山东省烟台市中英文学校2024-2025学年高二上学期期中模拟数学试题及答案

这是一份山东省烟台市中英文学校2024-2025学年高二上学期期中模拟数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得答案.
【详解】解：因为直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
则有，解得，
所以其倾斜角为．
故选：A．
2. 直线的一个方向向量为，且直线经过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，先求出直线的斜率，再结合直线的点斜式公式，即可求解．
【详解】直线的一个方向向量为
则直线的斜率为，
直线过点，
则，即．
故选：A．
3. 空间四边形中，，点在上，，点为中点，则 （ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用空间向量的运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】空间四边形OABC中，，
且点在上，，点为的中点，
连接，可得.
故选：B.

4. 以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线过定点可得圆心坐标，再结合半径可得圆的方程.
【详解】由，得，
令，则，
即直线恒过定点，
则圆的方程为，即，
故选：D.
5. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角.
【详解】设与的夹角为，由，得，
两边同时平方得，
所以1，解得，
又，所以.
故选：D
6. 如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，用向量方法求角，先求向量与的夹角，再转化为线线角即可.
【详解】如图，由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
不妨设，则，
则，
则，
又由两直线所成角的范围为，
则直线与所成的角为.
故选：C.

7. 在中，点，点，点A满足，则面积的最大值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据，得到方程，求出点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点），数形结合得到点到直线的距离最大值为，求出面积的最大值.
【详解】设，则，
由得，
化简得，
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点），
故点到直线距离最大值为，
故面积的最大值为.
故选：B
8. 已知圆O的方程为，过圆O外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A､B，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积运算求得，即.设，由直线与圆的关系建立不等式组，求解即可.
【详解】解：由，得即，所以，即.设，根据题意，直线与圆有公共点，所以，解得（当直线与圆相切时取等号），即的取值范围为.
故选：C.
二、多选题
9. 已知直线l经过点，.则下列结论中正确的是（ ）
A. 直线l的斜率是
B. 直线l的倾斜角是
C. 直线l的方向向量与向量平行
D. 直线l的法向量与向量平行
【答案】AD
【解析】
【分析】根据两点表示斜率即可判断A；由推不得即可判断B；根据共线向量的坐标表示即可判断CD.
【详解】A：由题意，知直线l的斜率是，故A正确；
B：直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误；
C：直线l的一个方向向量为，因为，
所以直线l的一个方向向量与向量不平行，故C错误；
D：直线l的一个法向量为，因为，
所以直线l的一个法向量与向量平行，故D正确.
故选：AD
10. 给出下列命题正确的是（ ）
A. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则与平行
B 直线恒过定点
C. 已知直线与直线垂直，则实数的值是
D. 已知三点不共线，对于空间任意一点，若，则四点共面
【答案】BD
【解析】
【分析】根据空间向量、直线过定点、直线垂直、四点共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，所以与不平行，A选项错误.
B选项，由，
得，由，
解得，所以定点为，B选项正确.
C选项，由，
解得或，C选项错误.
D选项，由于，
其中，所以四点共面，D选项正确.
故选：BD
11. P为棱长为2的正方体表面上的一个动点，则（ ）
A. 当P在线段上运动时，三棱锥的体积是定值
B. 当P在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是
C. 当P在面ABCD内运动时，R为棱的中点且平面，则点P的轨迹长度为
D. 当P在面内运动时，Q为棱BC的中点且，则的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知可得，平面，则直线上任意一点到平面的距离都相等，则三棱锥的体积是定值，即可判断A；由，则异面直线与所成的角就是直线与所成的角，即可判断B；由已知所在的平面为如图所示正六边形，该正六边形的六个顶点分别为对应棱的中点，则点P的轨迹即为，求出，即可判断C；建立空间直角坐标系，由，可得，设，由空间向量坐标运算，可求得，即三棱锥的高取得最大值，则求得的最大值为，即可判断D.
【详解】
对于A选项，因为且，故四边形为平行四边形，
所以，平面，平面，平面，
所以直线上任意一点到平面的距离都相等，即为三棱锥的高，
则三棱锥的体积是定值，故A正确；
对于B选项，设直线与所成的角为，因为，
所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，
当在线段的端点处时，，
当在线段的中点时，，所以，故B错误；
对于C选项，P在面ABCD内运动时，R为棱的中点，
因为平面，
作过的平面，平面平面，
该六边形的六个顶点分别为对应棱的中点，
则所在的平面为如图所示正六边形，
设中点为，点P的轨迹即为，
则，故C正确；
对于D选项，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
因为P在面内运动，Q为棱BC的中点，
因为在正方体中，平面，
平面，所以，则是直角三角形，
同理，则是直角三角形，
又，则，
即，所以，则，
因为，设，，
则即为三棱锥的高，
所以，
整理得，，
当时，，即三棱锥的高取得最大值，
又，
此时，
.即的最大值为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得.
【详解】直线与直线平行，则，解得，
直线为，
所以它们之间的距离是.
故答案为：
13. 在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为_______.
【答案】##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系设，根据异面直线与，与所成角求出，再应用空间向量公式计算点到平面距离即可.
【详解】如图建立以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为x轴，所在直线为z轴的空间直角坐标系，
且设，
则，则，
因为异面直线与所成角为，所以
因为异面直线与所成角为，所以
计算可得，
设平面法向量为n=x,y,z，则，
令，则
因为，
则点到平面的距离.
故答案为：.
14. 已知动圆，则圆在运动过程中所经过的区域的面积为______；为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点为A、B，当时，的取值范围为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】分析可得动圆的圆心，半径，在以圆心，半径的圆上，圆在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积；由倍角公式及几何关系可得，分析的范围结合换元法即可求．
【详解】动圆的圆心，半径，
令，则由得在以圆心，半径的圆上．
圆在运动过程中所经过的区域的面积相当于以圆心，半径为的圆的面积，
即；
到直线的距离，
由，则，即，
，
令，则，则，
由对勾函数在上单调递增，故，
有.
所以的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题
15. 已知顶点、、．
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程；
（2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解.
【小问1详解】
由、，
可知中点为，且，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
【小问2详解】
当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
16. 如图三棱柱中，，，，平面平面，D是棱AC的中点.
（1）求证：平面；
（2）求到直线BD的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于，证得，结合线面平行的判定定理，即可得证；
（2）利用面面垂直的性质，证得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和，结合距离公式，即可求解.
【小问1详解】
如图所示，在三棱柱中，连接交于，再连接，
因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
又因为是中点，所以，
因为平面A1BD，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为，
由余弦定理得，
所以，可得，
又由平面平面，平面平面，
所以平面，
又因为，故两两垂直，
以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
所以，，
且，
则，，，
所以C1到直线BD的距离为.
17. 已知圆C：与圆：.
（1）求C与相交所得公共弦长；
（2）若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求
【答案】（1）2
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，求得圆心到该直线的距离d，利用弦长公式可求得所求弦长；
（2）易知直线l的方程为，与圆C的方程联立，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，结合题意即可求得
【小问1详解】
由题意知，两圆的公共弦所在直线方程为
整理得，
圆心到直线的距离，
所以所求弦长为；
【小问2详解】
由题设可知直线l的方程为，
设Px1,y1，Qx2,y2，
将代入方程，
整理得，
所以，，
，
因为，
解得k=1，经检验，直线与圆有交点，
所以直线l的方程为，
故圆心C在直线l上，所以
18. 已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．
（1）求证：平面平面．
（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时．
【解析】
【分析】（1）如图，取的中点，连接，则，利用勾股定理的逆定理可证明，结合线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立如图空间直角坐标系，设线段上存在一点满足题意，记．利用空间向量法求解面面角，建立关于的方程，解之即可求解.
【小问1详解】
如图，取的中点，连接．

