吉林省四平市实验中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份吉林省四平市实验中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案．
【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为.
故选：C
2. 已知空间向量，，则（ ）
A. B. 19C. 17D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出的坐标，再求出其模
【详解】因为，，
所以，故，
故选：D.
3. 某公司利用无人机进行餐点即时的送，利用空间坐标表示无人机的位置，开始时无人机在点处起飞，6秒后到达点处，15秒后到达点处，若，则（ ）
A. B. 120C. 150D. 210
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量加法的坐标运算求得，可求.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
4. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面垂直，可知，由此可得两向量坐标之间有倍数关系，即可求得答案.
【详解】当时，，所以，
则，解得，．
故选：C．
5. 在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】
由题意可得，.
故选：A
6. 已知向量，，则向量在向量上投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
则向量在向量上的投影向量为：.
故选：D.
7. 如图，圆柱的母线长和底面直径相等，分别是下底面圆和上底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，在底面圆中，
过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
所以，
设异面直线与所成的角为，
则.
故选：A
8. 在正三棱锥中，，点，分别是棱，的中点，则（ ）
A. -2B. -4C. -8D. -10
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算，先把向量用来表示，再用空间向量数量积运算即可求解
【详解】在正三棱锥中，，所以，

则，又，，
所以
.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据空间向量的基本定理判断各选项即可.
【详解】因为是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故A正确;
是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；
因为，所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故C错误；
因为，所以是共面向量，不能构成空间的一个基底，故D错误.
故选：AB.
10. 已知正方体的棱长为2，若，的中点分别为，，则（ ）
A. B. 平面平面
C. D. 点到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据面面平行的判定定理判断B，建立空间直角坐标系，利用向量法判断线线关系判断AC，根据点面距离的向量公式求解距离判断D.
【详解】因为∥，且，则为平行四边形，
可得∥，且平面，平面，
所以∥平面，因为∥，且，则为平行四边形，
可得∥，且平面，平面，
所以∥平面，又，平面，
所以平面∥平面，故B正确；
如图，

分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，
，，
，，
故不成立，成立，故A错误，C正确；
设平面的法向量，，
则，令，则，即，
又，
所以，故点到平面的距离为，故D正确.
故选：BCD
11. 在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（ ）
A. 若点在平面内，则B. 若，则
C. 当时，三棱锥的体积为D. 当时，长度的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得，进而求解判断A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得，，进而结合即可求解判断B；由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，进而可得当时，到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算律可得，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D.
【详解】对于选项A，若点在平面内，易知有，
所以，
又，则，故A正确；
对于选项B，由题意易得，
，且，
又，即，
故，解得，故B正确；
对于选项C，由题易知四面体为正四面体，
设在平面内射影为点，
则为的中心，易得，．
当时，到平面的距离为，
所以，故C错误；

对于选项D，由B知，
，
又，
由基本不等式可知，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以长度的最小值为，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用空间向量的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易的问题进行解决.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如果空间中三点共线，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由三点共线，则有与共线，列出等式求出即可求解.
【详解】因为，所以，
由三点共线，则有与共线，所以，解得.
故答案为：.
13. 在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】通过已知点的坐标，求出底面的面积，高的数值，然后求出三棱锥的体积．
【详解】由题意得，所以
所以的面积为，
点都在平面上，点到平面的距离3，
所以三棱锥体积为．
故答案为：
14. 已知正方体的棱长为，点在线段上（不含端点）.若是锐角，则线段长度的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据是锐角，得到，求出的取值范围，再由求出的取值范围.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
设，，则，则，
所以，，
显然与不可能同向，
因为是锐角，所以，
则，解得或，
又，所以，又，
所以，即线段长度的取值范围为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知空间向量.
（1）求；
（2）判断与以及与的位置关系.
【答案】（1）
（2）；.
【解析】
【分析】（1）直接利用向量线性运算和数量积的坐标运算求解即可.
（2）利用向量垂直和平行判定直接判断即可.
【小问1详解】
由题知，，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
所以；
因为，
所以，所以.
16. 在空间直角坐标系中，已知点，，，设，．
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求得与的坐标，再根据与互相垂直求解；
（2）由求解.
【小问1详解】
由题意知，，
所以，．
又与互相垂直，
所以，解得．
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
所以点到直线的距离．
17. 如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点.
（1）证明：，，，四点共面；
（2）若点在棱，且平面，求的长度.
【答案】（1）证明见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）连接，，，先可得到四边形为平行四边形，进而得到，结合即可得到，进而求证；
（2）建立空间直角坐标系，设，结合空间向量求解即可.
【小问1详解】
证明：连接，，，
因为，，，分别为棱，，，的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又，
所以，所以，，，四点共面.
【小问2详解】
以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
由，，，，，分别为棱，，，的中点，
可得，，，，
则，，
设，即，则，
由平面，故，
即，解得，
所以.
18. 如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点．
（1）证明：；
（2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）当二面角的余弦值为时，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先由勾股定理得到，再由线面垂直的判定定理证明平面即可；
（2）建立如图所示坐标系，求出平面的一个法向量再代入空间线面角的公式求解即可；
（3）设，求出平面和平面的一个法向量代入空间二面角公式求出即可；
【小问1详解】
证明：因为，
所以，所以，
又，且平面，所以平面，
又平面，所以．
【小问2详解】
因为，所以，则．
由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
当点为棱的中点时，．
设平面的一个法向量，
则即令，解得，故，
设直线与平面所成角，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【小问3详解】
由（2）可知，
设，则，
设平面的一个法向量，
则即令，解得，
故，
设平面的一个法向量为，
由得令，解得，故，
所以，
即，整理，得，解得或（舍去）．
故．
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①求证：；
②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成的角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②.
【解析】
【分析】（1）根据平面，平面，平面两两垂直，得，即可求解；
（2）①根据余弦定理及勾股定理即可证明；
②建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解.
【小问1详解】
解：因为平面，平面，平面两两垂直，
所以，
所以球面三角形ABC的面积；
【小问2详解】
解：①证明：由余弦定理可得：
，且,
所以，
即，
消去，则有：
即；
②由题意可知是球的直径，则有,
又，
所以平面，
又因为平面，
所以,
又因为，
所以平面，平面，
所以，
又因为直线与平面所成的角分别为，，
所以，
不妨令，
则，，
又因为,,,
以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系：
设，
则
可得，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
所以；
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，
所以，
要使取最小值，则取最大值，
因为
令，
则，
所以
当且仅当时等号成立，
则的最大值为，
所以取最小值为.
【点睛】方法点睛：在涉及求直线与平面、平面与平面所成角时，利用空间向量法求解更简单些.