四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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出题人：张丹 彭丽 韩书书 审题人：胥勋虎 校对人：蒲小容
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1 设全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由补集的定义、并集的定义结合已知条件依次分别求出 、 即可.
【详解】由题意 ，因为 ，
所以 ，又因为 ，
所以 .
故选：D.
2. 设命题 ： ， ，则命题 的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
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【答案】C
【解析】
【分析】由特称命题的否定形式，即可得解
【详解】由特称命题的否定可知，命题 的否定为“ ， ”.
故选：C
3. 若集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义，联立方程即可求解.
【详解】由 ，解得 ，
故 ，
故选：C
4. 已知集合 ，且 ，则实数 为（ ）
A. 2 B. 3 C. 0 或 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得 或 ，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.
【详解】因为 且 ，
所以 或 ，
①若 ，此时 ，不满足元素的互异性；
②若 ，解得 或 3，
当 时不满足元素的互异性，当 时， 符合题意.
综上所述， .
故选：B
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5. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求不等式 的解集，根据集合的关系进行判断.
【详解】由 ，
设集合 ， ，则 为 的真子集.
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
6. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择
一项，经统计有 21 人喜欢唱歌，17 人喜欢跳舞，10 人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有 12 人，同时喜
欢唱歌和书法的有 6 人，同时喜欢跳舞和书法的有 5 人，三种都喜欢的有 2 人，则该班女生人数为（ ）
A. 27 B. 23 C. 25 D. 29
【答案】A
【解析】
【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.
【详解】作出韦恩图，如图所示，
可知 5 人只喜欢唱歌，2 人只喜欢跳舞，1 人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有 10 人，
同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有 4 人，
同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有 3 人，三种都喜欢的有 2 人，则该班女生人数为
.
故选：A.
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7. 设集合 ，若 且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据元素和集合之间的关系，列式求解即可．
【详解】因为集合 ，而 且 ，
且 ，解得 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，对描述法表示集合的理解，属于基础题．
8. 定义非空实数集 的“容斥数”为 ．例如：集合
的“容斥数”，先将集合中的元素从小到大排列，写为 ，然后按定义计算得
； 集 合 的 “容 斥 数 ”为 ； 集 合 的 “容 斥 数 ”为 6． 则 集 合
的所有非空子集的“容斥数”之和为（ ）
A. 64 B. 96 C. 128 D. 256
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意中对容斥数的定义进行求解即可.
【详解】集合 有 6 个元素，其非空子集共 个，
对于元素 ，包含 的子集可表示为 ，
其中 是比 小的元素构成的集合的子集， 是比 大的元素构成的集合的子集.
符号由 在子集中的位置 决定，为 ，其中 , 表示集合 中的元素个数，即符号为
.
当 （最小元素 3）时，比 3 小的元素集合为空集，故此时对任意包含 3 的子集，3 的符号系数均为
，符号之和为 ；
当 时，比 小的元素集合有 个元素，则 的符号系数之和为 ，符号之和
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为 0.
仅最小元素 3 有贡献，贡献为 ，其他元素贡献为 0，总和为 96.
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 集合 的子集共有 个
D. “ ”的充分不必要条件可以是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空集定义可知 A 错误；根据整数集定义可知 B 正确；根据集合元素个数可知 C 正确；解出不
等式的解，根据推出关系可知 D 正确.
【详解】对于 A， 不包含任何元素， ， ，A 错误；
对于 B， 为整数集，当 时， ，B 正确；
对于 C， ， 该集合的子集有 个，C 正确；
对于 D，由 得： ，
， ，
是“ ”的充分不必要条件，D 正确.
故选：BCD.
10. 已知关于 的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的解集为
C.
D. 的解集为
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【答案】AD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解集的性质逐一判断即可.
【详解】因为关于 的不等式 的解集为 或 ，
所以 且方程 的两个根为 ， ，
即 .
因此选项 A 正确；
因为 ， ，所以由 ，因此选项 B 不正确；
由 可知： ，因此选项 C 不正确；
因为 ，所以由 ，
解得： ，因此选项 D 正确，
故选：AD
11. 给定数集 ，对于任意 ，有 且 ，则称集合 为闭集合．则以下结论中，不
正确的是（ ）
A. 集合 为闭集合
B. 集合 为闭集合
C. 若集合 闭集合，则 为闭集合
D. 若集合 为闭集合，且 ， ，则存在 ，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据定义，A 选项，可以验证当 ， 时， ，故 A 错误；B 选项，整数加减结
果还是整数，由闭集合定义可得 B 正确；CD 选项，举两个集合特例验证即可得．
【详解】A 选项， ，
当 ， 时， ，
但 ，不满足闭集合的定义，故 A 错误；
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B 选项， ，
任意 ，可设 ， ， ，
则 ， ， 由 ， ，
所以 ，且 ，故集合 为闭集合．故 B 正确；
C 选项，设 ，
任意 ，可设 ， ， ，
则 ， ， 由 ， ，
所以 ，且 ，则集合 为闭集合．
由 B 选项分析可知 也为闭集合．
，
当 ， 时， ，
但 ，故 C 错误；
D 选项，设 ，若 ，则 ， ，
则 都为闭集合，又 ，且 ，
不存在 ，使得 ，即不存在 ，使得 ，故 D 错误；
故选：ACD.
