安徽省2025_2026学年高二数学上学期10月学情诊断试题北师大版含解析

这是一份安徽省2025_2026学年高二数学上学期10月学情诊断试题北师大版含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用斜率和倾斜角的关系得到答案.
【详解】设直线倾斜角为，，，则，故.
故选：.
【点睛】本题考查了直线的倾斜角，属于简单题.
2. 点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（ ）
A. 点在圆外B. 点在圆内C. 点在圆上D. 与m的值有关
【答案】A
【解析】
【分析】将点的坐标代入圆的方程中，看结果即可判断选项是哪个.
【详解】将点P(m，3)坐标代入(x－2)2＋(y－1)2＝2中，
有： 恒成立，故点P在圆外，
故选：A.
3. “直线：与直线：相互垂直”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线垂直的性质计算可得，再结合充分条件与必要条件定义即可得.
【详解】由题意得，，解得或，
故“直线：与直线：相互垂直”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 若直线经过第一、二、三象限，则，，应满足（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】将直线变形为斜截式，根据直线经过象限分析斜率和截距可得.
【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为，
直线经过第一、二、三象限，，，
且.
故选：B.
5. 设直线与圆相交于两点，且，则为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出图象，求出和的长，利用勾股定理即可求出的值.
【详解】由题意，
在中，
在中，，半径为，
直线与圆相交于两点，且，
设中点为C，连接，，
由几何知识得，，，
在Rt中，，
由勾股定理得，，即，解得，
故选：B.
6. 不论为何实数，直线过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解；
法二：直线方程可化为，解方程组即可求解.
【详解】法一：直线方程可化为，
令，解得，即定点坐标为.
法二：直线方程可化为，
则，解得，即定点坐标为.
故选：B.
7. 已知为坐标原点，过点的直线分别与，轴的正半轴交于，两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ）
A. 4B. 7C. 8D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】设直线方程截距式，得到，再由基本不等式即可求解.
【详解】设直线：，其中，，
由点在直线上，
得，得：，当且仅当，即，时等号成立，
故的面积，最小值为28，此时直线的纵截距为14.
故选：D.
8. 已知，，，动点满足，若，则直线（为原点）斜率的最大值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设，由题分析可知点为的中点，得，根据化简可得，从而可知点在以为圆心，为半径的圆上.根据直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，数形结合即可求解.
【详解】设，由，，得点为的中点，则.
又，，则，，
因此，即，
点在以为圆心，为半径的圆上，
设直线OM（O为原点）斜率为，
由图知当直线OM与圆相切时，直线OM的斜率取得最大值，此时，
则圆心到直线OM的距离等于半径，即，解得或，
所以直线OM（O为原点）斜率的最大值为.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】BD
【解析】
【分析】圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切，从而得到方程，求出答案.
【详解】圆的圆心为，半径为1，
圆：的圆心为，半径为3，
圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切，
所以或，即或，
所以或，
不满足要求，满足要求.
故选：BD.
10. 已知实数，满足圆的方程，则（ ）
A. 圆心为，半径为B. 的最大值为2
C. 的最大值为D. 的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D.
【详解】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确；
对于B，由，有，
所以的最大值为，故B错误；
对于C，表示圆上点到定点的距离，
圆心到定点的距离为，
所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确；
对于D，由得，
所以，，
令，由在上单调递增，所以，
所以的最大值为，故D错误.
故选：AC.
11. 已知关于，的二元一次方程表示一条直线，关于，的二元一次不等式或，则表示一个平面区域，如表示直线上的点以及直线右上方的点构成的平面区域.基于上述事实，记不等式组所表示的平面区域为，面积为S，则（ ）
A. 若，则
B. 满足的的值有两个
C. “”是“为三角形”的充分不必要条件
D. 若为五边形，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由条件作出组成的区域，进而可求出区域的面积，当时，根据对称性，即可判断A的正误；当时，，分析不满足题意，当时，分别求得直线与直线AD的交点E，和直线AB的交点F，进而可得和，由题意，可求出k值，分析可判断B的正误；当“为三角形”时，代入特殊点，可求得k的范围，根据充分、必要条件的定义，可判断C的正误；当直线过点时，组成的区域为四边形，此时为临界条件，分析即可得答案.
【详解】当时，，即连线左下方区域，
当时，，即连线左上方区域，
当时，，即连线右下方区域，
当时，，即连线右上方区域，
所以表示的平面区域是以，，，为顶点的正方形的边界及其内部，
直线恒过定点，
选项A:易知该正方形的面积为.

