山东省济宁市梁山县实验高级中学2024-2025学年高二上学期数学期中模拟题试题及答案

这是一份山东省济宁市梁山县实验高级中学2024-2025学年高二上学期数学期中模拟题试题及答案，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线的斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，结合倾斜角的范围即可求解.
【详解】由可得，
所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，
因为，所以，
故选：D.
2. 如图，在空间四边形中，设分别是，的中点， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的平行四边形法则得出，再由平面向量的三角形加法运算法则即可得出结果.
【详解】解：由题可知，分别是，的中点，
根据平面向量的平行四边形法则，可得，
再由平面向量的三角形加法法则，得出：
.
故选：C.
3. 如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据韦恩图，进行分析，结合古典概型计算即可.
【详解】，则,
则.
故选：B
4. 已知圆的一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，圆心坐标为，则此圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，设这条直径与轴交点为，与轴交点为，圆的半径为；由中点坐标公式可得，即可求出的值，再结合两点间距离公式可求出的值，根据圆的标准方程，即可求出结果．
【详解】根据题意，圆的一条直径的两个端点分别在轴和轴上， 设这条直径与轴交点为，与轴交点为，圆的半径为；
又由圆心坐标为，则有，解可得，
又，所以，
所以圆的方程为：.
故选：B．
【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题．
5. 设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】∵当a=1时，直线：x+2y﹣1=0与直线：x+2y+4=0，
两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，
故前者是后者的充分条件，
∵当两条直线平行时，得到，
解得a=﹣2，a=1，
∴后者不能推出前者，
∴前者是后者的充分不必要条件．
故选A．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．
6. 已知曲线，则的最大值，最小值分别为（ ）
A. ＋2，－2B. ＋2，
C. ，－2D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由，可知，，
且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：

又因为表示半圆上的动点与点的距离，
又因为，
所以的最小值为，
当动点与图中点重合时，取最大值，
故选：C．
7. 在下列命题中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项.
【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；
对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；
对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；
对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.
于是四个选项都是错的.
故选：A
8. 已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，求出点的轨迹方程，数形结合求得直线的斜率范围.
详解】设动点Mx,y，则，
化简得，
所以点的轨迹为圆，
如图，过点作圆的切线，连接，则，，
所以，同理，
则直线的斜率范围为.
故选：C.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．
9. 已知直线l一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 与直线垂直
B. 的倾斜角等于
C. 在y轴上的截距为
D. 圆上存在两个点到直线的距离等于
【答案】AD
【解析】
【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，利用圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系，再找到圆周上的点到直线的最近距离，即可判断D.
【详解】因为直线的一个方向向量，
所以直线的斜率，
又直线经过点，
代入点斜式方程可得，，即直线的方程为：.
对于A，将直线化为斜截式方程可得，，斜率为，
又直线的斜率，
因为，所以直线与直线垂直，故A正确；
对于B，由直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，，则，
所以，故B不正确；
对于C，令，代入直线的方程，得，
即直线在轴上的截距等于，故C不正确；
对于D，圆的圆心到直线的距离d=2332+12=3>r=1，
因此直线与圆相离，
又圆上点到直线的最近距离为，
因此可得圆上存在两个点到直线的距离等于，故D正确；
故选：AD.
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 设A，B是两个随机事件，“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件
B. 若，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立
C. 若三个事件A，B，C两两独立，则满足
D. 若事件A，B相互独立，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】通过运用互斥事件、独立事件以及充分条件和必要条件，即可解答.
【详解】A选项：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生，互斥事件是对立事件的必要条件，但对立事件是互斥事件的充分条件，所以“A与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故A选项错误；
B选项：若事件A，B相互独立与A，B互斥同时成立，那么若事件A，B相互独立，则；若事件A，B互斥，则，两者矛盾，故B选项正确；
C选项：考虑投掷两个骰子，记事件为第一个骰子的点数为奇数，事件为第二个骰子点数为奇数，事件为两个骰子的点数之和为奇数，于是有，,故C选项错误；
D选项：由题意，
又因为事件,相互独立，所以故D选项正确；
故选：BD.
11. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ）
A. 点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆
B. 轨迹C上的点到直线的最小距离为
C. 若点在轨迹C上，则的最小值是
D. 圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用两点距离公式计算可判定A，利用直线与圆的位置关系可判定B、C，利用两圆的位置关系可判定D.
【详解】设Px,y，由，
整理得，显然点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故A正确；
圆心到直线的距离，
所以轨迹C上的点到直线的最小距离为，故B错误；
设，易知圆心到直线的距离
，故C正确；
易知圆的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题意，
则圆心距，解之得，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分
12. 体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.
【详解】记“甲投中”，“乙投中”，
则，
所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为
故答案为：0.38.
13. 设，向量，，，且，，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解.
【详解】因为，，，且，，
所以，12=y−4=12，可得，，
所以，，，
所以.
故答案为：.
14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可．
详解】由题意可知，动直线，经过定点，
动直线即，经过定点，
时，动直线和动直线的斜率之积为，
时，也垂直，
所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点，
，
．
设，则，，
由且，可得，
，
，
，
，
，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围.
四、解答题：本大题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 若直线的方程为.
（1）若直线与直线垂直，求的值；
（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.
【答案】（1）1；（2），．
【解析】
【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得．
（2）当时，直线化为：．不满足题意．当时，可得直线与坐标轴的交点，．根据直线在两轴上的截距相等，即可得出．
【详解】解：（1）直线与直线垂直，
，解得．
（2）当时，直线化：．不满足题意．
当时，可得直线与坐标轴的交点，．
直线在两轴上的截距相等，，解得：．
该直线的方程为：，．
【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16. 在平行四边形中，，,将沿折起，使得平面平面，如图．
（1）求证：；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质定理确定平面，即可求证；
（2）建系，求得直线的方向向量和平面的法向量，代入夹角公式即可.
【小问1详解】
因为平面，平面平面
平面所以平面
又平面所以．
【小问2详解】
过点在平面内作，如图．由（1）知平面平面所以．
以为坐标原点，分别以的方向为轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐坐标系．
依题意，．
则．
设平面的法向量．则即．
取得平面的一个法向量．
设直线与平面所成角为，则sinθ=cs=n⋅ADnAD=63,
即直线与平面所成角的正弦值为．
17. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.
（1）求的值；
（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可.
（2）记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求解.
【小问1详解】
由题意得，
解得.
【小问2详解】
比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.
记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，
相互独立，
记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E，
则，且彼此互斥.
易得.
，
所以
所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.
18. 如果，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，
（1）求所在圆与所在圆的公共弦方程；
（2）求与的公切线方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出两段弧所在的圆的方程，两个圆的方程相减即可得公共弦所在的直线的方程；
（2）设出公切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】（1）所在的圆是以为圆心，半径为的圆，
所以所在圆的方程为，
所在的圆是以为圆心，半径为的圆，
所以所在圆的方程为，
两圆的方程相减可得：即；
（2）因为所在的圆是以为圆心，半径为的圆，
所在的圆是以为圆心，半径为的圆，
所以与所在圆的的公切线平行于经过点、的直线，
所以所求切线的斜率为，
设公切线的方程为，
则点到的距离，
解得：或（舍）
所以公切线的方程为.
19. 四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解答
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求解；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面的夹角，即可求解；
（3）设，利用空间向量法求解与平面的夹角，从而求解.
【小问1详解】
如图1，取的中点，连接.
因为且，又因为分别是的中点，
所以且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，平面，所以，
因为，所以，令，
又因为，，所以.
如图2，以为原点，所在方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，
所以
设点坐标为，则，
由得，则，
所以，，
设平面的一个法向量为，
由，令，则，
所以面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由，令，得，
所以平面的一个法向量为，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【小问3详解】
存在，，理由如下：
设，
所以设，所以，
所以，
因为与平面所成角的正弦值为，所以，
整理得，解得或（舍），
所以存在满足条件的点，，则.