因为是等边三角形，为的中点，所以．
因为，所以．
因为，，，
所以四边形为矩形．所以．
又因为，所以，即．
因为，，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面．
【小问2详解】

如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则．
由题意知平面的法向量为．
设线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，
记．
因为，所以．
因为，所以．
又，
设平面的法向量为n=x,y,z，则
令，则，，即．
所以．
因为二面角的余弦值为，，
所以，解得或（舍去）．
所以线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时．
19. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为圆心的圆与线段相切．
（1）求圆O的方程；
（2）若直线与圆O相交于M，N两点，且，求c的值；
（3）在直线上是否存在异于A的定点Q，使得对圆O上任意一点P，都有（为常数）？若存在，求出点Q的坐标及的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，且
【解析】
【分析】（1）根据圆和直线的位置关系求得圆的方程.
（2）根据圆心到直线的距离列方程，化简求得的值.
（3）设出的坐标，根据列方程，利用特殊值求得的值，同时求得点的坐标.
【小问1详解】
由于，，则线段与轴平行，且与圆相切.
所以圆的圆心为，半径为，
所以圆的方程为.
【小问2详解】
由于，所以，
由于三角形是等腰直角三角形，所以到直线的距离为，
所以.
【小问3详解】
直线的方程为，假设存在符合题意的点，设，
则①，
由于的任意性，不妨设或，带入①得，
，解得或（舍去），
所以（负根舍去），
将带入①得，
整理得，则在圆上.
所以，这样的点是存在的，坐标为，此时.
【点睛】关键点睛：求解圆的方程，关键点在于求得圆心和半径.求解直线和圆的位置关系有关问题，可以利用圆心到直线的位置关系来进行求解.求解存在性问题，可先假设存在，然后根据需要满足的条件列式，再结合已知条件来进行判断.