辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题及答案

这是一份辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题及答案，文件包含辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题原卷版docx、辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
答题时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得集合M的补集，再根据集合交集的运算，即可得答案.
【详解】由题意得，所以，
故选：D
2. 已知命题，命题，则（ ）
A. 和均为真命题B. 和均为真命题
C. 和均为真命题D. 和均为真命题
【答案】B
【解析】
【分析】直接判断命题的真假，再根据命题的否定可判断.
【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题；
对于命题，当时，，所以为真命题.
综上，和均为真命题.
故选：B.
3. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到对任意恒成立，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】因为函数的定义域为，
所以对任意恒成立，
若，即时，则不等式可化为，解得，不满足题意；
若，即时，只需，解得.
故选：B.
4. 已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案.
【详解】因为数满足.
所以的图象关于对称.
因为函数对任意，且，都有成立，
所以在上为增函数.
又因为的图象关于对称，，
所以在为减函数，且.
用折线图表示函数的单调性，如图所示：
由图知：.
故选：D.
5. 下列各式错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于，由指数函数的性质可知，
当时，在上单调递减，所以，，B说法错误，D说法正确；
当时，在上单调递增，所以，，AC说法正确；
故选：B
6. 已知数若且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，画出图形，结合图形求出的取值范围．
【详解】设，则，为直线与函数图象的两个交点的横坐标，且，
由，得，则，
根据对勾函数的性质可知在上单调递减，
在上单调递增，且，， ，
所以的取值范围是．
故选：B．
7. 已知函数，若为偶函数，则实数（ ）
A. 0B. 1C. 3D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由为偶函数，得，进而代入解析式求解即可.
【详解】由为偶函数，得，
即，
即，
则，解得.
故选：C.
8. 已知函数 ．若，则实数的取值范围是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式得，将问题转化为，进而作出函数的图像，数形结合求解即可.
【详解】解：当时，，解得，
当时，，解得，
所以，当时，，
令时，或；令时，；令时，或，
所以，作出函数的图像如图，
当时，实数的取值范围是.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 若，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C.
【详解】对于A，取，但，故A错误；
对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，取，则，故D错误.
故选：BC.
10. 设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 有最小值1B. 有最小值2
C. 有最大值D. 有最大值8
【答案】AC
【解析】
【分析】利用乘“1”法即可判断A；根据基本不等式即可判断B；平方后利用基本不等式即可判断C；利用常用不等式即可判断D.
【详解】因为正实数满足，所以
，当且仅当时等号成立，A正确；
，当且仅当时等号成立，B错误；
，，当且仅当时等号成立，C正确；
，当且仅当时等号成立，D错误．
故选：AC．
11. 已知函数，则（ ）
A. 不等式的解集是
B. ，都有
C. 是R上的递减函数
D. 的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意可得，利用绝对值不等式、指数不等式的解法计算即可判断A；利用奇偶函数的定义计算即可判断B；举例说明即可判断C；根据指数型函数的值域的求法计算即可判断D.
【详解】A：，由，得，即，
得，解得，即原不等式的解集为，故A正确；
B：，故B错误；
C：，所以在R上单调递减不成立，故C错误；
D：由知，即函数的值域为，故D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数 的值域为，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数在区间上的值域为，再结合函数的值域为，得出函数在上单调递增，可得出函数在区间上的值域，再由两段值域并集为，可得出关于实数的不等式（组），解出即可.
【详解】当时，，则，则函数在区间上的值域为.
又函数的值域为，则函数在上单调递增，
当时，，
所以，函数在区间上的值域为，
由题意可得，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，在解题时不要忽略对函数单调性的分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
13. 已知，，则的最小值为______.
【答案】12
【解析】
【分析】令，把已知式用表示，也用表示后，利用基本不等式求得最小值．
【详解】令，则，且，所以．
又，所以，
当且仅当，即，时等号成立．
故答案为：12.
