安徽省2025_2026学年高二数学上学期10月学情诊断试题含解析

这是一份安徽省2025_2026学年高二数学上学期10月学情诊断试题含解析，共18页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， 已知三棱锥中，点平面，若，则， 已知空间向量，其中，则等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得到答案.
【详解】设直线倾斜角为，，，则，故.
故选：.
【点睛】本题考查了直线倾斜角，属于简单题.
2. 已知平面的一个法向量为，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合选项，逐项计算，即可求解.
【详解】因为已知平面的一个法向量为，且直线平面，则满足，
对于A，若，则，所以A不符合题意；
对于B，若，则，所以B不符合题意；
对于C，若，则，所以C符合题意；
对于D，若，则，所以D不符合题意.
故选：C.
3. “直线与直线相互垂直”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线垂直，列出方程，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由直线与直线相互垂直，
可得，解得或，
所以“直线与直线相互垂直”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知三棱锥中，点平面，若，则（ ）
A. 3B. -3C. 2D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】由空间四点共面的向量表示即可求解.
【详解】由题意得，，
则，
因为四点共面，
所以，解得.
故选：A.
5. 已知空间三点，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A. B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用空间向量运算法则求出，再求出，最后利用面积公式求解即可.
【详解】由题意得，，则，
则，
则以为邻边的平行四边形的面积为.
故选：B.
6. 已知正三棱柱的棱长均为6，点是的重心，点是线段的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距.
【详解】如图，以线段的中点为原点，取的中点为，

则由正三棱柱的结构性质可以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
则.
设为平面的一个法向量，
则，令，
则是平面的一个法向量，
则点到平面的距离.
故选:A.
7. 已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ）
A. 4B. 7C. 8D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得.
【详解】设直线，其中，而，解得，
当且仅当，即时等号成立，
故，此时直线的纵截距为14.
故选：D
8. 已知在正方体中，点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设，求得平面的法向量为和，利用向量的夹角公式，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，
可设，则，
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以
设直线与平面所成的角为，
则，
当时，；
当时，，
设，可得，所以，所以，
因为，所以，则
所以直线与平面所成角的正切值的最大值为.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知空间向量，其中，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用向量模的坐标运算求解判断A；利用向量平行的坐标运算列式求得，即可判断B；利用向量垂直的坐标公式求解判断C；利用数量积的坐标运算求解判断D.
【详解】由得，故A正确；
因为，，所以，解得，
所以，故B正确；
因为且，所以，解得，故C错误；
由B可知，，又，
故，故D错误.
故选：AB.
10. 如图，圆锥的体积为，母线与底面所成角为为底面的一条直径，点是线段上靠近的三等分点，点为的中点，则（ ）
A. 圆锥的侧面积为
B. 平面
C. 直线所成角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
【答案】AC
【解析】
【分析】设圆锥的高为，底面圆半径为，结合体积，可求则，即可求解对A判断；建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行，即可对B判断；利用异面直线夹角的向量求法可对C判断；利用向量法求点到面的距离可对D判断.
【详解】A：设圆锥的高为，底面圆半径为，由题意得，，则，故圆锥的侧面积，故A正确；
B：以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则，，
设为平面的一个法向量，则，令，可得，则，故B错误；
C：因，
故直线所成角的余弦值为，故C正确；
D：记点到平面的距离为，则，故，故D错误.
故选：AC.
11. 已知关于的二元一次方程表示一条直线，关于的二元一次不等式或，则表示一个平面区域，如表示直线上的点以及直线右上方的点构成的平面区域.基于上述事实，记不等式组所表示的平面区域为，面积为，则（ ）
A 若，则
B. 满足的的值有两个
C. “”是“为三角形”的充分不必要条件
D. 若为五边形，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先分析与上各顶点相交情况对应的斜率，进而得到的区域，并确定临界情况下对应面积，再结合各选项依次判断正误.
【详解】由题知，表示的平面区域是以为顶点的正方形的边界及其内部，该正方形的面积为，
由直线恒过，且该直线的斜率存在，
当直线过时，，此时直线为，
当直线过时，，此时直线为，
当直线过时，，此时直线为，
如下图轴，其中，
若，则直线与正方形的一个交点在之间运动，
此时表示的区域为直线左上方且在正方形内的区域，
若，则直线与正方形的一个交点在之间运动，
此时表示的区域为直线右上方且在正方形内的区域，

