2024-2025学年湖南省长沙市高一上册第一次月考数学阶段检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市高一上册第一次月考数学阶段检测试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. 且
2. 下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 已知，则使成立的充分条件为（ ）
A. B.
C D.
4. 设集合，或x>5，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5. 关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 不等式解集为
C.
D. 不等式的解集为
6. 已知命题：，，则为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知正数满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. (-4，2)D.
8. 若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知集合，，，，则下面说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
10. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ）
A. 已知函数的值域为
B. 关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是
C. 函数，定义域，值域，则满足条件的有3个
D. 若函数，且，则实数m的值为
11. 下列说法正确的有
A. 若，则的最大值是
B. 若，则最小值为2
C. 若，，均为正实数，且，则的最小值是4
D. 已知，，且，则最小值是
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 命题，的否定是___________．
13. 函数值域为________.
14. 已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设全集，集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求实数a的取值范围.
16. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形（图中阴影部分）和一个小正方形构成的面积为的十字形地域，现计划在正方形上建一座花坛，造价为420元；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）．

（1）将表示为的函数；
（2）当为何值时，总造价最小？并求出这个最小值．
17. 已知且.
（1）求的最小值
（2）求的最小值
（3）求的最小值
18. 已知函数，.
（1）若在区间上最大值为2，求实数的值；
（2）当时，求不等式的解集.
19. 已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域0,+∞内存在，使函数成立；
（1）请给出一个的值，使函数
（2）函数是否是集合M中元素？若是，请求出所有组成的集合；若不是，请说明理由；
（3）设函数,求实数a的取值范围.
2024-2025学年湖南省长沙市高一上学期第一次月考数学阶段
检测试题
第I卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. 且
【正确答案】D
【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得、集合，结合交集定义即可得解.
【详解】由，可得，
，则，
故且.
故选：D.
2. 下列各组的两个函数中，表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】A
【分析】先检验两函数定义域，再检验解析式，根据同一函数的概念，分析即可得答案.
【详解】对于A，的定义域为，，定义域为，定义域和解析式都同，是同一个函数，故A正确；
对于B，，定义域为，的定义域为，定义域和解析式都不同，不是同一个函数，故B错误；
对于C，，，解析式不同，不是同一个函数，故C错误；
对于D，由解得，故的定义域为，
由解得或，故的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故D错误.
故选：A
3. 已知，则使成立的充分条件为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据充分条件的概念，结合不等式的性质或举出反例，逐项判断即可.
【详解】选项A：当时，由得，此时，
当时，由得，不一定有，
所以不是成立充分条件；
选项B：当，时，满足，此时不一定有，
所以不是成立的充分条件；
选项C：由可得，
当，，且时满足，此时不一定有，
所以不是成立的充分条件；
选项D：由可得，即，此时，
所以是成立的充分条件；
故选：D
4. 设集合，或x>5，若，则实数的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据给定条件按集合A是否为空集两类列式计算得解.
【详解】因集合，
若，有，解得，此时，于是得，
若，因或x>5，则由得：，解得：，
综上得：，
所以实数的取值范围为.
故选：A
5. 关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为
【正确答案】D
【分析】利用一元二次不等式的解集和韦达定理，可得，且，，然后代入选项，即可判断选项正误.
【详解】由题知，，且，，
即得，故A错；
由可得，
所以，解得或，故B错；
对于C，，故C错；
由可得，
即，所以，故D正确.
故选：D
6. 已知命题：，，则为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B.
C D.
【正确答案】B
【分析】通过分离参数，把恒成立问题转化为求解的最值问题，从而求出充要条件，对A，B，C，D再根据必要不充分条件的定义求解即可.
【详解】解：，，
在上恒成立，
即a>x+3xmax，
令，
根据对勾函数的性质：在上单调递减，在上单调递增，
当，时，的值均为4，
在上的最大值为4，
是命题为真命题的充要条件，
对A，得不到，得不到，故是为真命题的既不充分也不必要条件，故A错；
对B， 得不到，而可以得到，故是为真命题的必要不充分条件；故B对；
对C， 得不到，得不到，故是为真命题的既不充分也不必要条件，故C错；
对D，是为真命题的充要条件；故D错.
故选：B.
7. 已知正数满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. (-4，2)D.
【正确答案】C
【分析】因为恒成立，所以转化为，将已知等式改写形式为：，再利用“1”的代换后使用基本不等式得到的最小值为8，从而转化为解不等式.
【详解】由题意知：
即：
∴
∴
又∵，
∴，
∴当且仅当即 时等号成立.
∴当时，取得最小值为8.
∴解得：
故选：C.
8. 若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围.
【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解，
所以，解得或，
①当时，不等式的解集为，因为，
所以两个整数解，则，即，解得；
②当时，不等式的解集为，因为，
所以两个整数解，则，即，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
故选：B.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知集合，，，，则下面说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【正确答案】ACD
【分析】求得集合的关系判断选项A；求得集合判断选项B；求得集合判断选项C；利用为偶数判断选项D.
