湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

这是一份湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试题，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）＝（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
2．（5分）已知命题p：∃x∈R，lg2（3x+1）≤0，则（ ）
A．p是假命题；￢p：∀x∈R，lg2（3x+1）≤0
B．p是假命题；￢p：∀x∈R，lg2（3x+1）＞0
C．p是真命题；￢p：∀x∈R，lg2（3x+1）≤0
D．p是真命题；￢p：∃x∈R，lg2（3x+1）＞0
3．（5分）在△ABC中，B＝45°，C＝60°，则最短的边长等于（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）甲、乙两位射击运动员参加比赛，连续5轮射击比赛的成绩情况如图所示：
则下列说法正确的是（ ）
A．甲平均成绩高，乙成绩稳定
B．甲平均成绩高，甲成绩稳定
C．乙平均成绩高，甲成绩稳定
D．乙平均成绩高，乙成绩稳定
5．（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62%B．56%C．46%D．42%
6．（5分）把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，点A到BC的距离是（ ）
A．aB．C．D．
7．（5分）甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，则目标被击中的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）若不等式lg≥（x﹣1）lg3对任意x∈（﹣∞，1）恒成立（ ）
A．（﹣∞，0]B．[1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，1]
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
（多选）9．（6分）下面结论正确的是（ ）
A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
B．若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件
C．若P（A）＝0.6，P（B）＝0.2，A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.68
D．若P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，A与B相互独立，那么
（多选）10．（6分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中是偶函数的是（ ）
A．y＝f（|x|）B．y＝f（x2）C．y＝x•f（x）D．y＝f（x）+x
（多选）11．（6分）已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是[40，100]中的整数，50），[50，[70，80），90），[90，记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值（平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率）为a ．
13．（5分）已知分段函数，则f（e2）＝ ，＝ ．
14．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，CD＝2BD．当取得最小值时 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，厂家每件分别收取加工费90元，50元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
16．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AB＝2，DP＝．
（1）证明：BD⊥PA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
17．（15分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣cs2x（x）在区间上的最大值和最小值．
18．（17分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m（1≤m≤12且m∈R），药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）•f（x），其中f（x）＝．
（1）若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗
19．（17分）为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，第1组[20，25），30），第3组[30，第4组[35，40），45]，得到的频率分布直方图如图所示
（1）分别求出第3，4，5组志愿者的人数，若在第3，4，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验
2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）＝（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
【分析】利用复数的除法运算法则求解．
【解答】解：由题意可知，＝＝＝﹣i．
故选：D．
【点评】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题．
2．（5分）已知命题p：∃x∈R，lg2（3x+1）≤0，则（ ）
A．p是假命题；￢p：∀x∈R，lg2（3x+1）≤0
B．p是假命题；￢p：∀x∈R，lg2（3x+1）＞0
C．p是真命题；￢p：∀x∈R，lg2（3x+1）≤0
D．p是真命题；￢p：∃x∈R，lg2（3x+1）＞0
【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
【解答】解：∵3x＞0，
∴8x+1＞1，则lg6（3x+1）＞8，
∴p是假命题；
￢p：∀x∈R，lg2（3x+8）＞0．
故选：B．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．（5分）在△ABC中，B＝45°，C＝60°，则最短的边长等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知结合正弦定理及三角形的大边对大角即可求解．
【解答】解：因为在△ABC中，B＝45°，
所以A＝75°，
因为B＜C＜A，
所以b＜c＜a，即b为最短边，
因为c＝1，
由正弦定理得，，
所以b＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理及三角形的大边对大角的应用，属于基础题．
4．（5分）甲、乙两位射击运动员参加比赛，连续5轮射击比赛的成绩情况如图所示：
则下列说法正确的是（ ）
A．甲平均成绩高，乙成绩稳定
B．甲平均成绩高，甲成绩稳定
C．乙平均成绩高，甲成绩稳定
D．乙平均成绩高，乙成绩稳定
【分析】由平均数和方差的计算公式计算即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，，
所以，
因为，
所以，
所以且．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．
5．（5分）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62%B．56%C．46%D．42%
【分析】设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，画出图形，列出方程求解即可．
【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，
由题意，可得x+z＝60，y+z＝82．
∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．
故选：C．
【点评】本题考查集合的应用，子集与交集、并集运算的转换，韦恩图的应用，是基本知识的考查．
6．（5分）把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，点A到BC的距离是（ ）
A．aB．C．D．
【分析】此题是“折叠问题”，需抓住不变的量：AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，所以AD⊥面BDC，则由三垂线定理可过点D作DQ⊥BC，垂足为Q，连接AQ，则点A到BC的距离即为AQ的长度，且∠BDC＝60°．
【解答】解：如图，过点D作DQ⊥BC，连接AQ
∵AD⊥BD，AD⊥DC
∴AD⊥面BDC
∴根据三垂线定理可得：AQ⊥BC，则点A到BC的距离即为AQ的长度
∵AD⊥BD，AD⊥DC，
∴∠BDC＝60°
又∵BD＝DC＝，
∴∠QDC＝30°
在Rt△QDC中，DQ＝DC•cs30°＝
又∵AD＝
∴在Rt△ADQ中，AQ＝
故选：D．
【点评】本小题考查空间中的线面关系，二面角的平面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．
7．（5分）甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，则目标被击中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题是一个相互独立事件同时发生的概率，目标被击中的对立事件是目标不被击中，目标不被甲击中的概率乘以目标不被乙击中的概率再乘以不被丙几种的概率，即为目标不被击中的概率，用1减去得到结果．
【解答】解：∵甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，
∴目标不被击中的概率是
∴由对立事件的概率公式得到目标被击中的概率为8﹣＝
故选：A．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式的求法与运用，一般方法：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．
8．（5分）若不等式lg≥（x﹣1）lg3对任意x∈（﹣∞，1）恒成立（ ）
A．（﹣∞，0]B．[1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，1]
【分析】不等式lg≥（x﹣1）lg3可整理为，然后转化为求函数y＝在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．
【解答】解：不等式lg≥（x﹣8）lg3，
即不等式lg≥lg3x﹣1，
∴，整理可得，
∵y＝在（﹣∞，
∴x∈（﹣∞，8）y＝＞，
∴要使原不等式恒成立，只需a≤8，1]．
故选：D．
【点评】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转为思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
（多选）9．（6分）下面结论正确的是（ ）
A．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
B．若事件A与B是相互独立事件，则与也是相互独立事件
C．若P（A）＝0.6，P（B）＝0.2，A与B相互独立，那么P（A∪B）＝0.68
D．若P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，A与B相互独立，那么
【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C，D．
【解答】解：对于A，由互斥事件的定义可知，B互斥，
但是A与也是互斥事件不成立；
对于B，若A与B相互独立，B与，与，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，故C正确；
对于D，如果A与B相互独立，
则，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了相互独立和互斥事件的定义，考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中是偶函数的是（ ）
A．y＝f（|x|）B．y＝f（x2）C．y＝x•f（x）D．y＝f（x）+x
【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义依次分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，
依次分析选项：
对于A，对于y＝f（|x|），则函数y＝f（|x|）是偶函数，
对于B，对于y＝f（x2），f[（﹣x）2]＝f（x3），则函数y＝f（x2）是偶函数，符合题意，
对于C，对于y＝xf（x），则函数y＝xf（x）是偶函数，
对于D，对于y＝f（x）+x，则函数y＝f（x）+x是奇函数，
故选：ABC．
【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PD⊥BDD．PA⊥BD
【分析】由直线与平面垂直的判定与性质证明ABD正确；利用反证法思想说明C错误．
【解答】解：如图，
∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，BD⊂平面ABCD，故D正确；
∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，BC⊂平面ABCD，
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，则BC⊥PB；
同理可得PD⊥CD，故B正确；
假设PD⊥BD，又PA⊥BD，可得BD⊥平面PAD，
而CD⊥平面PAD，过D有两条直线与平面PAD垂直，故C错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力考查推理论证能力，是基础题．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）某市教育行政部门为了对某届高中毕业生学业水平进行评价，从该市高中毕业生中随机抽取1000名学生的学业水平考试数学成绩作为样本进行统计．已知该样本中的每个值都是[40，100]中的整数，50），[50，[70，80），90），[90，记这1000名学生学业水平考试数学平均成绩的最小值（平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率）为a 67.5 ．
【分析】利用题目所给定义直接求解．
【解答】解：因为平均数的最小值是用区间的左端点值乘各组的频率，
于是a＝0.005×10×40+0.010×10×50+4.025×10×60+0.035×10×70+0.015×10×80﹣2.010×10×90＝67.5．
故答案为：67.5．
【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
13．（5分）已知分段函数，则f（e2）＝ 2 ，＝ 0 ．
【分析】根据分段函数的解析式，先求出f（e2）的值，先求f（），然后根据解析式再进行求解．
【解答】解：，
则f（e2）＝lne2＝8，
＝f（ln）＝f（﹣8）＝0，
故答案为：2；5．
【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．
14．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，CD＝2BD．当取得最小值时 ．
【分析】首先设出BD，CD，在两个三角形中分别表示AC，BC，继而＝，从而利用均值不等式取等号的条件即可．
【解答】解：设BD＝x，CD＝2x，
在三角形ACD中，b2＝8x2+4﹣8•2x•2•cs60°，可得：b7＝4x2﹣8x+4，
在三角形ABD中，c2＝x7+4﹣2•x•8•cs120°，可得：c2＝x2+4x+4，
要使得最小，即，
＝＝，
其中，此时，
当且仅当（x+1）7＝3时，即或（舍去），即，
故答案为：．