若，则，由过正方形的中心，其面积，故A正确；
由分正方形为两部分，其中左边三角形面积为，右边五边形面积为，
所以直线与正方形的一个交点在（不含）之间时，一个交点在（不含）上运动时，
综上，满足的值仅有1个（有一种情形的值不存在），故B错误；
若为三角形，由上分析及图知或，故C正确；
若为五边形，由上分析及图知，故D正确.
故选：ACD
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则在上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由投影向量的定义，结合空间向量数量积、模长的坐标运算求投影向量.
【详解】由题意，
所以在上的投影向量为.
故答案为：
13. 已知中，，线段的中点分别在轴上，则边上的中线所在的直线的方程为__________.（结果用一般式表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据设，根据中点坐标公式可得的值，再根据斜率公式求中线斜率，从而可得中线方程.
【详解】设，则，得，
而线段的中点坐标为，故边上的中线的斜率，
所以中线所在的直线的方程为，即.
故答案为：.
14. 已知四面体中，，若该四面体的体积为48，则直线的夹角为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据四面体的特征建系，再根据三棱锥体积公式及模长公式计算求解，最后应用异面直线所成角余弦公式计算求解.
【详解】由题意得，，
以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，又，
设，则，
解得，
此时，
因此，，则
或，
则或，
所以直线的夹角为或.
故答案为：或.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知点.
（1）过点且与直线相互平行的直线的方程；
（2）求过点且横截距、纵截距相等的直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用直线平行可设直线，代入点即可求解；
（2）由题意可分直线过原点、不过原点两种情况进行讨论，即可求解
【小问1详解】
设直线，
将点代入得，，解得，
故直线的方程为.
【小问2详解】
若直线过原点，则设；
将点代入得，，故直线；
若直线不过原点，则设；
将点代入得，，故直线；
综上所述，直线的方程为或.
16. 如图，在三棱柱中，点为线段的中点，点是线段上靠近的四等分点.

（1）若，求的值；
（2）若.
（i）求的值；
（ii）求的大小.
【答案】（1）；
（2）（i）16；（ii）.
【解析】
【分析】（1）由几何体及相关线段的位置关系用表示出，即可得；
（2）（i）应用向量数量积的定义及其运算律求；（ii）由（1）及向量数量积的运算律求模长.
【小问1详解】
由题意
，
故；
【小问2详解】
（i）由，
所以，，
；
（ii）因为，
所以.
17. 如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点.
（1）求与所成角的余弦值；
（2）求点到直线的距离.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，应用向量法求异面直线的夹角余弦值；
（2）根据（1）的空间直角坐标系，应用向量法求点线距离.
【小问1详解】
以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，则，
因为，则，
记直线所成角为，
故；
【小问2详解】
因为，则，故，
则点到直线的距离
18. 已知直线的倾斜角与直线的倾斜角之和为.
（1）求的值；
（2）点在直线上运动.
（i）若，求的取值范围；
（ii）点，求当取得最小值时直线的方程.
【答案】（1）；
（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根据直线倾斜角与斜率关系，结合正切两角和公式列方程求解即可得的值；
（2）（i）根据直线方程与斜率的坐标运算将转化为点与点连线的斜率，结合图形得斜率关系，从而得所求；（ii）作点关于直线的对称点，根据对称性列方程组得的值，再根据对称性得的最小值，即可得直线的方程.
【小问1详解】
直线的斜率，倾斜角为，直线的斜率，倾斜角为，
由于，则，解得；
【小问2详解】
（i）由（1）可知，直线，
表示点与点连线的斜率，作出图形如图所示，

记，
其中，
观察可知，，所以的取值范围为.
（ii）作点关于直线的对称点，
则，解得，故，
此时，，
故直线的方程为，即.
19. 如图，三棱柱的所有棱长都相等，分别是线段的中点，平面.
（1）证明：平面平面；
（2）探究：在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用线面垂直判定定理证明平面，最后应用面面垂直判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，设，分别求出平面与平面的法向量，应用二面角余弦公式计算求参即可.
【小问1详解】
因为为等边三角形，为中点，所以，
因为平面平面，所以，
因为平面，所以平面.
因平面，所以.
因为四边形为菱形，所以，
因为分别为中点，所以，所以.
因为平面，所以平面，
因为平面，故平面平面.
【小问2详解】
由（1）知，直线两两垂直，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设；
则，，
所以
设在棱上存在点，使得平面与平面夹角的正切值为，则其余弦值为.
设，即，
则.
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量，则，
令，则，所以是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则
化简得，解得或（舍）.
故当时，平面与平面所成角的正切值为.