四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学强基班试题（Word版附解析）

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（考试时间：120 分钟 分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共 58 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 若直线 与直线 平行，则 （ ）
A. 0 B. 或 0 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行的条件列方程求得 的值，然后检验，排除两直线重合的情况.
【详解】由题意得 ,即 ,解得 或 .
当 时，两直线方程都为 ，两直线重合，不合题意，舍去；
当 时，两直线方程分别为 和 ，此时两直线平行，符合题意.
故选：C.
2. 已知平面 的一个法向量 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离
为（ ）
A. B. C. 5 D. 10
【答案】A
【解析】
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【分析】首先求出 ，再根据点 到 的距离 计算可得.
【详解】因为 、 ，
所以 ，
又平面 的一个法向量 ，
所以点 到 的距离 .
故选：A
3. 已知直线 l 的倾斜角为α，斜率为 k，若 ，则α的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据斜率 的范围得到 ，然后结合正切函数的图象及直线倾斜角的取值范围即可
求出直线 l 的倾斜角α的取值范围.
【详解】因为 ，且 ，所以 .
故选：A.
4. 已知直线 与圆 相切，则圆 M 和圆 N:(x－1)2+(y－1)2=1 的
位置关系是
A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线与圆 M 相切，可利用圆心到直线距离等于半径求得参数 a；再根据圆心距与半径和的大
小判断圆与圆的位置关系．
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【详解】因为直线 与圆 相切，且
，所以圆心坐标为 ，半径为 a
则圆心到直线距离等于半径，所以
，解方程得 或 （舍）
所以圆 M 的方程为 ，N:(x－1)2+(y－1)2=1
MN 的距离为 ，两个圆的半径和为 3
因为
所以两个圆相交
所以选 C
【点睛】本题考查了直线与圆、圆与圆位置关系的应用，属于基础题．
5. 已知椭圆 E： ，点 ，若直线 （ ）与椭圆 E 交于 A，B 两点，
则 的周长为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线所过的定点，再利用椭圆的定义求出三角形周长.
【详解】椭圆 E： 的长半轴长 ，半焦距 ，
则点 为椭圆的左焦点，其右焦点为 ，
而直线 恒过定点 ，
所以 的周长为 .
故选：D
6. “ ”是“直线 与曲线 恰有 1 个公共点”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
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【解析】
【 分 析 】 先 分 析 曲 线 的 图 形 ， 再 结 合 直 线 与 该 曲 线 的 位 置 关 系 ， 再 判 断
“ ” 与 “直线 与曲线 恰有 1 个公共点” 之间的条件关系.
【详解】曲线 表示圆心 ，半径为 的圆的上半部分（包括与 轴的交点），
直线 斜率为 1，在 轴上的截距为 ，
当直线 与曲线 恰有 1 个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点，
如图所示：
相切时，圆心 到直线 距离等于 2，则 ，
即 或 （舍去，因为当 时与下半部分相切，不符合题意）.
由图象可知，有一个交点时， .
综上可知，当直线 与曲线 恰有 1 个公共点时， 或 .
于是，当“ ”时，直线“ 与曲线 恰有 1 个公共点”，则充分性成立；
当直线 与曲线 恰有 1 个公共点时， 或 ，则必要性不成立.
所以， “ ”是“直线 与曲线 恰有 1 个公共点”的充分不必要条件.
故选：A
7. 已知直线 与焦点在 轴上的双曲线 的其中一条渐近线垂直，则 的离心率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】根据垂直得到双曲线的一条渐近线斜率为 ，故 ，从而求出离心率.
【详解】直线 的斜率为 ，
由两直线垂直可得双曲线 的其中一条渐近线斜率 ，
即焦点在 轴上的双曲线 中 ，
故 的离心率 ．
故选：D．
8. 学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第
一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有
投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录
取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中
率为 ，在三分线处投篮命中率为 ，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试
得概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率的乘法公式及互斥事件和的概率公式求解.
【详解】记事件 表示“甲在罚球线处投篮，第 次投进”，事件 表示“甲在三分线处投篮，第 次投进，
事件 表示“甲共投篮三次就结束考试”.
则 ，
故选：B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，至少
两项是符合题目要求的，选不全对得 2 分，选错得 0 分．
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9. 已知 是随机事件，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 与 可能为互斥事件
B. 若 ，则 与 相互独立
C 若 ，则
D. 若 与 相互独立，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由题设结合独立事件、互斥事件的定义、概率公式与性质逐项判断即可.
【详解】选项 A：因为 ，所以 ， 与 不可能为互斥事件，A 说法错误；
选项 B：因为 ，所以若 ，则 与 相互独立，B 说
法正确；
选项 C：若 ，则 ，C 说法正确；
选项 D：若 与 相互独立，则 与 也相互独立，证明如下：
因为 与 互斥，且 ，
所以 ，
所以 ，即 与 也相互独立，
所以 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，D 说法错误；
故选：BC
10. 已知圆 C： 和直线 l： ，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，直线 l 被圆截得的弦长为
B. 当 时，圆上到直线 的距离为 1 的点有 3 个
C. 存在实数 ，使得直线 与圆相切
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D. 若直线 与圆相交，则实数 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，利用弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对于 B，由选项 A 知圆心到直线的距离为
，从而有 ， ，数形结合，即可求解；对于 C 和 D，利用直线与圆的
位置关系，即可求解.
