内蒙古通辽市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题(特优班)含答案含答案解析

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满分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2、做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可.
【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则.
故选：.
2. 若点在椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件求出即可计算椭圆的离心率.
【详解】因点在椭圆，则，解得，而椭圆长半轴长，
所以椭圆离心率.
故选：C
3. 把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中，经过坐标原点的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的表达式为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知在直线下方是面积为的直角三角形，求出直线与的交点，即可求出方程
【详解】直线将这五个正方形分成面积相等的两部分，
在直线下方是面积为的直角三角形，所以直线过，
所以直线方程为.
故选:C.
【点睛】本题考查直线方程，属于基础题.
4. 设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（ ）
A. 3B. C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题设可得，应用余弦定理、椭圆定义求得，最后应用三角形面积公式求面积.
【详解】由题设，，可得，
，
由，，则，即，
所以的面积.
故选：B
5. 若直线与圆相离，则点（ ）
A. 在圆O外B. 在圆O内C. 在圆O上D. 与圆O的位置关系不确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解.
【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部.
故选：B.
6. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由题意首先得出的几何意义，再画出图形通过数学结合、三角形三边关系即可求解的最大值.
【详解】设点在圆上，由题意，
若，则，而，
所以，即的几何意义为圆上的点到坐标原点的距离，
如图所示：
设为圆的圆心，其半径为2，点为圆上的点，为坐标原点，三点共线，
由三角形三边关系可知，等号成立当且仅当重合，
所以的最大值为.
故选：C.
7. 已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形的面积公式可得，当时，的面积取得最大值，利用等面积求出圆心到直线的距离，
再由点到直线的距离公式求出的值，最后结合充要条件的定义进行判断即可.
详解】
由，可得圆心，半径，
又，
当且仅当时，等号成立，
此时，
由等面积可得点到直线的距离，
又点到直线的距离，
解得，，
因此“”是“的面积取得最大值”的充分必要条件.
故选：C.
8. 已知为椭圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，设，则，利用两点间距离公式，求出的最大值即可求解.
【详解】
设圆的圆心为，半径为，则，半径，，
因为，所以只需最大，
设点是椭圆上任意一点，则，即，
所以，
当时，有最大值，所以，
所以的最小值为，即的最小值为.
故选：B.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知直线：，坐标原点，则（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 若到直线的距离为，则c＝2
C. 过且与直线平行的直线方程为
D. 过且与直线垂直的直线方程为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据直线方程，得直线的倾斜角，可判断；根据点到直线的距离公式计算可判断，根据与知直线平行或垂直的直线方程求法可判断.
【详解】直线可化为：，
所以斜率，得倾斜角为，故错误；
由点到直线的距离公式得，得，
所以，故错误；
设与直线平行的直线方程为，
因平行直线方程经过原点，所以，
即平行直线方程为，故正确；
设与直线垂直的直线方程为,
因为垂直直线方程经过原点，所以，
即垂直直线方程为，故正确.
故选：.
10. 下列四个命题中正确的有（ ）
A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为，
B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为
D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，举出反例；B选项，求出恒过，求出直线，的斜率，数形结合得到或，求出实数的取值范围；C选项，当三条直线交于一点时，，C错误；D选项，当直线的斜率不存在时，不满足要求，当斜率存在时，设直线方程为，从而得到平移后的解析式，从而得到方程，求出.
【详解】A选项，当直线经过原点时，且经过，此时直线方程，也符合题意，故 A错误，
B选项，直线，恒过定点，
直线，的斜率分别为，，
又直线的斜率为，所以或，
解得或，故实数的取值范围为，B正确；
对于C，当直线，平行时，解得，
当直线，平行时，解得，
显然直线，交于点，
当点在直线时，，
实数的取值集合为，故 C错误；
对于D，当直线的斜率不存在时，不满足要求，
当斜率存在时，设直线方程为，
沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，
得到，即，故，解得，
则该直线的斜率为，故D正确．
故选：BD．
11. （多选）已知圆和直线，则下列说法中正确的是（ ）
A. 直线与圆的位置关系无法判定
B. 当时，圆上的点到直线的最远距离为
C. 当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，
D. 如果直线与圆相交于，两点，则弦的最短长度为
【答案】BCD
【解析】
【分析】选项A，通过变形直线方程，得到直线恒过定点，从而判断直线和圆相交；选项B，根据圆的性质即可判断；选项C，由题可得圆心到直线的距离为1，根据点到直线距离公式即得；选项D，当过圆心和定点的直线与直线垂直时，弦的长度最短，即可判断.
【详解】对于A，由直线的方程可得，则直线恒过定点，此点在圆内，所以直线与圆相交．故A错误．
对于B，当时，直线的方程为，圆，即，可知半径．
设圆心到直线的距离为，则，
所以圆上的点到直线的最远距离为．故B正确．
对于C，当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，圆心到直线的距离为1，由，得．故C正确．