若，则，
由于直线过正方形的中心，其面积，故A正确；
选项B：因为直线过点，当时，，
所以当时，不存在的情况.
当时，联立，解得交点，
所以，
联立，解得交点，
所以，
所以，
解得，由，得，所以只有一条直线，
综上，满足的值只有一个，故B错误；

选项C：当直线过点时，直线与正方形组成区域为三角形，
此时，所以若为三角形，；
当直线过点时，，
所以若为三角形，，
综上，若为三角形，或，
所以“”是“为三角形”的充分不必要条件，故C正确；

选项D：当直线过点，此时，此时组成的区域为四边形，
当时，为五边形，故D正确.

故选：ACD.
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 将圆向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到圆的标准方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平移可得平移后的圆心为，半径，即可得圆的方程.
【详解】圆的圆心为原点，半径，
原点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，
即平移后圆心为，半径，故得到.
故答案为：.
13. 已知中，，，线段，的中点分别在，轴上，则边上的中线所在的直线的方程为________.（结果用一般式表示）
【答案】
【解析】
【分析】设，应用线段，的中点分别在，轴上求参，再根据中点坐标公式得出点，最后点斜式得出直线方程即可.
【详解】设，则，得，，
而线段的中点坐标为，
故边上的中线的斜率，
故中线所在的直线的方程为，即.
故答案为：.
14. 在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上，若圆上存在点，满足，则圆心的横坐标的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】设，由得出点的轨迹方程，轨迹是圆，由圆与圆的位置关系即可.
【详解】设，因为，
所以，
即，
又圆上存在点，且满足，
所以两圆相交或相切，
因为圆的圆心在直线，
所以设圆心，由两圆的位置关系得：
，
解得：，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆经过点，且圆心为．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）2.
【解析】
【分析】（1）由两点距离求半径，再结合圆心写出圆的标准方程；
（2）根据已知及点斜式写出直线方程，应用几何法求相交弦的长度.
【小问1详解】
由题设，所以圆的标准方程为．
【小问2详解】
由题意，，故，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以的长等于．
16. 已知三条直线，，.
（1）当三条直线交于一点时，求实数的值；
（2）三条直线有且只有两个交点，求实数值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）联立方程解得直线，的交点坐标为，把交点坐标为代入即可得解；
（2）分析可知直线必与直线，其中之一平行，根据平行关系分析求解即可，注意检验.
【小问1详解】
联立直线，的方程得，解得，
即直线，的交点坐标为，
把交点坐标代入得，解得.
【小问2详解】
因为直线与直线相交，当三条直线有且只有两个交点时，
所以直线必与直线，其中之一平行.
当时，，解得，
此时，符合题意；
当时，，解得；
此时，符合题意；
综上所述：实数的值为或.
17. 已知圆，圆.
（1）若圆与圆恰有三条公切线，求实数的值；
（2）设时，圆与圆相交于、两点，求.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）因圆与圆恰有条公切线，所以两圆相外切，由两圆外切得，直接可得实数的值；
（2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长.
【小问1详解】
因圆与圆恰有条公切线，所以两圆相外切
圆，得圆心，半径.
又圆，得圆心，半径
所以圆心距，，
所以，得，解得或.
【小问2详解】
当时，圆，此时两圆的圆心距，两圆相交.
将两圆方程相减得直线的方程为.
所以圆心到直线的距离，且半径，
由圆的弦长公式得.
18. 已知直线：的倾斜角与直线：的倾斜角之和为.
（1）求的值；
（2）点在直线上运动.
（i）若，求的取值范围；
（ii）点，，求当取得最小值时直线的方程.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）应用斜率公式结合两角和正切公式计算求解；
（2）（i）应用两点间斜率公式计算再数形结合得出范围；（ii）先求出点关于直线的对称点，再结合距离和最小应用点斜式得出直线方程.
【小问1详解】
直线斜率，倾斜角为，直线的斜率，倾斜角为，
则，则，
解得，故.
【小问2详解】
（i）由（1）可知，直线：，
表示点与点连线的斜率，作出图形如图所示，
记，，，，
其中，，
观察可知，，所以的取值范围为.
（ii）作点关于直线的对称点，
则，解得，故；
此时，
，
故直线的方程为，
即.
19. 如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为．
（1）若，求切线所在直线方程；
（2）求的最小值；
（3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值．
【答案】（1），；（2）（3）
【解析】
【分析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解；
（2）连接交于，利用，结合正余弦可得最值；
（3）利用（1）的方法，得到的二次方程，结合根与系数关系，用含的式子表示去表示，可得最值．
【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，解得或，
故所求切线方程为，；
（2）连接交于点，
设，则，
在中， ，
∵，∴，∴，∴；
（3）设切线方程为，即，的斜率为，
故圆心到切线的距离，得，
∴， ，
在切线方程中令可得，
故，
∴，此时，故的最小值为．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的综合应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定与应用，合理根据直线与圆的位置关系，列出相应的方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于中档试题．