【详解】由 得 ，所以圆 的圆心为 ，半径为
，
对于 A，当 时，直线 l： ，圆心到直线的距离为 ，
所以直线 l 被圆截得的弦长为 ，故 A 正确，
对于 B，由选项 A 知圆心到直线的距离为 ，又 ，
则 ， ，
所以由图可知，圆上到直线 的距离为 1 的点有 个，故 B 错误，
对于 C，由 ，得到 ，解得 或 ，
所以当 或 时，圆心到直线的距离等于半径，
即存 实数 ，使得直线 与圆相切，所以 C 正确，
对于 D，因为直线 与圆相交，则 ，整理得到 ，
解得 ，所以 D 正确，
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故选：ACD.
11. 已知椭圆 的右焦点为 ，左，右顶点分别为 ， 两点，直线 与
椭圆 相交于 ， 两点，则（ ）
A. 椭圆 的焦距为 2
B. 为定值
C. 当以 ， ， ， 四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为
D. 直线 和 斜率的乘积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断 A，利用椭圆的对称性合理转化长度判断 B，利用平行四
边形性质求出 的坐标，再求解平行四边形面积判断 C，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判
断斜率乘积为定值求解 D 即可.
【详解】对于 A，由 ，得到 ，
可得椭圆 C 的焦距为 2，故 A 正确；
对于 B，如图，设椭圆 的左焦点为 ，连接
由椭圆的对称性有 ，故 B 正确；
对于 C，由题意得 ，且 ，
又因为四边形 为平行四边形，有 ，
可得点 的坐标为 ，代入椭圆中，得到 ，
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解得 ，即 的坐标为 ，
则平行四边形的面积为 ，故 C 错误；
对于 D，由 ，设点 坐标分别为 ，
代入椭圆中有 ．又由 ，
，故 D 正确．
故选：ABD．
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 P 在椭圆 C 上．若 ，则
的面积为________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到 ，再由勾股定理得 ，联立方
程组，求得 ，结合三角形的面积公式，即可求解．
【详解】如图所示，椭圆 ，可得 ， ，则 ，因为点 P 在椭圆 C
上，可得 ，又由 ，可得 ．联立方程
组 ，可得 ，所以 的面积为 ．
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故答案为：4.
13. 现有 7 名学生，其中学生 的数学成绩优秀，学生 的物理成绩优秀，学生 的化学
成绩优秀．现要从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名，组成一个小组代表学校参加竞赛， 被选
中的概率为______．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】列举出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名的情况数，并得到 被选中的情况数，得到概率.
【详解】从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名，共有以下情况：
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
共有 12 种情况，
其中 被选中的情况有 ， ， ， ，
， ，共有 6 种情况，
故 被选中的概率为 .
故答案为：
14. 双曲线 的左焦点为 F，点 ，若 P 为 C 右支上的一个动点，则 的最
小值为_________．
【答案】9
【解析】
【分析】利用双曲线的定义将 进行转化，再结合三角形三边关系求 的最小值；
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【详解】设双曲线 的右焦点为 .
对于双曲线 ，可得 ，则 .
因为点 在双曲线的右支上，所以 ，即 .
则 .
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得 ，当且仅当 ， ， 三点共线时取
等号.
已知 ， ，根据两点间距离公式，可得 .
所以 ，即 的最小值为 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线 .
（1）若直线 不经过第四象限，求 的取值范围；
（2）已知 ，若点 到直线 的距离为 ，求 最大时直线 的一般式方程.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据方程求出直线 l 所过定点坐标，再由该直线不过的象限列式求解.
（2）确定 取得最大值的条件，进而求出直线方程.
【小问 1 详解】
直线 l 的方程为 ，因此直线 l 恒过定点 ，
若直线 l 不经过第四象限，则 .
【小问 2 详解】
由（1）知直线 l 恒过定点 ，
当且仅当 时，d 取得最大值，此时直线 的斜率 ，
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因此直线 的斜率 ，直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 的一般式方程为 .
