浙江省新阵地教育联盟2026届高三上学期第一次联考数学试卷（Word版附解析）

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第I卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定集合，再由交集运算即可求解.
【详解】，
所以，
故选：D
2. 在中，角的对边分别为，则“”是“为等边三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，无法判断，由此即可判断.
【详解】由，可得：，
又角为三角形内角，所以，此时无法判断角，
所以无法判断为等边三角形，
由为等边三角形，可得，
即，可得，
所以“”是“为等边三角形”的必要不充分条件，
故选：B
3. 下列函数和为同一函数的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】根据同一函数的定义判断各选项即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，
函数的定义域为，而，
所以函数和不为同一函数；
对于B，函数的定义域为，
函数的定义域为，
而，，
所以函数和为同一函数；
对于C，函数的定义域为，
函数，则的定义域为，
所以函数和不为同一函数；
对于D，函数的定义域为，
函数的定义域为，
而，
所以函数和不为同一函数.
故选：B.
4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，得，进而得到即可求解离心率.
【详解】由题意，得，则，
所以，则，即，
所以的离心率为.
故选：A.
5. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. 1C. 7D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件结合周期函数的性质和奇函数的性质可得， ，所以，再结合条件当时，，求，由此可得结论.
【详解】因为是定义在上且周期为2的奇函数，
所以，，
所以，
因为当时，，
所以，
所以，
故选：A.
6. 已知实数满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】整理出圆方程，得出圆心和半径，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可求解.
【详解】由，则，
表示以为圆心，3为半径的圆，即点在该圆上，
设，则圆心到直线的距离为，
解得，则的最大值是.
故选：B
7. 下列四个选项中，最大的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用方根的意义及对数函数的单调性判断即得.
【详解】由，得，由，得，而，
所以给定的4个数中最大的是.
故选：C
8. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得，设，而，进而结合组合知识求解即可.
【详解】由题意，，设，而，
则从这11个整数中任取3个不同的数，按照从小到大的顺序安排给，
故满足条件的个数为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若的夹角为钝角，则
D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，根据平面向量垂直的坐标表示求解判断即可；对于B，根据平面向量共线的坐标表示求解判断即可；对于C，由的夹角为钝角可得，且不共线，进而求解判断即可；对于D，易得，令，利用判别式法求解判断即可.
【详解】对于A，由，则，即，故A正确；
对于B，由，则，即，故B正确；
对于C，由的夹角为钝角，则，且不共线，
则且，故C错误；
对于D，由在方向上的投影向量为，
则，所以，
令，则，
当时，，则，符合题意，
当时，有，解得且，
综上所述，，则的取值范围为，故D正确.
故选：ABD.
10. 在三棱锥 中，平面，，，，是内的动点（含边界）且，下列结论正确的是（ ）
A. 二面角为直二面角B. 与平面所成角为
C. 三棱锥的体积最大值为1D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，由平面可得平面平面，进而判断即可；对于B，先证明平面，可得为与平面所成角，进而求解判断即可；对于C，过点作，垂足为，可得，平面，再结合三棱锥的体积公式求解判断即可；对于D，设的中点为，由，可得在以为圆心，为半径的半圆上一点，进而结合圆的知识求解判断即可.
【详解】对于A，由平面，平面，
所以平面平面，则二面角为直二面角，故A正确；
对于B，由平面，平面，则，
因为，，且平面，
所以平面，则为与平面所成角，
由，，，则，
则，所以，即，故B正确；
对于C，由A知，平面平面，
过点作，垂足为，则，
因为平面平面，平面，
所以平面，即平面，则，
设中，边上的高为，
要使三棱锥的体积最大，则要最大，
而，则，即为等腰直角三角形时最大，
则，此时，故C正确；
对于D，设的中点为，由，则在以为圆心，为半径的半圆上一点，
而，则，
则的最小值为，故D错误.
故选：ABC.

11. 已知，且不全为0，，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，分析易得，进而得到，，进而求解判断即可；B选项，结合辅助角公式求解判断即可；C选项，结合辅助角公式可得，进而得到，再结合即可求解判断；D选项，设，由辅助角公式结合题设可得，进而得到，可得，，进而求解判断即可.
【详解】A选项，若，所以，
则，
所以，故A错误；
B选项，若，则，故B正确；
C选项，若，由，
则，即，
则，
则，即，故C正确；
D选项，设，由，
则，
则，
即，则，，
于是，故D正确.
故选：BCD.
第II卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 已知复数，则 __________.
【答案】1
【解析】
【分析】先根据复数的运算法则求得，再结合复数的模的公式求解即可.
【详解】由，
则.
故答案为：1
13. 已知数列共10项，且.若满足的共有奇数个，则满足条件的不同数列的个数为__________．
【答案】1008
【解析】
【分析】设分别有个，为奇数，由题意可得，进而得到，计算可得当时，；时，，进而结合组合知识求解即可.
【详解】设分别有个，为奇数，
则，
所以，即，
经过计算，当时，；时，，后续没有其他情况了，
则条件的不同数列的个数为.
故答案为：1008.
14. 已知，若三次函数在点处的切线与图象交于另一点，在点处的切线与图象交于另一点，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意及导数的几何意义可求得，，进而得到，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可.
【详解】由，
则，即，
所以函数在处的切线方程为，
联立，得，
解得或，则，
则，所以函数在处的切线方程为，
联立，得，解得，
所以，
则，
设，，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，即的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列的前项和为．
（1）若为等比数列，求；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系结合题设可得，得到数列从第二项起是等比数列，
再结合为等比数列可得，再由进而求解即可；
（2）先求，方法一：可由题设得到，可得数列是首项为3，公比为3的等比数列，可得；方法二：结合（1）得到，再求得.
再求得，根据裂项或错位相减法求和即可.
【小问1详解】
由，①
当时，，②
①②得，数列从第二项起是等比数列，
若为等比数列，则公比为3，且，
当时，，则，解得.
【小问2详解】
先求：
方法一：由，则，而，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，即；
方法二：当时，，而，则，
由（1）可知，数列从第二项起，是公比是3的等比数列，
所以，
则，
时，也符合，所以.
再求：可得，
方法一：因为，
所以
方法二：，
所以
两式相减得
，
所以.
16. 如图1，在直角梯形中，，分别是的中点，将四边形沿折起，如图2，连接．

