湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高三上学期10月考试数学试卷

这是一份湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高三上学期10月考试数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 在复平面内，的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 集合，则满足的集合的个数为（ ）
A. 4B. 7C. 15D. 16
3. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. 2或D. 或
4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ）
A B.
C. D.
7. 若，则下列不等关系一定不成立是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 正方体中，点分别为棱的中点，则（ ）
A. B. 平面
C. 平面D.
10. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴；一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的反射集中于它的焦点．已知抛物线为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上的另一点反射后沿直线射出，则（ ）
A
B. 是一个钝角三角形
C. 若延长交直线于点，则点在直线上
D. 抛物线在点处的切线分别与直线、所成的角相等
11. 在中，是角的对应边，满足，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为2
C. 的面积最大值为
D. 若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_____．
13. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为，若，则的值为_____．
14. 抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则_____，_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某种疾病分为甲、乙两种类型，为研究该疾病的类型与患者性别是否有关，随机抽取了名患者进行调查，得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，得出了“所患疾病的类型与性别有关”的结论，求的最小值；
（2）现对部分人群接种预防甲型疾病的疫苗，要求每人至多安排2个周期接种疫苗，每人每周期必须接种3次，每次接种后，产生抗体的概率为0.8．如果一个周期内至少2次产生抗体，那么该周期结束后终止接种，否则进入第二个周期．已知每人每周期接种费用为30元，试估计1000人接种疫苗总费用的期望．附，
16. 设数列的前项和为，且．
（1）证明：为等差数列；
（2）数列满足，当，且时，求的最小值．
17. 如图所示，正四棱锥中，点是棱中点．

（1）证明：平面；
（2）已知异面直线与所成角的余弦值为，
（i）求二面角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
18. 设椭圆的右顶点为，上焦点为，直线与椭圆交于不同于的两点，．
（1）是否存在，使为的重心，试说明理由；
（2）已知，
（i）证明：恒过定点；
（ii）设点在上，且满足，是椭圆上的动点，求的最大值．
19. 已知函数．
（1）当的最小值为0时，求实数的值；
（2）给定，证明：存在一个大于的零点，且；
（3）若对任意，都有，求实数的取值范围．
高三年级10月考试数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题、审题：高三数学备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 在复平面内，的共轭复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的几何意义求解.
【详解】根据题意，，
则的共轭复数为，其对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
2. 集合，则满足的集合的个数为（ ）
A. 4B. 7C. 15D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式求出集合，然后根据子集的概念求解．
【详解】，
又，
则满足的集合有：，共4个，
故选：A．
3. 若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. 2或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可.
【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为，
则渐近线的倾斜角为或，
所以渐近线的斜率为或.
因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为.
所以或.
所以双曲线的离心率为或2.
故选：C.
4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象的平移变换，可得，结合题意可知该函数为奇函数，利用奇函数的性质列式，化简求值，即得答案.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
所得的图象对应的函数为，
由题意知的图象关于原点对称，即函数为奇函数，
故，
即，
故，
即，
因为，故当时，m取最小值.
另解：由题意知的图象关于原点对称，
故，即，
因为，故当时，m取最小值，
故选：A
5. 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到，解出此不等式组，从而得解.
【详解】定义在上的偶函数，，，
当时，单调递减，当时，单调递减，
定义在上的偶函数，
，，，
当时，单调递减，
，，即，
解得或，
的定义域为，
，，
，
或和要同时成立，
，
关于的不等式的解集为.
故选：C.
6. 如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解.
【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直，
由图可知，所以，故，
所以，又因为，所以，
所以（），故.
故选：D.
7. 若，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，可得，作出函数的图象，作出，变换的值即可得出答案.
【详解】因为，
则，
由，得，，
作函数的图象，同时作出，
如上图，变换的值可以发现，，均能够成立，不可能成立.
故选：B.
8. 已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于的不等式即可求解.
【详解】将直线变形为，
则可知直线恒过定点，且，
若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点，
则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故，
即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径，
根据圆的性质，当时，弦最短，最小，此时弦长，
在中，当时，此时，
由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足，
即，解得，
综上，的取值范围为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 正方体中，点分别为棱的中点，则（ ）
A. B. 平面
C. 平面D.
【答案】BC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、直线方向向量与平面法向量的关系逐一判断即可.
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2.
A：因为，
所以，
因为，
所以不成立，故本选项说法不正确；
B：因为，
所以，
因为，
所以，而平面，
所以平面，因此本选项说法正确；
C：设平面的法向量为，
因为，所以，
于是有，，
因为，平面，
所以平面，因此本选项说法正确；
D：因为，所以，而，
显然不存在实数，使得成立，所以不成立，因此本选项说法不正确，
故选：BC
10. 抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴；一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的反射集中于它的焦点．已知抛物线为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上的另一点反射后沿直线射出，则（ ）
A.
B. 是一个钝角三角形
C. 若延长交直线于点，则点在直线上
D. 抛物线在点处的切线分别与直线、所成的角相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题目条件，依次求得，，的坐标，进而求出，，，可判断选项A和B；求出直线方程进而求出的坐标，可判断选项C；通过导数求出切线方程，并根据平面几何知识，三角形的等边对等角及平行线同位角内错角相等，可判断选项D.
【详解】
由抛物线的方程可知，其焦点的坐标为.由题目可知，轴，，故点的纵坐标为.
设点坐标，又因为点在抛物线上，故，解得，故.由题意可知，平行于轴的光线经抛物线反射后会集中于焦点，因此直线经过点.
直线斜率为，因此直线的方程为.
直线与抛物线交于，两点，联立方程，解得，
因此，故A选项错误.
因为，.
所以，所以.
因此是钝角三角形.故选项B正确.
由两点坐标可知，直线的方程为.
设直线与直线相交于，
联立，解得.
又因为光线经抛物线的焦点，故经过点反射后，直线平行于轴.
因此.故点在直线上.故选项C正确.

