精品解析：广东省深圳市第三高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

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考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：空间向量与立体几何、直线与圆的方程．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算即得.
【详解】由，，得.
故选：C
2. 已知直线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线垂直的充要条件求解即可.
【详解】因为直线与直线垂直
所以，
解得
故选：C
3. 已知向量，，且，则实数等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量垂直的坐标运算得到方程，解之即可求出结果.
【详解】，得.
故选：A.
4. 已知直线与圆相切，则实数a的值为（ ）
A. 3B. 6C. 或5D. 3或
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求解即可.
【详解】因为直线与圆相切，
所以，解得或
故选：D
5. 在平行六面体中，若，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理计算即得.
【详解】在平行六面体中，，
而不共面，且，因此，
所以.
故选：A
6. 已知直线的方向向量，直线的方向向量，则直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量求出线线角的余弦即可得解.
【详解】令直线与所成角为，依题意，，
而，所以.
故选：C
7. 已知圆C的方程为，点P在圆C上，O是坐标原点，则的最小值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简判断圆心和半径，利用圆的性质判断连接线段OC，交圆于点P时最小，再计算求值即得结果.
【详解】化简得圆C的标准方程为，故圆心是，半径，
则连接线段OC，交圆于点P时最小，因为原点到圆心的距离，故此时.
故选：B.
8. 已知四棱锥的底面是正方形，平面，若，则平面与平面夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，把四棱锥补形成长方体，确定出二面角的夹角即可计算得解.
【详解】四棱锥的底面是正方形，平面，则此四棱锥可补形成长方体，如图，

显然直线是平面与平面的交线，由平面，得，
因此是平面与平面所成二面角的平面角，
在中，，则，，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】按直线过原点和不过原，结合直线的截距式方程分类求解即得.
【详解】当直线过原点时，直线的斜率为，其方程为，；
当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，方程为，
所以所求直线方程为或.
故选：AC
10. 若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A. 17B. C. D. 1
【答案】AC
【解析】
【分析】根据空间向量夹角公式计算可得答案.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以，
解得或.
故选：AC.
11. 设圆：，点，若圆上存在两点到的距离为2，则的可能取值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】BCD
【解析】
【分析】将问题转化为以为圆心，为半径的圆与圆相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案.
【详解】根据题意设以为圆心，2为半径的圆为圆，
所以圆：，圆心为，半径为，则两圆圆心距为：，
因为圆上存在两点到的距离为2，所以圆与圆相交，
所以，解得：.
又，所以的可能取值为4,5,6
故选：BCD
12. 如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，､分别在､上，且，.则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 二面角的正切值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】以为x、y、z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，对于A：利用，即可判断；对于B：利用，即可判断；对于C：直接利用向量法求异面直线与所成的角；对于D：直接利用向量法求二面角的平面角余弦值，再求正切值.
【详解】以为x、y、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，则，，，，，.
因为，所以不正确，即A不正确；
因为，且与不在同一条直线上，所以，即B正确；
因为，故C正确；
，，令平面的一个法向量为，
则，不妨取，则，
又平面的一个法向量，
显然二面角的平面角为锐角，设为
所以，
所以，则，∴D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】由斜率公式与斜率的定义求解即可
【详解】由题意可得：，
解得，
故答案为：2
14. 空间直角坐标系中，点的坐标分别为，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间中两点间的距离公式即可求出结果.
【详解】.
故答案为：.
15. 已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．
【答案】
【解析】
【详解】考点：两条平行直线间的距离．
分析：通过直线的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通过平行线的距离公式求出距离即可．
解：直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行线的距离公式可知d==．
故答案为．
16. 如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：以D为原点，建立空间直角坐标系，设，再求出平面和平面的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案.
详解：以D为原点，以，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为
由题可知，，，，，
平面的一个法向量为轴，可取平面的法向量为
为平面的法向量，
令，则
二面角的大小为
，即
解得 ，（舍去）
故答案为
点睛：空间向量法求二面角
（1）如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线的倾斜角为60°.
（1）若直线过点，求直线的方程；
（2）若直线在轴上的截距为4，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线的倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可求解；
（2）根据直线的倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的斜截式方程即可求解.
【小问1详解】
∵直线的倾斜角为60°，
∴直线的斜率为，
∵直线过点，
∴由直线的点斜式方程得直线的方程为，即.
【小问2详解】
∵直线的倾斜角为60°，
∴直线的斜率为，
∵直线在轴上的截距为4，
∴由直线的斜截式方程得直线的方程为.
18. 已知空间三点，，，设，.
（1）求，；
（2）求与的夹角.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）由空间向量的坐标运算求解，
【小问1详解】
由题意得所以，
所以；
因为，，所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）可知，
又，所以，即与的夹角为.
19. 已知圆经过，两点，且与轴的正半轴相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆交于，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设圆的标准方程为：,根据已知条件列出方程组求解即可得出结果；
（2）求出圆心到直线的距离，根据，计算即可.
小问1详解】
设圆的标准方程为：，
由圆经过，两点，且与y轴的正半轴相切，
得，解得，
所以圆的标准方程为：.
【小问2详解】
圆心到直线的距离为 ，
所以，
20. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是的中点．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦、面面夹角的余弦得解.
【小问1详解】
在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，设平面的一个法向量，
则，令，得，令直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值.
【小问2详解】
由（1）知，平面的法向量，而平面的法向量，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
21. 已知两圆,，直线，
（1）当圆与圆相交且公共弦长为4时，求r的值；
（2）当r =1时，求经过圆与圆的交点且和直线l相切的圆的方程．
【答案】（1）3；(2)
【解析】
【分析】（1）根据圆的方程得两圆的相交弦的方程，再由圆与圆相交且公共弦长为4，得到相交弦过圆心，代入即可求解.
（2）设过圆与圆的圆系方程为，根据由圆心到直线的距离等于圆的半径，求得，即可得到圆的方程.
【详解】（1）由题意，圆，则圆心坐标，半径为，
又由圆，可得，
两式相减可得相交弦的方程，
因为圆与圆相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心，
即，解得；
（2）设过圆与圆的圆系方程为
即，
所以，
又由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，
解得，故所求圆的方程为.
【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系和直线与圆的位置关系，得出相交弦的方程和利用点到直线的距离公式，合理列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
22. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF平面ABCD，EF//AB， ，AD=2，AB= AF=2EF=l，点P在棱DF上．
（1）若P为DF的中点，求证：BF//平面ACP;
（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．
【答案】（1）证明过程详见解析；（2）
【解析】
【分析】试题分析：（1）连接BD，交AC于点O，连接OP．易知OP为三角形BDF的中位线，所以BF // OP，然后由直线与平面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，设出点P的坐标，并求出平面APF的法向量为，平面APC的法向量为 ，然后利用法向量夹角与平面夹角的关系列出一个等量关系，从而求出点P的坐标进而求出PF的长．
试题解析：（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．因为P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，
所以OP为三角形BDF中位线，
所以BF // OP，
因BF平面ACP，OP 平面ACP，
所以BF // 平面ACP．
（2）因∠BAF=90º，所以AF⊥AB，
因为 平面ABEF⊥平面ABCD，
且平面ABEF ∩平面ABCD= AB，
所以AF⊥平面ABCD，
因为四边形ABCD为矩形，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
所以 ， ，，．
因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．
设P点坐标为，
在平面APC中，， ，
所以 平面APC的法向量为 ，
所以 ，
解得，或 （舍）．此时．
考点：①证明直线与平面平行；②二面角的大小问题．
【详解】