆，A点的坐标3,4，O为坐标原点．
(1)若直线BC的方程是2x+y−5=0，求▵ABC的面积；
(2)若▵ABC的重心是G53,2，求直线BC的方程(三角形重心是三角形三条中线的交点，且三等分所在中线)；
(3)若直线AB与直线AC的倾斜角互补，求证：直线BC的斜率为定值．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.B
5.D
6.B
7.D
8.C
9.AB
10.ABD
11.ACD
12.x−3=0
13.1,2
14.2x+y−2=0
15.【详解】(1)由题意，AC边的中点为D(−72,32)，因B0,6，则直线BD的斜率为kBD=6−320−−72=97，
于是AC边上的中线BD的方程为y−6=97x，即9x−7y+42=0．
(2)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
因点A，B，C在圆上，则有
−8D+F+64=06E+F+36=0D+3E+F+10=0，解得：D=8E=−6F=0,
故▵ABC的外接圆的方程是x2+y2+8x−6y=0

16.【详解】(1)因▵AOB是等腰直角三角形，A−2,0，则B(0,2)，▵AOB的外接圆圆心M为AB的中点，
故M−1,1，圆M的半径为12|AB|=12×2 2= 2，则圆M的方程为x+12+y−12=2．
又△COD是等腰直角三角形，Ca,0，则直线CD的倾斜角为34π，斜率为−1，
故直线CD的方程为y=−(x−a)，即x+y−a=0．
因⊙M与直线CD相切，则M−1,1到直线x+y−a=0的距离d=−a 2= 2，
解得：a=±2(因a>0，舍去负值)，故直线CD的方程为x+y−2=0．
(2)因直线AB的倾斜角为π4，A−2,0，则其方程为：x−y+2=0，
易得D(0,a)，则△COD的外接圆⊙N的圆心为N(a2,a2)，半径为12 a2+a2= 22a，
则圆心N(a2,a2)到直线x−y+2=0距离为a2−a2+2 2= 2．
因直线AB截⊙N的所得弦长为4，则得22+ 22=( 22a)2，解得a=±2 3(因a>0，舍去负值)．
故⊙N的标准方程为x− 32+y− 32=6．

17.【详解】(1)当直线l的斜率不存在时，直线l:x=−1，
圆心C1,2到x=−1的距离为2，等于半径，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设l:y+1=kx+1，即kx−y+k−1=0，
由k−2+k−1 1+k2=2，解得k=512，所以l的方程为5x−12y−7=0；
故直线l的方程为x+1=0或5x−12y−7=0．
(2)

如图，取AB的中点为M，设AM=x，连CM,PC，则CM⊥AB，
又PA=2PB，则PM=32AB=3x，|PC|2=1+12+2+12=13，
在Rt▵PCM中，有3x2+|CM|2=13①，在Rt▵CBM中，|CM|2+x2=4②，
联立①和②，解得x=3 24，故AB=2x=3 22．

18.【详解】(1)若直线AB的斜率不存在，即AB的方程为x=3，易得A3,3，B(3,−32)，
此时AB中点坐标(3,34)，不是点P，不合题意；
即直线AB的斜率存在，不妨设为k，依题意k1，
此时AB的方程为y=kx−3，
由y=xy=k(x−3)可得A(3kk−1,3kk−1)，
由y=−12xy=k(x−3)可得B(6k2k+1,−3k2k+1)，
因AB的中点为P3,0，则3kk−1+6k2k+1=63kk−1−3k2k+1=0,
解得：k=−2，则A2,2，B4,−2，
则AB= 2−42+2+22=2 5．
(2)

若直线AB的斜率不存在，即AB的方程可设为x=t，t>0，易得A(t,t),B(t,−12t)，
此时AB的中点为(t,14t)显然不在直线y=12x上，不合题意；
即直线AB的斜率存在，设为k，且k1，
此时，可设直线AB的方程为：y=kx+mm≠0，
由y=kx+my=x可得A(−mk−1,−mk−1)，
由y=kx+my=−12x可得B−2m2k+1,m2k+1，
则AB的中点为M−mk−1−2m2k+12,−mk−1+m2k+12，
因点M在直线y=12x上，则−mk−1+m2k+12=12×−mk−1−2m2k+12
因m≠0，解得：k=52，故直线AB的方程可化为5x−2y−2m=0，
又直线5x−2y−2m=0与圆x2+y2=29相切，
则2m 52+22= 29，解得2m=29或2m=−29,
当2m=−29时，直线AB与两射线不相交，不合题意，
故2m=29，此时直线AB的方程为5x−2y−29=0．
(3)当直线斜率不存在时，由(1)的结论，
可得S△OAB=12×OP×AB=12×3×(3+32)=274；
当AB的斜率存在时，设为k，依题意k1，
则直线AB的方程为y=kx−3，
由(1)可得A(3kk−1,3kk−1)，B(6k2k+1,−3k2k+1)
又S△OAB=S△OAP+S△OBP=12×OP×(yA−yB)
=32(3kk−1+3k2k+1)=32×9k22k2−k−1=272[2−(1k+1k2),
设t=1k，则−2