当时，抛物线的方程可表示为.
求导得，故过作抛物线的切线斜率为.故该切线方程为.
设该切线在点上方有一点，且与轴相交于.易知.
故，，因此，所以，
又因为轴，所以，，故，
即点处的切线分别与直线、所成的角相等.故选项D正确.
故选：BCD
11. 在中，是角的对应边，满足，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为2
C. 的面积最大值为
D. 若，则
【答案】AC
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】先判断，结合勾股定理即可判断A；利用基本不等式可判断B；由，则，结合，即得，可求出，结合三角形面积公式，可判断C；由条件，可求得A的值，可得的关系，可判断D.
详解】由，可得，
即得，
即得，
则，
若，则，则可得，
令，则，
这是不可能的，从而可知；
对于A，由于，故，
故
，A正确；
对于B，在中，，故均为锐角且互余，
则，
故为定值1，B错误；
对于C，，且，
由，则，结合，
当且仅当时取等号，
得，解得（负值舍去），
又，
故，
当且仅当时等号成立，
即的面积最大值为，C正确；
对于D，由于，则，故由，知，
结合，得，即，
由于，故或，即或，
当时，，则；
当时，，则，故D错误，
故选：AC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_____．
【答案】1
【解析】
【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解
【详解】由，得，，
故曲线在处的切线方程为；
由，得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
故切线方程为，即，
因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得．
故答案为：1
13. 已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为，若，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用等差数列的性质，得，进而得，从而有，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，因为等差数列的前项和为，且，
所以，解得，
又等比数列的首项为，且，所以，解得，所以，
则，
故答案为：.
14. 抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则_____，_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据次独立重复实验事件发生的概率为，构造二项式应用赋值法分别计算即可.
【详解】抛掷1次后事件A发生奇数次，只能发生1次，；
，
抛掷n次后事件A发生，
抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为
当为偶数时，，
当为奇数时，，
构造二项式，
当为奇数时，
令，，
令，，
两式作差得，
可得，
因为，所以.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某种疾病分为甲、乙两种类型，为研究该疾病的类型与患者性别是否有关，随机抽取了名患者进行调查，得到如下列联表：
（1）根据小概率值的独立性检验，得出了“所患疾病的类型与性别有关”的结论，求的最小值；
（2）现对部分人群接种预防甲型疾病的疫苗，要求每人至多安排2个周期接种疫苗，每人每周期必须接种3次，每次接种后，产生抗体的概率为0.8．如果一个周期内至少2次产生抗体，那么该周期结束后终止接种，否则进入第二个周期．已知每人每周期接种费用为30元，试估计1000人接种疫苗总费用的期望．附，
【答案】（1）18； （2）33120.
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】（1）根据列联表中的数据求得的值，根据小概率值的独立性检验可得，求解得答案；
（2）设每人接种疫苗的费用为，其可能的取值为，求出取值对应的概率，分布列，得到每人接种疫苗的费用的均值，进而求得1000人接种疫苗总费用的期望.
【小问1详解】
根据列联表中的数据，得到，
因为根据小概率值的独立性检验，认为“所患疾病的类型与性别”有关，
所以，解得，
因为，结合列联表中各式均为整数，
所以的最小整数值为18.
【小问2详解】
设每人接种疫苗的费用为，其可能的取值为，
所以，，
所以的分布列为
所以的期望，
估计1000人接种疫苗总费用的期望为元.
16. 设数列的前项和为，且．
（1）证明：为等差数列；
（2）数列满足，当，且时，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）根据的关系和等比数列的定义可得是等比数列，得出的通项公式，进而利用等差数列的定义证明为等差数列；
（2）求得，令，利用错位相减法求得，可证得单调递增，由此可求得结果
小问1详解】
由题知，
当时，，即，可得，
当时，，又，
所以，即，
整理得，可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
，，
，
所以是以为首项，以为公差的等差数列.
【小问2详解】
当，，
因为，所以，
令，
，
由得：，
即，
所以.
，
可得，则单调递增.
，，
，
，，
因为单调递增，所以，当时，；当时，，
由，可得，
故所求的最小值为6．
17. 如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点．

