重难点04 隐圆模型（定义型、直角型、等弦对等角、四点共圆）-2025年中考数学答题技巧与模板构建练习 含答案

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动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力。该题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型01 定义型
考｜向｜预｜测
点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题。
点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。
答｜题｜技｜巧
1. 根据题意判定动点的变化特性
2. 找准定点和定长（圆心和半径）
3. 结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题
1．（2024·广西）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．
∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，．
∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1．
∴，DQ=DC=1．∴．∴．
∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，
∴DE=DC=DN．∴点E在上移动．
∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．
∴△AEB面积的最小值为．
故选：A．
1．如图，在中，，，，点是边的中点，点是边上的任意一点（点不与点重合），沿翻折使点落在点处，连接，则线段的长取最小值时，、两点间的距离为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：，
点在以为圆心，为半径的圆上，作，连接交于点，此时值最小，
，，，解得：，
点是边的中点，；由勾股定理得：，
，，即线段长的最小值是，
连接，过作于，，，，
，，，
，．故答案为：．
2．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（ ）
A．142B．96C．192D．124
【答案】A
【详解】解：连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，如图：
∵四边形是矩形，∴，∵，点G是的中点，∴，
∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，即四边形面积的最小值是142．故选：A．
3.如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值．
【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到，
，
，
E是直角边的中点，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示，
，
当、、共线时，即与重合时，取得最小值，
又，
此时的值最小，
D是斜边的中点，
是的中位线，
，
此时，，
的最小值为4．
故选：C．
模型02 直角型
考｜向｜预｜测
点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查对圆性质的的理解。实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键。许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形问题。
一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
答｜题｜技｜巧
观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）；
利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题；
涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等相关知识点；
数形结合进行分析、解答
1．（2024·山东）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________．
【答案】．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，
∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，
∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°， ∠ADE+∠DAF=90°
∴∠DGA=90°∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：
∴ 在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=
∵ ∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．
∴BG的最小值为：．
1．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值 ．
【答案】/
【详解】解：连接，由以为直径作，，，得，，
得动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动，当，，在一直线上时，，
故，即的最小值，故答案为：．
模型03 等弦对等角
考｜向｜预｜测
点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题．
答｜题｜技｜巧
1. 观察图形特点，确定定弦和定角；
2. 根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；
3. 利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；
1．（2024·江苏）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：，∴点E在以为直径的圆上，如图所示，的最大值为，
∵正方形的边长为2，，的最大值为，
当点E在的下方时，的最大值也是，
故答案为：．
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝ ．
【答案】
【详解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB，
∵点O为AC的中点，∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，
∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6，在Rt△OME中，OE==3，
∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，
∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF，
∴，即，解得，FN=9，∴FC=FN+NC=12，
∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四点共圆，∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE，
∴，故答案为：．
2．如图，在以为直径半圆上，，，点是上的一动点，，连接，则的长的最小值是 ．
【答案】
【分析】取中点，连接，，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，点在以为圆心，为半径的圆上运动，进而解求得，即可求解．
【详解】解：取中点，连接，，，如图，
，，
，
即点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
，
，
在中，，
的长最小是，
故答案为：．
模型04 四点共圆型
考｜向｜预｜测
点圆问题中的四点共圆模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题．
答｜题｜技｜巧
1. 观察图形特点，确定定弦和定角；
2. 根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；
3. 利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；
1．（2024·江苏）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：，∴点E在以为直径的圆上，如图所示，的最大值为，
∵正方形的边长为2，，的最大值为，
当点E在的下方时，的最大值也是，
故答案为：．
1．如图，在四边形中，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（ ）