【详解】根据题意，可得集合A表示除以2余数为1的自然数集，
集合表示除以3余数为1的自然数集，
集合表示除以4余数为1的自然数集，
集合表示除以3余数为2的自然数集，
或，
则，所以选项A正确；
或N，选项B不正确；
，选项C正确；
若，则为偶数，故，选项D正确．
故选：ACD．
10. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ）
A. 已知函数值域为
B. 关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是
C. 函数，定义域，值域，则满足条件的有3个
D. 若函数，且，则实数m的值为
【正确答案】AC
【分析】利用常数分离法求值域，小充分大必要，函数定义，配凑法求解析式等逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，在上单调递增，
故其值域为，故A正确；
对于B，关于“的不等式有解”等价于，即，
根据小充分大必要，是充分条件不是必要条件，故B错误；
对于C，定义域可以是，故C正确；
对于D，，
故，
若，即，则，故D错误.
故选：AC
11. 下列说法正确的有
A. 若，则的最大值是
B. 若，则的最小值为2
C. 若，，均为正实数，且，则的最小值是4
D. 已知，，且，则最小值是
【正确答案】AD
【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到．
【详解】对于，由可得，
由基本不等式可得，
当且仅当即时取等号，
所以的最大值为，故正确；
对于，，
当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得，
则最小值不为2，故错误；
对于，由可得
，
当且仅当且，即，，时，等号成立，
由于，，均为正实数，则等号取不到，故错误；
对于，由可得，
代入到，
当且仅当即时，等号成立，故正确．
故选：．
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 命题，的否定是___________．
【正确答案】
【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.
【详解】命题“，”的否定形式是“”.
故答案为.
13. 函数的值域为________.
【正确答案】
【分析】利用换元法直接求解函数值域即可.
【详解】令，则，
所以，
所以，即函数值域为.
故
14. 已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是____________．
【正确答案】
【分析】先求出时，的值域为；再分类讨论，分别求出在上的值域，根据题意列不等式，分别求解即可.
【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为；
当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴.
i.若，则二次函数的最小值为.
要使的值域为R，只需：，解得.
所以；
ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为.
要使的值域为R，只需：，解得.
所以；
综上所述：实数t的取值范围是.
故
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设全集，集合，.
（1）若，求，；
（2）若，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）求出集合，利用并集、交集的定义可求得结果；
（2）分析可知，分、两种情况讨论，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
则，.
【小问2详解】
因为，则，
当时，，解得，成立；
当时，，解得，
综上所述，实数a的取值范围为.
16. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由四个全等的矩形（图中阴影部分）和一个小正方形构成的面积为的十字形地域，现计划在正方形上建一座花坛，造价为420元；在四个相同的矩形上铺花岗岩地坪，造价为21元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为8元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）．

（1）将表示为的函数；
（2）当为何值时，总造价最小？并求出这个最小值．
【正确答案】（1）
（2）米，元
【分析】（1）设，求得，结合题意，即可求得关于的函数关系式；
（2）由（1）中关于的函数关系式，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，正方形构成的面积为且，
矩形的面积为，则阴影部分的面积为，
设，则，可得，
且，解得，
所以
，
所以关于的函数关系式为.
【小问2详解】
解：由（1）知，，
由，
当且仅当，即时等号成立，
即的长为米时，总造价为最小，且最小值为元.
17. 已知且.
（1）求的最小值
（2）求的最小值
（3）求的最小值
【正确答案】（1）25 （2）10
（3）
【分析】（1）利用基本不等式得到，求出；
（2）利用基本不等式得到，求出；
（3）求出，，从而得到，换元后，利用基本不等式得到最小值.
【小问1详解】
且，
由于，故，
解得或（舍去），
故，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为25
【小问2详解】
且，
由于，故，
两边平方后，解得或（舍去），
故的最小值为10，当且仅当时，等号成立；
【小问3详解】
，若，此时，不成立，舍去，
故，故，
因为，故，
故，
令，，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，，故的最小值为.
18. 已知函数，.
（1）若在区间上最大值为2，求实数的值；
（2）当时，求不等式的解集.
【正确答案】（1）；
（2）答案见解析.
【分析】（1）求出二次函数图象的对称轴，再利用二次函数性质求解即得.
（2）分类讨论求解含参数的一元二次不等式即得.
【小问1详解】
函数图象的对称轴为，
当，即时，，解得，则；
当，即时，，解得，矛盾，
所以.
【小问2详解】
显然，而，
因此不等式为，
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集，
所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
19. 已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域0,+∞内存在，使函数成立；
（1）请给出一个的值，使函数
（2）函数是否是集合M中的元素？若是，请求出所有组成的集合；若不是，请说明理由；
（3）设函数,求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）=2；（2）是，（3）或
【分析】（1）利用列不等式，由此求得的一个取值.
（2）假设存在符合题意，验证，由此判断出的所有可能取值.
（3）利用列不等式，对分成三种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】（1）当时，依题意在定义域0,+∞内存在，使函数成立，而，即，即，故可取，此时.
（2）假设存在符合题意，而，即，即，化简得，解得.所以函数是集合M中的元素，且.
（3）由于函数，，由，得①，.
当时，①成立.
当时，①的左边为负数，右边为正数，即①成立.
当时，①可化为，也即存在，使②成立.
当时，显然存在，使②成立；
当时，②化为,显然存在，使②成立.
当，即时，不等式对应的一元二次方程，开口向下，且判别式，由于，所以，所以不存在，使②成立.
综上所述，实数的取值范围是或.
本小题主要考查新定义函数性质的理解和运用，考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.