数学试题-湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高三上学期10月考试

这是一份数学试题-湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高三上学期10月考试，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 在复平面内，的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 集合，则满足的集合的个数为（ ）
A. 4B. 7C. 15D. 16
3. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. 2或D. 或
4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ）
A B.
C. D.
7. 若，则下列不等关系一定不成立是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 正方体中，点分别为棱的中点，则（ ）
A. B. 平面
C. 平面D.
10. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴；一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的反射集中于它的焦点．已知抛物线为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上的另一点反射后沿直线射出，则（ ）
A
B. 是一个钝角三角形
C. 若延长交直线于点，则点在直线上
D. 抛物线在点处的切线分别与直线、所成的角相等
11. 在中，是角的对应边，满足，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为2
C. 的面积最大值为
D. 若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_____．
13. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为，若，则的值为_____．
14. 抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则_____，_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某种疾病分为甲、乙两种类型，为研究该疾病的类型与患者性别是否有关，随机抽取了名患者进行调查，得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，得出了“所患疾病的类型与性别有关”的结论，求的最小值；
（2）现对部分人群接种预防甲型疾病的疫苗，要求每人至多安排2个周期接种疫苗，每人每周期必须接种3次，每次接种后，产生抗体的概率为0.8．如果一个周期内至少2次产生抗体，那么该周期结束后终止接种，否则进入第二个周期．已知每人每周期接种费用为30元，试估计1000人接种疫苗总费用的期望．附，
16. 设数列的前项和为，且．
（1）证明：为等差数列；
（2）数列满足，当，且时，求的最小值．
17. 如图所示，正四棱锥中，点是棱中点．

（1）证明：平面；
（2）已知异面直线与所成角的余弦值为，
（i）求二面角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18. 设椭圆的右顶点为，上焦点为，直线与椭圆交于不同于的两点，．
（1）是否存在，使为的重心，试说明理由；
（2）已知，
（i）证明：恒过定点；
（ii）设点在上，且满足，是椭圆上的动点，求的最大值．
19. 已知函数．
（1）当的最小值为0时，求实数的值；
（2）给定，证明：存在一个大于的零点，且；
（3）若对任意，都有，求实数的取值范围．
性别
疾病类型
合计
甲型病
乙型病
男
女
合计
001
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828