（1）证明：平面；
（2）已知异面直线与所成角的余弦值为，
（i）求二面角的正弦值；
（ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）；（ii）存在，.
【解析】
【分析】（1）根据中位线得出，从而可得平面；
（2）设，根据向量法结合异面直线与所成角的余弦值为得出，进而求所成角的余弦值，最后应用同角三角函数关系计算求解；
（3）假设存在点F，设，使平面，计算得出.
【小问1详解】

连接，，连接，因为是中点，点是棱的中点，
则，
因为平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
（i）

因为平面，，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，
所以，又异面直线与所成角的余弦值为，
所以，
解得，故，
所以，
设平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，得，取，得．
设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角，
所以，；
（ii）设线段上是否存在点，且，
因为，
设，，
因为 ，
又因，
所以，
所以
所以 ，
当 时， 平面，所以平面，
所以当时，平面；
18. 设椭圆的右顶点为，上焦点为，直线与椭圆交于不同于的两点，．
（1）是否存在，使为的重心，试说明理由；
（2）已知，
（i）证明：恒过定点；
（ii）设点在上，且满足，是椭圆上动点，求的最大值．
【答案】（1）不存在，使为的重心，理由见解析；
（2）（i）证明见解析；（ii）的最大值为.
【解析】
【分析】（1）利用反证法进行证明即可.
（2）（i）设直线方程为，与椭圆方程联立，通过，进行计算即可.
（ii）根据，可知，点在以为直径的圆上，对是否为进行讨论即可.
【小问1详解】
不存在，使为的重心，根据题意，，
设，，假设存在，设直线的斜率为，使为的重心，
所以，解得，
又，两点为椭圆上的点，则，两式相减得 ，所以，
设，两点中点为，则坐标为，故，
所以直线为，即直线：，
将直线代入椭圆方程，得到，
化简得到，则其判别式为，
所以直线与椭圆无两个交点，故不存在直线，使为的重心.
【小问2详解】
（i）设直线：，与椭圆方程，联立得，，
所以，，，
因为，所以，，
所以，
所以，，
代入得，解得或，
因为直线与椭圆交于不同于的两点，所以，，则恒过定点.

（ii）已知直线：，设，由，知，
所以点在以为直径的圆上，且圆心，半径，
因为，所以椭圆上一点到圆心的最大距离为，
所以当时，最大距离为，所以的最大值为，
所以的最大值为.
19. 已知函数．
（1）当的最小值为0时，求实数的值；
（2）给定，证明：存在一个大于的零点，且；
（3）若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】（1）利用导数含参讨论函数的单调性，研究最值得出，构造函数研究其单调性解方程求参数即可；
（2）结合（1）的结论及零点存在性定理得出，再构造函数证，利用的单调性即可证明；
（3）利用换元法化简不等式，先根据取点法判定不成立，再结合放缩，判定成立，最后作差函数，结合导数的定义判定不成立即可.
【小问1详解】
由题意可知，
显然时，在定义域上单调递减，没有最值；
则，易得在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当的最小值为0时，即，
令，
可知在上单调递增，在上单调递减，即，
即只有一个解；
【小问2详解】
由上可知时，在上单调递减，在上单调递增，
且，即，
而，
所以使得，
因为，所以，
而
，
设，则，
所以在上单调递增，即，所以，
故，证毕；
【小问3详解】
，恒成立等价于
，令，
上述不等式化为，
令，则该函数单调递增，即，
所以，
若，取，显然，与题设矛盾；
若，取，有，也与题设矛盾；
所以，
则，
不妨设，
则，
当时，，
所以在上单调递增，则，
此时满足；
当时，令，
则，
由导数的意义可知在的极小的区域内为值为负，
则取，有，与题设矛盾；
综上所述：.性别
疾病类型
合计
甲型病
乙型病
男
女
合计
001
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
性别
疾病类型
合计
甲型病
乙型病
男
女
合计
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
30
60