2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）专题32圆中的重要模型之隐圆模型

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模型1、动点定长模型（圆的定义）
若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径

圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3B．C．D．2
例2．（2023·广东清远·统考三模）如图，在，，E为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ．
例3．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形中，、分别是，的中垂线，，，则___，___．
例4．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，正方形ABCD中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为 ．
模型2、定边对直角模型（直角对直径）
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径

寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
例1．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．

例2．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，作于点F．当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）

A．B．C．D．
例3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
例4．（2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆

根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
1.（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（ ）

A．B．C．D．
例2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边上自A向C运动，点F在边上自C向B运动，且运动速度相同，连接交于点P，连接，在运动过程中，点P的运动路径长为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图所示，在扇形中，，，点是上的动点，以为边作正方形，当点从点移动至点时，求点经过的路径长．

例4．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为 ．
模型4、四点共圆模型
四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模型作相应练习即可。
1）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．

2）若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆．
条件：线段同侧张角相等．
例1．（2023·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，O为线段的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则∠A与∠C的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形中，，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
例3．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（ ）
A．B．12C．D．
例4．（2023.江苏九年级期末）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·河南周口·校考三模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ．
课后专项训练
1．（2023上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，等边三角形ABC与等边三角形EFB共端点B，BC＝2，BF＝，△EFB绕点B旋转，∠BCF的最大度数（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．（2023上·安徽六安·九年级校考期末）如图，是等边三角形，，点是内一点，且，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点在线段上，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为一边作等边，连接，则长度的最小值为（ ）

A．B．C．D．
5．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为，，，以点C为圆心，3为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为（ ）
A．7B．10C．D．
6．（2023上·浙江丽水·九年级统考期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，是弧上的一个动点，连结，过点点作于点，连结，在点移动的过程中．（1） ；（2）的最小值是 ．
7．（2023上·山东日照·九年级校考期中）如图，中，，过点作的平行线为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ．
8．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，在矩形中，，N是矩形内一点，，点M是边上的动点，则的最小值为 ．
9．（2023.湖北九年级期中）如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为 ．
10．（2023·广东·九年级课时练习）如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过C点作CD⊥OB于点D，设△ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经过的路径长为 ________．
11．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形中，已知，，点是边上一动点点不与点，重合，连接，作点关于直线的对称点，连接，则的最小值为 ．
12．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点是边上一动点，连结，以为直径的圆交于点，则长度的最小值是 ．

13．（2023·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在中，，D为AB上一点，，E为AC上一点，，连接BE、CD交于点O，则的最大面积是 ．
14．（2021·广东·统考中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为 ．
15．（2023·浙江·一模）如图，在中，，．分别以、为斜边，向三角形外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，则和面积之和为 ；连接，则线段的最大值为 ．
16．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．
17．（2023陕西中考模拟）如图，在等边中，，点P为AB上一动点，于点D，于点E，则DE的最小值为_____．
18．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．(1)求的长．(2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．(3)如图，过点作于，连接，求的最小值．

19．（2023下·广东广州·九年级校校考阶段练习）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A，C重合），连接，过点A作直线的垂线段，垂足为点D，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．(1)求证：；(2)连接，延长交于点F，若的边长为2；①求的最小值；②求的最大值．
20．（2023·陕西延安·九年级统考期末）问题提出
（1）如图①，内接于半径为4的，是的中位线，则的最大值是_________；
问题探究（2）如图②，在等腰中，，，边上的中线，求等腰外接圆的半径；
问题解决（3）如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为的部件，已知的部件要满足，边上的中线，且边与边之和要最大，是否能剪裁出满足要求的三角形部件？若能，请求出的最大值；若不能，请说明理由．