对于D，直线恒过定点，当过圆心和定点的直线与直线垂直时，弦的长度最短，即，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12. 已知椭圆：，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，，则的离心率为________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用的横坐标计算出，进而可得，，进而求解离心率.
【详解】将代入椭圆方程得，
整理得，解得，
因此，点和的坐标分别为和，
，，
则，
因此.
故答案为：
13. 在平面直角坐标系中，动点到、两点的距离的平方和为10，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意计算化简得出点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，将看作是点与点连线的斜率，利用直线与圆的位置关系求得的取值范围，即可得解.
【详解】由动点到点距离的平方和为10，得，
则点的轨迹方程为，点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆，
可看作是点与点连线的斜率，
设直线，即，则圆心到直线的距离，
由直线与圆有公共点，得圆心到直线的距离，整理得，解得或，
所以的取值范围为．
故答案为：
14. 已知，从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线方程为称为点关于椭圆的极线．如图，两个椭圆、的方程分别为和，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则取最大值时的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用设动点，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等关系，再通过动点在椭圆上，再得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心率上求最值即可.
【详解】设椭圆，，则．
设椭圆，，则．
设，
由题意可得方程为：，
因为原点到直线的距离恒为1，所以．
又因为为椭圆上的点，所以，
所以，，
所以，
设，则，
，
当时，取得最大值，此时为．
故答案为：．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
15. 过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点．
（1）过点P作圆C的切线m，求切线m的方程；
（2）求弦的中点M的轨迹方程．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可；
（2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解．
【小问1详解】
由题知圆心，半径，
当直线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到直线的距离，即，
整理得，解得或，
所以切线的方程为或．
【小问2详解】
设，圆心，
因为M弦的中点，所以，
又直线l过原点O，所以，
，
，
整理得，
所以M的轨迹方程为．
16. 已知四棱锥，，，，于点E，．
（1）若点F在线段PE上，且∥平面，证明：F是中点．
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）过点作，交于,证四边形是平行四边形即可；
（2）平面，，以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,用向量法求线面角的正弦值.
【小问1详解】
过点作，交于,连接，
因为，所以，所以四点共面，
因为平面，平面，平面∩平面，
所以，又，所以四边形是平行四边形，
所以，所以分别是的中点，
即是中点得证.
【小问2详解】
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
连接，因为，，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
以原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
如图，
则，
，，
设是平面的法向量，则
，即，令，则，
所以是平面的一个法向量.
设直线与平面所成角为，则
，
即直线与平面所成角的正弦值是.
17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据周长和离心率列出方程组可得方程；
（2）联立方程结合韦达定理和向量数量积求出斜率，利用弦长公式可得答案.
【小问1详解】
设椭圆的焦距为2c，由题意可得，
解得，，所以，
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
由题意可知直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为.
设，，
由，得，
所以，，由得.
由，
得，满足，所以，，
所以.
18. 已知两直线，．
（1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
（2）已知两点，，
①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系；
②动点P在直线运动，求的最小值．
【答案】（1）
（2）①相离；②
【解析】
【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；
（2）①根据圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断位置关系；②求出点的对称点，利用两点之间线段最短可求答案.
【小问1详解】
联立方程，解得；
因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
【小问2详解】
①以、为直径的圆的方程为，
整理得，故该圆的圆心为，半径为，
故圆心到直线的距离为，
故直线与圆的位置关系为相离.
②设点关于直线对称的点为，
则，解得，即；
则,
故的最小值为.
19. 如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明；
（2）建系得出平面和平面的法向量即可得出面面角余弦，最后同角三角函数关系求解正弦；
（3）设再应用点到平面距离即可计算求参.
【小问1详解】
取的中点N， 连接， 如图所示：

为棱的中点，
四边形ABMN是平行四边形，
又平面， 平面，
平面.
【小问2详解】

由在等腰梯形中，，，为边上靠近点的三等分点，可得，
也即
又平面平面，交线为,平面，
所以平面，
又平面ABCD， 又
以点D为坐标原点，

所在直线分别为轴建立直角坐标系，,
如图，则
为棱的中点，
（i） 设平面的一个法向量为 则
令 则
平面的一个法向量为
所以二面角的正弦值为.
【小问3详解】
假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，
设 则
由（i）知平面的一个法向量为
点Q到平面的距离是