A．B．C．2D．1
【答案】A
【详解】解：是以为腰的等腰直角三角形，
，，，
，， ，
点四点共圆，在以为直径的圆上，如图，连接，

由圆周角定理得：，，，
，，
在和中，，，
，，故选：A．
2.在中，，，，点是上一动点，于，于，线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，作于，于．连接，，．设，则．根据，可得，解得，推出，由，，，四点共圆，推出当的直径最小时，的长最小，根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作于，于．连接，，．设，则．
，
，
解得，
，，
，，，
，
，
，，
，
，，，四点共圆，
当的直径最小时，的长最小，
根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，的最小值为，
此时，，的最小值为，故答案为：．
1．（2023·重庆）如图，是边长为1的正方形内的一个动点，且满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形中，求出，得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，求出和的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明是定值，从而得到点的轨迹．
【详解】解：四边形是正方形，
，
在凹四边形中，，，，
始终为，
得点在运动过程中，使得，即点在正方形内，以为圆心，长为半径的圆弧上，如解图，连接，，
，
由解图可得，当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，
在中，，，
，，
故选：D．
2．（2024·河北）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（ ）
A．30B．32C．35D．38
【答案】D
【分析】首先连接，，证明在以为圆心，2为半径的圆弧上，过作于，当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，再进一步解答即可．
【详解】解：连接，，
∵矩形，
∴，，
∵，为的中点，
∴，
∴在以为圆心，2为半径的圆弧上，
过作于，
当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，
四边形面积=三角形面积+三角形面积，
即四边形面积=三角形面积+24．
设圆弧交于，此时四边形面积取最小值，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即四边形面积的最小值=．
故选：D．
3．（2024·上海）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接，

∵正方形，，
∴，，
∵分别，的中点，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当四点共线时，最小，
此时，，
∴，
∴，
即的最小值为：，
故选B
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键．
4．（2024·福建）如图，已知以为直径的半圆，为弧上一点，，为弧上任意一点，交于，连接，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的想性质，三角形的外接圆，解直角三角形等知识，判断点D在的外接圆上运动是解题的关键．
先求出，，则可判断点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，过E作于F，可求，利用等边三角形的判定和性质求出，，利用勾股定理求出，由，当E、D、B三点共线时，最小，最小值为，即可求解．
【详解】解∶连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴点D在的外接圆上，设圆心为E，在优弧取点G，连接，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
当E、D、B三点共线时，最小，最小值为，
故答案为：．
1．如图，四边形为矩形，，点P是边上一动点，点M为线段上一点，且，则的最小值为 ．
【答案】2
【详解】解：如图，取的中点，连接，．
四边形是矩形，，，，
，，，
，，点的运动轨迹是以为圆心，3为半径的．
，，的最小值为2．故答案为：2．
2．如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．

【答案】
【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半，∴的面积为，
在中，，∴当最大时，即最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：

由题意可得：，，
∴，，∴
∵，∴，∴，∴，
∴，在中，，故答案为：，．
3．如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 ．
【答案】2
【详解】解：连接，点和关于对称，，
在以圆心，为半径的圆上，当，，三点共线时，最短，
，，，故答案为：．
4．如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若，则下面结论一定正确的是 ．
①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④点A、C、D到点O的距离相等．
【答案】②③④
【详解】解∶如图1，设AC、BD交于点F，连接OC、OD，
∵，点O为A B的中点，∴OD=OC=OA=OB=AB，
∴点A、C、D到点O的距离相等，故④正确；
∵OD=OC=OA=OB=AB，∴∠BAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∠OCB=∠ABC，
∴∠BAD+∠OCD+∠OCB=∠ODA+∠ODC+∠ABC，
∴∠BCD+∠BAD=∠ADC+∠ABC=，故③正确；
∵，∴，，
∵∠AFD=∠BFC，∴∠DAC=∠DBC，故②正确；
在四边形ABCD中，， AB中点O，连接OD、OC， 则OD=OC=OA=OB=AB，
若AD=BD，则OD⊥AB，∴，
若，则△BOC是等边三角形，∴，，
但是△ODC与△BOC不全等，∴DC≠BC，故①不一定成立，∴正确的是②③④，故答案为∶②③④．
5．如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ．
【答案】/
【详解】解：如图旋转，连接
以为直径作，以为半径作，过点作的切线交于点
在和中
∴点共圆，点共圆，点在上运动
，的半径为∴
又∵，∴当点运动到点时，到直线距离的最大，
过点作，过点作，，
∴四边形是矩形，
是圆心，设

解得：（舍去）
∴ 故答案为：．
6．如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．

【答案】/
【详解】解：连接，
四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，，四点共圆，
恒等于，点P在正方形对角线上运动，
，，，
，为定值，
当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，
，的周长的最小值为：，故答案为：．
7．如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 ．

【答案】102.5°
【详解】解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，

根据旋转的性质得到：AC=AF，，，，
∴点A、N、F、C共圆，∴，
又∵点A、N、F、C共圆，∴，
∴（平角的性质），故答案为：102.5°