14. 已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由在，上单调递减，可求，，对任意，，总存在，，使得成立，可得，结合二次函数的性质可求
【详解】在，上先减后增
故当时，函数有最小值（1），当时，函数有最大值（3）
故，，
在，上单调递减，故，，
对任意，，总存在，，使得成立，
，
，
解可得，
故答案为：
【点睛】本题主要考查不等式的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，解题的关键是二次函数性质的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某村计划建造一个室内面积为矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地．

（1）最大种植面积为多少？
（2）当种植区域的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？
【答案】（1）
（2）长为，宽为，
【解析】
【分析】（1）设矩形的一边长为，表示另一边长，结合条件表示出种植面积，利用基本不等式计算面积最大值.
（2）根据基本不等式等号成立的条件，可知蔬菜种植面积最大时对应的种植区域的边长.
【小问1详解】
设矩形的一边长为，则另一边长为，
因此种植蔬菜的区域两临边长分别为，，
由得，
所以种植面积，
故最大种植面积为.
【小问2详解】
根据（1）可知，当且仅当，即时，等号成立．
因此当种植区域的长为、宽为时，蔬菜的种植面积最大．
16. 已知函数.
（1）当时，求的值域；
（2）若最小值为，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数性质计算即可；
（2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可；
（3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算的最小值解不等式即可.
【小问1详解】
设，
，，，
其对称轴方程为，故函数在上单调递增，
所以，
故所求值域；
【小问2详解】
∵函数的最小值为，，
若，在R上单调递增，没有最小值；
若时，可知当时，y取得最小值；
即，解得或舍去，
综上，；
【小问3详解】
由题意，有实数解，
即，可得，
要使此不等式有解，只需即可，
（当且仅当时取等号），
，
，解得，
即实数a的取值范围为.
17. 已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）求不等式的解集；
（3）若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数满足，即可求解；（2）根据的单调性，即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，（3）将恒成立问题转化为最值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，所以，
即，即，
因为，所以，所以（经检验，符合题意）
【小问2详解】
由（1）得，
因为与在上均为增函数，所以在上为增函数，
又，所以，
所以，即，
所以，所以不等式的解集是.
【小问3详解】
因为关于x的不等式恒成立，即恒成立，
所以恒成立，所以，
因为，
所以当，即时，取得最小值.
所以，即实数k的取值范围是
18. 已知函数，
（1）解关于的不等式；
（2）若关于的方程有两个小于的不等实根，求的取值范围：
（3）若对任意的，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）原式化简得，按的不同取值分类讨论即可；
（2）根据二次函数图象和性质得到关于的不等式组，解出即可；
（3）分离参数，利用均值不等式求解即可.
【小问1详解】
由整理得，
所以，
（i）当时，不等式解集为；
（ii）当时，不等式解集为；
（iii）当时，不等式解集为；
综上所述，（i）当时，不等式解集为；
（ii）当时，不等式解集为；
（iii）当时，不等式解集为．
【小问2详解】
方程有两个小于的不等实根，
所以，解得，
故的取值范围为．
【小问3详解】
对任意的，恒成立，
即恒成立，即对任意的，恒成立．
①时，不等式为恒成立，此时；
②当时，，
因为，所以，
所以，
当且仅当时，即，时等号成立，
所以，
综上．
19. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）已知函数在上单调递增：
①判断在上的单调性（直接写结果，无需证明）：
②对任意，不等式恒成立时，求的取值范围：
（2）设函数，求在上的最小值．
【答案】（1）①函数在上单调递增；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意得到，得到方程，求出，根据函数奇偶性和上的单调性，求出在上单调递增；
②根据函数奇偶性和单调性得到不等式，求出，根据根的判别式求解即可；
（2）令，换元得到，，进而根据单调性求解即可.
【小问1详解】
①函数在上单调递增，理由如下：
∵函数是定义在上的奇函数，
，即，解得，
此时，，
所以函数为奇函数，则.
因为在单调递增，又为奇函数，
故函数在上单调递增；
②函数在上单调递增，且为奇函数，则，
等价于
即
即，
即对任意恒成立，
，解得，
的取值范围是．
【小问2详解】
令，则，
当时，．
，，
，
二次函数开口向上，对称轴为，
在区间上单调递增，
，
即在上的最小值为．