【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，厂家每件分别收取加工费90元，50元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
【分析】（1）根据表格数据得到甲乙A级品的频数分别为40，28，即可求得相应频率；
（2）根据所给数据分别求出甲乙的平均利润即可．
【解答】解：（1）由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40＝0.4，
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28，故频率为，
故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率估计值分别是4.4；
（2）由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.8，0.2，3.2，
故其平均利润为（90﹣25）×0.5+（50﹣25）×0.2+（20﹣25）×7.2+（﹣50﹣25）×0.4＝15（元）；
同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28，0.17，2.21，
故其平均利润为（90﹣20）×0.28+（50﹣20）×0.17+（20﹣20）×6.34+（﹣50﹣20）×0.21＝10（元）；
因为15＞10，所以选择甲分厂承接更好．
【点评】本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．
16．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AB＝2，DP＝．
（1）证明：BD⊥PA；
（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
【分析】（1）易知PD⊥BD，取AB中点E，容易证明四边形BCDE为平行四边形，再根据长度关系可得BD⊥AD，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
【解答】解：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，
∴PD⊥BD，
取AB中点E，连接DE，
∵AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，
∴∠DAB＝60°，又∵AE＝，
∴DE＝1，∴DE＝，
∴△ABD为直角三角形，且AB为斜边，
∴BD⊥AD，
又PD∩AD＝D，PD⊂面PAD，
∴BD⊥面PAD，
又PA⊂面PAD，
∴BD⊥PA；
（2）由（1）知，PD，BD两两互相垂直，
，
则，
∴，
设平面PAB的一个法向量为，则，则可取，
设PD与平面PAB所成的角为θ，则，
∴PD与平面PAB所成的角的正弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
17．（15分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣cs2x（x）在区间上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）由图可得A＝1，一个周期内最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，得最小正周期T，进而得ω，代入最高点坐标求φ，得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的解析式，代入求出g（x）的解析式，用两角和的正弦公式把式中的第一项展开，合并，再逆用两角差的正弦公式把式子变形为一个角的一个三角函数值，由x的范围，得到2x﹣的范围，由正弦函数的图象得到sin（2x﹣）的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由图可得A＝1，，所以T＝π
所以ω＝2．
当时，f（x）＝6，
因为，所以
所以f（x）的解析式为．（6分）
（Ⅱ）
＝
＝＝．（10分）
因为，所以．
当，即时，g（x）有最大值；
当，即x＝0时，最小值为
【点评】给出条件求y＝Asin（ωx+φ）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求三角函数最值时，一般要把式子化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，从x的范围由里向外扩，一直扩到Asin（ωx+φ）的范围，结合正弦函数图象求出最值．
18．（17分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m（1≤m≤12且m∈R），药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）•f（x），其中f（x）＝．
（1）若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗
【分析】（1）由m＝9可得函数y的解析式，可令y≥2，分段解不等式求并集即可；
（2）由当6≤x≤8，可得函数y的解析式，化简，结合函数的单调性，可得最小值．
【解答】解：（1）由m＝9可得y＝3f（x）＝，
当0≤x＜6时，≥2，此时0≤x＜4；
当6≤x＜8时，12﹣，解得x≤，
综上可得0≤x≤，
病人一次服用7克的药剂，则有效治疗时间可达；
（2）当6≤x≤2时，y＝2（4﹣）＝3﹣x+，
由y＝8﹣x，y＝，8]均为减函数，
可得y＝8﹣x+在[6，
即有y≥8﹣6+＝，
由≥2，
可得m的最小值为．
【点评】本题考查函数在实际问题中的运用，考查函数的单调性的运用：求最值，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．
19．（17分）为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，第1组[20，25），30），第3组[30，第4组[35，40），45]，得到的频率分布直方图如图所示
（1）分别求出第3，4，5组志愿者的人数，若在第3，4，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验
【分析】（1）由第1组有5人，求出n＝100，从而第3组有30（人），第4组有20（人），第5组有10（人），从而利用分层随机抽样在第3，第4，第5组中分别抽取3人，2人，1人．
（2）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1，从6名志愿者中抽取2名志愿者，利用列举法能求出第3组至少有1名志愿者被抽中的概率．
【解答】解：（1）由题意，因为第1组有5人，n＝100，
所以第3组有0.06×5×100＝30（人），
第5组有0.04×5×100＝20（人），
第6组有0.02×5×100＝10（人）．
所以利用分层随机抽样在第8，第4，2人．
（2）记第4组的3名志愿者为A1，A5，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第4组的1名志愿者为C1，
则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A1，A7），（A1，A3），（A2，B1），（A1，B8），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B4），
（A2，B2），（A4，C1），（A3，B7），（A3，B2），（A5，C1），（B1，B3），共15种．
其中第3组的3名志愿者A5，A2，A3至少有一名志愿者被抽中的有：
（A8，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A7，B2），（A1，C3），（A2，A3），（A7，B1），（A2，B5），
（A2，C1），（A2，B1），（A3，B7），（A3，C1），共12种．
则第2组至少有1名志愿者被抽中的概率为．
【点评】本题考查分层抽样、列举法、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/17 23:39:29；用户：树理化；邮箱：17625822904；学号：56605566等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21