（1）求证：；
（2）若为线段上一动点，，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）将线线垂直问题转换为线面垂直问题；
（2）证明三直线两两垂直进而建立空间直角坐标系求解.
【小问1详解】
∵分别是的中点，，∴.
∵，∴.
∵，平面，平面∴平面.
∵平面，∴.
【小问2详解】
因为，，与相交于点，且平面，平面.
所以平面.
因为平面，所以.
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.

则，，.
设，
所以的最小值为6.
17. 某市两个博物馆为应对暑期参观高峰，招聘博物馆讲解员志愿者，参与者通过笔试、面试、模拟技能这3项考核后可以被聘为志愿者．所有参与者均需参加3项考核，且3项考核的结果互不影响，3项考核均通过后聘为讲解员志愿者．去年有100名高中生参加博物馆志愿者招聘，具体招聘结果如下表所示：
今年，某高中生小乐准备参加志愿者招聘，假定他参加各项考核的结果相互不影响，且专业人士对他作出较客观的估计：小乐通过博物馆的每项考核的概率均为，通过博物馆的各项考核的概率分别为：．
（1）依据小概率值 的独立性检验，判断去年100名高中生参加博物馆的志愿者招聘能否聘用与性别是否有关联；
（2）若小乐通过两个博物馆考核的项数分别记为，分别求出与的数学期望．
附：参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】（1）与性别无关
（2），
【解析】
【分析】（1）由题意作出列联表，依据对立性检验的计算公式计算判别即可；
（2）由条件分析得服从二项分布，进而求解期望，而的可能取值为：0，1，2，3，进而求解对应的概率，再求期望.
【小问1详解】
：去年100名高中生参加博物馆的志愿者招聘能否聘用与性别无关，
由列联表数据，计算可得，
根据小概率值的独立性检验，可以认为去年100名高中生参加博物馆的志愿者招聘能否聘用与性别无关.
【小问2详解】
由题意，，则；
由题意可知，的可能取值为：0，1，2，3.
，，
，，
则.
18. 已知函数（为自然对数的底数， ）．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若，证明：在上恒成立；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求导，讨论导函数的正负，进而得到的单调性；
（2）令，求导，讨论导函数的正负，进而得到的单调性，得到在上的下限，即得答案；
（3）令，得在上恒成立，有，再利用导数，以及放缩等技巧证明当时，即可.
【小问1详解】
，在上小于0，在上大于0；
故在上递减，在上递增.
【小问2详解】
令，，
，
所以在上递增，.
【小问3详解】
令，则在上恒成立，
可以转化为在上恒成立，
，
当时，，
所以，
，，
综上，
19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过动点作椭圆的切线，切点为，在轴上方．
（i）证明：直线与直线的斜率之比为定值；
（ii）若，过点作直线交椭圆于两点，过作的平行线，交于点 ，交 于点 ，此时，求满足条件的所有直线的斜率．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据离心率可得，，代入点运算求解即可；
（2）（i）求切线方程分析可知直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理可证；（ii）由（i）可得， ，直线：，联立方程利用韦达定理可证三点共线，即恒成立，结合判别式求斜率的取值范围.
【小问1详解】
因为离心率为，则，，
可得椭圆方程为，
代入点可得，解得，可得，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
（i）由（1）知椭圆左顶点 ，右顶点 ，

设切点，，，显然切线的斜率存在，
设切线，
联立方程，消去 y可得 ，
则，整理可得 ，
可得，解得，即，
则，可得 ，
切线，即，
同理可得切线，
因在切线上，则，
可得直线的方程为，即，
联立方程，消去x可得，
则，，可得，
因为直线的斜率，直线的斜率，
则
，
所以直线与直线的斜率之比为定值；
（ⅱ）若，即，
由（i）可得切点，切线的斜率为，
且直线方程为，

由图可知直线的斜率存在，
设直线，，则 ，
因为直线，
联立方程，解得，
又因为，可知为线段的中点，
可得，，
下证三点共线，
因为
，
联立方程，消去y可得：，
则，解得，
由韦达定理得： ，
整理可得，
，
则 ，
即，可知三点共线，即恒成立，
所以直线 的斜率的取值范围为.
性别
参加考核但未聘用的人数
参加考核并成功聘用的人数
男生
45
10
女生
30
15
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6635
7.879
10.828
性别
参加考核但未聘用的人数
参加考核并成功聘用的人数
合计
男生
45
10
55
女生
30
15
45
合计
75
25
100