湖南省衡阳市耒阳市东江中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份湖南省衡阳市耒阳市东江中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图表示互为相反数的两个点是（ ）
A．点A与点BB．点A与点DC．点C与点BD．点C与点D
2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（ ）
A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒
3．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a）4＝a4 B．a2•a3＝a6C．﹣＝ D．2a3+3a2＝5a5
5．如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠1＝∠2
6．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）
7．某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ）
A．中位数B．平均数C．众数D．方差

8．如图在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线y2＝（x＜0）交于点B，连接AB，已知＝2，则＝（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．若分式的值不存在，则x＝ ．
10．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
11．质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有 件次品．
12．某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝ ．
13．小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：
小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 ．
14．如图在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是 ．
15.如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA长为 ．
16．如图在RT△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D、E分别是AB、BC边上的点，且DE=6，若P是AC的中点，Q是DE的中点，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
三、解答题（17～19题每小题6分，20～24题每小题8分，25～26题每小题12分，共82分）
17．（6分）计算：（）﹣1﹣2cs45°+|1﹣|﹣（+1）0．
18．（6分）解方程：＝+1．
19．（6分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．
20．（8分）先化简，再求值：a−1a2+a−a−3a2−1÷1a−1 ，其中a=2 .
21．（8分）我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统的外型、 型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶. 为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机采访了 名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为 度；
（2）补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；
（3）若该校有3600 名学生，估计该校学生将用过的餐中纸投放到红色收集桶的人数；
22．（8分）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．
（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？
23．（8分）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．
24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线DC是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
25．（12分）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．
（1）如图2，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．
求证：AG⊥CP；
26．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线和直线BC的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
BADAD BCB
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9.﹣1
10.
11. 20
12.8.0
13.y＝3x+37
14.（，2）．
15. 3
16. 2.
三、解答题（17～19题每小题6分，20～24题每小题8分，25～26题每小题12分）
17.（6分）原式＝3﹣2×+﹣1﹣1
＝3﹣+﹣2
＝1．
18.（6分）解：＝+1，
方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得
x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），
解得x＝3，
检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．
故x＝3是原方程的解．
19.（6分）证明：方法一：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴DF＝BF，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，DA＝BC，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
同理可证：△DCF≌△BAE（SAS），
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
方法二：∵ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，
∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，
所以就能得到四个三角形全等，
所以四条边相等，
所以四边形BEDF为菱形．
方法三：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是菱形．
20. （8分）原式=a−1aa+1−a−3a+1a−1∙a−1 ……………………………3分
=(a−1)2−a(a−3)aa+1a−1∙a−1 ……………………………5分
= 1a ……………………………6分
当a=2时，1a=12=22 ……………………………8分
21.（8分）解：（1）200， 198； …………………………2分
（2）补全的条形统计图如图所示： …………………………3分
（3）该校学生将用过的的餐巾纸投放到红色收集桶的人数：
3600×16200=288（人）……………………………5分
22.（8分）解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨．
（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，
依题意，得：，
解得：25≤m≤27．
∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．
23.（8分）解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：
AB＝3x，
在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，
∴AO＝2000，
∴DO＝2000，
∵CD＝460，
∴OC＝OD﹣CD＝2000﹣460，
在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，
∴BO＝OC，
∵OB＝OA+AB＝2000+3x，
∴2000+3x＝2000﹣460，
解得x≈335（米/秒）．
答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．
24.（8分）（1）证明：连接OC，
∵直线l与⊙O相切于点A，
∴∠DAB＝90°，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，
即∠DCO＝∠DAO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴直线DC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠CAB＝30°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝BC＝2，
∴CE＝OC＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB＝﹣＝2﹣．
25.（12分）解：（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED．
理由：∵四边形EFGD是正方形，
∴DG＝DE，∠GDE＝90°，
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠GDE＝∠ADC，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△AGD≌△CED（SAS）．
②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．
∵△AGD≌△CED，CD＝CE，
∴AD＝AG＝4，
∵AT⊥GD，
∴TG＝TD＝1，
∴AT＝＝，
∵EF∥DG，
∴∠GHF＝∠AGT，
∵∠F＝∠ATG＝90°，
∴△GFH∽△ATG，
∴＝，
∴＝，
∴GH＝．
（2）如图3中，设AD交PC于O．
∵△AGD≌△CED，
∴∠DAG＝∠DCE，
∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，
∴∠AOP+∠DAG＝90°，
∴∠APO＝90°，
∴CP⊥AG．
26.（12分）
鞋的尺码（cm）
24
24.5
25
25.5
26
26.5
销售数量（双）
2
7
18
10
8
3
日期x（日）
1
2
3
4
成绩y（个）
40
43
46
49