16. 某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为 1，2 的两个红球和标号为 3，4
，5 的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取 1 个，有放回地抽取 2 次，
根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球
标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为 5 的倍数获二等奖，抽到两个
球标号和为偶数,且不是 5 的倍数获三等奖，其余不获奖．
（1）求两种规则下获得二等奖的概率；
（2）请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由．
【答案】（1）
（2）两种规则的获奖概率一样大，理由见解析
【解析】
【分析】（1）（2）列出两次抽取小球的所有可能结果，根据古典概型的概率求法求得两种规则分别获得一、
二、三等奖的概率， 进而得到两种规则的获奖概率，即可解决问题.
【小问 1 详解】
据题意，两次抽取小球的所有可能结果为：
记规则一获得二等奖为事件 ，记规则二获得二等奖为事件 ，
事件 包含 五个样本点，故 ，
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事件 包含 五个样本点，故 ．
所以两种规则下获得二等奖的概率均为 .
【小问 2 详解】
两种规则的获奖概率一样大．理由如下：
记规则一获得一、二、三等奖分别为事件
由(1)可知事件 包含 两个样本点，所以
事件 包含 ,共 12 个样本点，
所以
由(1)知 ，
所以规则一的获奖概率为
记规则二下获得一、二、三等奖分别为事件
事件 包含 两个样本点， ；
事件 包含 ，共十二个样本点，
；
由(1)知 ，
所以规则二的获奖概率 .
所以两种规则的获奖概率一样大．
17. 过原点 O 的直线 l 与圆 交于 A，B 两点，且点 ．
（1）过点 P 作圆 C 的切线 m，求切线 m 的方程；
（2）求弦 的中点 M 的轨迹方程．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
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【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解
即可；
（2）设 ，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即 ，再利用向量垂直的
坐标表示即可求解．
【小问 1 详解】
由题知圆心 ，半径 ，
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，
此时圆心到直线的距离 ，直线与圆相离，不符合题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为 ，即 ，
圆心到直线的距离 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
所以切线 的方程为 或 ．
【小问 2 详解】
设 ，圆心 ，
因为 M 弦 的中点，所以 ，
又直线 l 过原点 O，所以 ，
，
，
整理得 ，
所以 M 的轨迹方程为 ．
18. 在梯形 中， ， ， ，P 为 的中点，线段 与
交于 O 点（如图 1）将 沿 折起到 位置，使得平面 平面 （如图 2）.
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（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小；
（3）线段 上是否存在点 Q，使得 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明，
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，
（3）设出 得 点坐标，由空间向量列式求解.
【小问 1 详解】
在梯形 中， ， ， ，P 为 的中点，
可得 为等边三角形，四边形 为菱形，
故 ，而 平面 ， 平面 ，
平面 ，
【小问 2 详解】
由（1）得 ， ， ，故 ， ，
而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
平面 ，
两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
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， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 得 ，
平面 的一个法向量为 ，
故 ，二面角 的大小为 ；
【小问 3 详解】
设 ，则 ， , ,
的 ， ，
设平面 的一个法向量为
CQ 与平面 所成角的正弦值为 ，
化简得 ，解得 （ 舍去）
故存在 ，使得 CQ 与平面 所成角的余弦值为 ．
19. 已知椭圆 ， 分别是左、右焦点， 是椭圆 上一点， 的最大值为
3，当 为椭圆上顶点时， 为等边三角形．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 分别是椭圆 的左、右顶点，若直线 与 交于点 ，且 ，
（ ）证明：直线 过定点；
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（ ）求 面积的最大值．
【答案】（1）椭圆 的标准方程为
（2）（ ）证明见解析；（ ） 面积的最大值为
【解析】
【分析】（1）结合椭圆和等边三角形的性质，即可求解.
（2）（ ）法一：根据已知条件设 ，直线 的方程，直线 的方程，求出点
的坐标，再求出 ，进而得到直线 的方程，整理即可求解；
法二:先根据斜率公式表示出 ，结合椭圆方程，得到 ，进而设直线 的方程
为 ，与椭圆方程联立，并利用韦达定理化简，即可求解.
（ ）根据 ，可得 ，再设 进行整体代换，并
利用函数单调性，即可求解.
【小问 1 详解】
根据题意作图如下：
由题意得 ，所以 ，
因为 ，所以椭圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
（ ）证明：法一：由（1）可知 ，
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，设 ，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，化简得 ，
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因为 ，所以 ，即 ，
联立 ，化简得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
则 ，
所以直线 的方程为 ，整理得 ，
所以直线 过定点 ，即右焦点 .
法二：设 ，又由（1）知 ，
所以 ，
则有 ，
又 ，则 ，代入上式可得 .
又因为 ，所以 .
设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
第 18页/共 19页
所以 ，且
所以 ，
由 ，
化简得 且 ，
即 ，解得 或 （舍），
所以直线 过定点 ，即右焦点 ；
（ ）由（ ）得 ，
令 ，则 ，则 ，
因为 在 上单调递增，所以 时， 取得最大值 ，
此时 ，直线 的发方程为 .
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