内蒙古通辽市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题（特优班）（原卷版）

这是一份内蒙古通辽市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题（特优班）（原卷版），共5页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2、做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
2. 若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
3. 把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为
A. B. C. D.
4. 设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（ ）
A. 3B. C. 9D.
5 若直线与圆相离，则点（ ）
A. 在圆O外B. 在圆O内C. 在圆O上D. 与圆O的位置关系不确定
6. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
7. 已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知为椭圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知直线：，为坐标原点，则（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 若到直线的距离为，则c＝2
C. 过且与直线平行的直线方程为
D. 过且与直线垂直的直线方程为
10. 下列四个命题中正确的有（ ）
A. 过点，且在轴和轴上截距的绝对值相等的直线方程为，
B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为
D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
11. （多选）已知圆和直线，则下列说法中正确是（ ）
A. 直线与圆的位置关系无法判定
B. 当时，圆上的点到直线的最远距离为
C. 当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，
D. 如果直线与圆相交于，两点，则弦的最短长度为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 已知椭圆：，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，，则的离心率为________.
13. 在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为______.
14. 已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
15. 过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点．
（1）过点P作圆C的切线m，求切线m的方程；
（2）求弦的中点M的轨迹方程．
16. 已知四棱锥，，，，于点E，．
（1）若点F在线段PE上，且∥平面，证明：F是中点．
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求.
18 已知两直线，．
（1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
（2）已知两点，，
①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系；
②动点P在直线运动，求的最小值．
19. 如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.