第 II 卷（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知集合 ，则集合 可以用列举法表示为______.
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得 为 的正约数，且 ，由此确定结论.
【详解】因为 ，
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所以 为 的正约数，且 ，
所以 或 或 或 ，
所以 或 或 或 ，
所以 .
故答案为： .
13. 若“ ”是假命题，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知是假命题可得，“ ”为真命题，列不等式解出实数 的取值范围即
可．
【详解】已知“ ”是假命题，所以“ ”为真命题，即
，解得
故答案为：
14. 已知集合 ， ，定义集合
，则 中元素的个数为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先用列举法表示集合 、 ，从而得到 ，即可得解.
【详解】因 ，
，
又 ，
所以
， ，
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所以 中元素 共 个.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
15. 已知全集 ，集合 或 .
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求 .
【答案】（1） 或 ；
（2） 或 ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据并集的概念求解；
（2）先利用补集的概念求出 ，再利用并集的概念求解；
（3）先利用补集的概念求出 ，再利用交集的概念求解.
【小问 1 详解】
∵集合 或 ，
∴ 或 .
【小问 2 详解】
∵全集 ，集合 ，
∴ 或 ，
又 或 ，
∴ 或 .
【小问 3 详解】
∵全集 ， 或 ，∴ ，
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又因为 或 ，
∴ .
16. （1）若集 中有且仅有一个元素，求实数 的所有取值.
（2）已知集合 ，若 ，求实数 的值.
【答案】（1） ， ；（2） ， ， .
【解析】
【分析】（1）分 是否等于 0 两种情况讨论即可；
（2）分 是否等于 0 两种情况讨论即可.
【详解】（1）情形一：若 ，则 中只有 这一个元素，故 符合
题意；
情形二：若 ，且集合 中只有一个元素，
这意味着当且仅当一元二次方程 有两个相等的实数根，
从而 ，解得 ；
综上所述，实数 的所有取值可能为： ， ；
（2） ，
情形一：当 时， ，此时满足 ，故 符合题意；
情形二：当 时， ，
若要 ，则当且仅当 或 ，
解得 或 ；
综上所述，实数 的值可能是： ， ， .
17. 已知集合 ， ，
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
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【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）由题可得集合 ，然后利用交集的定义运算即得；
（2）由题可得 ，然后分 为空集与 不为空集两种情况求出 的范围即可．
【小问 1 详解】
当 时， ，又 ，
则 ；
【小问 2 详解】
因为 p 是 q 的充分不必要条件，
所以 ，
①若 ，则 ，解得 ；
②若 ，由 得到， ，
解得： ，
综上： 的取值范围是 ．
18. 设全集为 ，集合 .
（1）当 时，求图中阴影部分表示的集合 ;
（2）在① ;② ;③ 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数 的取
值范围.
【答案】（1）
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（2） 或
【解析】
【分析】（1）由题意可知，阴影部分表示的集合是 ，通过集合运算解决即可；
（2）选择①②③，均可得 ，这里注意集合 为空集这种情况，再通过子集之间的包含关系求解即可.
【小问 1 详解】
由集合 知， ，解得 或 ，所以 ，
当 时 ，结合图知 .
【小问 2 详解】
选择①②③，均可得 .
当 时， ，解得 ;
当 时， 或 ，解得 或 ，即 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
19. 已知函数 .
（1）若不等式 解集为 ，求实数 的取值范围；
（2）当 时，解关于 的不等式 ；
（3）当 时，不等式 有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）分为 ，以及 讨论，根据解集列出不等式组，求解即可得出答案；
（2）原不等式可化为 ．先求解 的解集，进而解出 时，得出
的解集．然后分为 与 ，结合 的范围得出两根的大小关系，进而
得出答案；
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（3）不等式转化为 ，分离参数得出 ，换元 ，整理得出
，进而根据基本不等式，得出 ，即可得出范围．
【小问 1 详解】
①当 ，即 时，原不等式化为 ，解集为 ，不合题意；
②当 ，即 时，
的解集为 R，即 的解集为 R，
则应有 ，
即 ，解得 ．
综上， 的取值范围是 ．
【小问 2 详解】
由已知可得 ，
即 ，即 ．
当 时，即 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，有 ，
解方程 ，可得 或 ．
①当 ，又 可得 时，即 时，有 ，
则解不等式 可得， 或 ；
②当 ，即 时有 ，
解不等式 可得， ．
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
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当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
【小问 3 详解】
不等式 ，即 ，
即 ．
由 恒成立，则 在 时有解，
设 ， 时有 ，
，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
所以 ，实数 的取值范围为 .
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