2024-2025学年吉林省四平市高一上册9月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年吉林省四平市高一上册9月月考数学检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 已知命题，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ， D. ，
3. 命题．若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
4. 若，则的最小值为（ ）
A. 9B. 18C. 24D. 27
5. 已知，且，则（ ）
A. 3B. C. 1D.
6. 已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A B.
C D.
二、多项选择题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分，全部四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 下列结论错误是（ ）
A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则
10. 下列说法正确是（ ）
A. 与表示同一个函数
B. 函数的定义域为则函数的定义域为
C. 关于的不等式，使该不等式恒成立的实数的取值范围是
D. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为
11. 对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在1,2上单调递减，则（ ）
A. f3=0B.
C. D. 在上单调递减
三、填空题（本大题共3道小题，每题5分，共15分）
12. 已知幂函数在0,+∞上单调递减，则______.
13. 已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________ .
14. 已知函数若，则实数a的取值范围是______．
四、解答题（本大题共5道小题）
15. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
16. 某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？
17. 已知函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）证明在区间上单调递减；
（3）解不等式.
18. 若函数的定义域是，且对任意的，都有成立．
（1）试判断的奇偶性；
（2）若当时，，求的解析式，并画出函数图象；
（3）在条件（2）前提下，解不等式．
19. 二次函数最小值为，且关于对称，又.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，y=fx的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围；
（3）求函数在区间上的最小值.
2024-2025学年吉林省四平市高一上学期9月月考数学检测试题
一、单选题（本大题共8道小题，每题5分，共40分）
1. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系逐一判断即可；
【详解】对于①，表示整数集，，故①正确；
对于②，空集是任何集合的子集，故②正确；
对于③，集合含有两个元素的数集，而是点集合，属性不同，故③错误；
对于④，表示有理数，故④错误；
所以正确的个数为2个，
故选：B.
2. 已知命题，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ， D. ，
【正确答案】D
【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：
命题的否定是．
故选：D
3. 命题．若的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．
【详解】因为的一个充分不必要条件是，
则是的真子集，
，
故选：D．
4. 若，则的最小值为（ ）
A. 9B. 18C. 24D. 27
【正确答案】A
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.
【详解】根据题意可得；
当且仅当，即时，等号成立；
此时的最小值为9.
故选：A.
5. 已知，且，则（ ）
A. 3B. C. 1D.
【正确答案】C
【分析】令，求出，代入解出.
【详解】， 且，
令，，解得，
，即,
.
故选：C.
6. 已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据题意，先求出的值，由二次函数的性质分析的单调性，进而分析的对称性和单调性，由此分析可得答案.
【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数，
则有，解可得，
则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数，
又，函数的对称轴为，且在上为减函数，
则有，
即
故选：D.
7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.
详解】对任意，当时都有成立，
所以函数在上是增函数，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C.
8. 已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且
又因，所以，
又因在为增函数，在上，
在上，
又因在为减函数，所以上，
综上，当时，，当时，
当时，则，所以，则，
当时，则，所以，则，
不等式可化简变形为，
综上所述可知当时，.
故选：D
二、多项选择题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分，全部四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9. 下列结论错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则
【正确答案】AB
【分析】举反例判断A，B，利用不等式性质判断C，D.
【详解】取可得，，但，A错误；
取可得，，但，B错误；
因为，又，所以，故，C正确；
由，可得，所以，D正确；
故选：AB.
10. 下列说法正确是（ ）
A. 与表示同一个函数
B. 函数的定义域为则函数的定义域为
C. 关于的不等式，使该不等式恒成立的实数的取值范围是
D. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为
【正确答案】ABD
【分析】由同一函数的条件可得A正确；由抽象函数的定义域可得B正确；举反例可得C错误；由二次不等式的解集和对应方程的根的关系可得D正确；
【详解】对于A，的定义域为，
与的定义域相同，
而，解析式相同，故表示同一个函数，故A正确；
对于B，定义域为的范围，由函数的定义域为，
则，
所以，即，
即函数的定义域为，故B正确；
对于C，当时，不等式为，成立，故C错误；
对于D，由关于的不等式的解集为可得
a>0−ba=−2+3=1ca=−2×3=−6，
所以，
所以，化简可得，
解得或，
即不等式的解集为，故D正确；
故选：ABD.
11. 对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在1,2上单调递减，则（ ）
A. f3=0B.
C. D. 在上单调递减
【正确答案】ABC
【分析】根据函数的奇偶性结合函数的对称性结合函数的单调性分别判断各个选项即可.
【详解】令，因为是奇函数，
所以，
即的图象关于点对称．
令，因为是偶函数，
所以，
即的图象关于直线对称．
A选项，由，令，可得，
由，令，可得，故A正确．
B选项，由，令，可得，故B正确．
C选项，由，令，可得，故C正确．
D选项，由在上单调递减，结合的图象关于点对称，可知在上单调递减，
由可知在上单调递减，又的图象关于直线对称，则在上单调递增，故D错误．
故选:ABC．
三、填空题（本大题共3道小题，每题5分，共15分）
12. 已知幂函数在0,+∞上单调递减，则______.
【正确答案】
【分析】先根据函数是幂函数计算求参得出或，最后结合函数的单调性计算得出符合题意的参数.
【详解】由题意可得为幂函数，则，解得或.
当时，为增函数，不符合题意；
当时，在0,+∞单调递减，符合题意.
故答案为:.
13. 已知实数满足，且，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________ .
【正确答案】
【分析】运用等式性质变形，结合基本不等式求出最小值，再解一元二次不等式即可.
【详解】，则同号，又，则只能同正.
，变形得到.
则.
当且仅当，且，则时取等号.
由于恒成立，则，解得.
故答案为.
14. 已知函数若，则实数a的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】由函数的奇偶性，单调性去即可求解.
【详解】因为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减；
当时，，，,
所以.
又当时，，，
所以.
又 ，所以为奇函数，且在R上单调递增，
则可得：
，即，
解得，
故
四、解答题（本大题共5道小题）
15. 已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可；
（2）根据集合交集的性质分类讨论求解即可.
【小问1详解】
，
因为，所以，
因此；
【小问2详解】
因为，所以，
若，则，可得 ；
若，因此有，无解，
所以实数的取值范围为.
16. 某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？
【正确答案】15米，总造价最低为36000元
【分析】设污水处理池的宽为米，长为米，从而得到总造价，再利用基本不等式，即可求出结果.
【详解】设污水处理池的宽为米，则长为米．
则总造价
，
当且仅当，即时，取等号．
此时，所以当长为15米时，总造价最低为36000元．
17. 已知函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）证明在区间上单调递减；
（3）解不等式.
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，即可得到结果；
（2）根据题意，由定义法即可证明函数的单调性；
（3）根据题意，结合函数的单调性，即可求解不等式.
【小问1详解】
∵是奇函数，
∴，则，经验证此时为奇函数.
【小问2详解】
∵，∴，
设，则，
，
∵，∴，，则，
则，则，
即y=fx在区间1,+∞上单调递减.
【小问3详解】
，
∵y=fx在区间1,+∞上单调递减，
∴不等式等价为，
即，解得或，
即不等式的解集为.
18. 若函数的定义域是，且对任意的，都有成立．
（1）试判断奇偶性；
（2）若当时，，求的解析式，并画出函数图象；
（3）在条件（2）前提下，解不等式．
【正确答案】（1）奇函数 （2），作图见解析
（3）或．
【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；
（2）根据求解即可；
（3）利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可.
【小问1详解】
令可得：，故，
令可得：，故．
又函数的定义域是R，故函数为奇函数．
【小问2详解】
令，则，故 ，
又，所以，，
综上可知，．
故函数图像如下：
【小问3详解】
由（2）可知，函数为上的增函数，
因为．
所以．
所以，解得或．
19. 二次函数最小值为，且关于对称，又.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，y=fx的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围；
（3）求函数在区间上的最小值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）设，代入，求出，得到解析式；
（2）转化为对任意的恒成立，设，则只要即可，结合的单调性求出，从而得到答案；
（3）由函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性求出最小值，得到答案.
【小问1详解】
由题可设，又，得，
所以；
【小问2详解】
由题有，即对任意的恒成立，
设，则只要即可.
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以 ，
，解得；
【小问3详解】
图象的对称轴为直线，
当时，在上单调递减，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时；
当时，即当时，在上单调递增，
此时.
综上，.