湖南省衡阳市蒸湘区船山实验学校2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷（含解析）

这是一份湖南省衡阳市蒸湘区船山实验学校2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷（含解析），共37页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）使x−2024有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2024B．x＜﹣2024C．x≤2024D．x≥2024
2．（3分）若（m+4）x|m|﹣2﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．±2
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（ ）
A．﹣2024B．2024C．﹣1D．1
4．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5．（3分）下列图形中，不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形
C．两个矩形D．两个圆
6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．3B．6C．5D．4
7．（3分）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A＝∠CBDB．∠CBA＝∠CDB
C．AB•CD＝BD•BCD．BC2＝AC•CD
8．（3分）在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（ ）
A．∠ABE＝∠CBEB．BC＝5C．DE＝DFD．BEEF=53
9．（3分）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝1m，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝10m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝2m，小明身高EF＝1.7m，则凉亭的高度约为（ ）
A．8.5mB．9mC．9.5mD．10m
10．（3分）在平面直角坐标系中，正方形OABC按照如图所示放置，其边长为1．将正方形OABC按照如下方式进行变换：将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形OA1B1C1；将正方形OA1B1C1绕点O顺时针旋转45°，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形OA2B2C2，…，则正方形OA2024B2024C2024的顶点B2024的坐标为（ ）
A．（0，220232）B．（22024，22024）
C．（﹣22024，22024）D．（﹣220232，0）
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）化简(−2025)2= ．
12．（3分）已知实数a，b满足ab=53，则a−bb的值为 ．
13．（3分）已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根，则m2+2m+mn的值为 ．
14．（3分）对于实数a、b（a≠b），定义一种运算如下：a⊗b=a+ba−b，如3⊗2=3+23−2=5，那么8⊗4＝ ．
15．（3分）我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 个班级篮球队参加．
16．（3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 m．
17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若AEEB=23，则S△ADFS△AEF= ．
18．（3分）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 ．
三、解答题（本题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：(2024−π)0+|3−2|+33−(12)−2．
20．（6分）先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x=2−1．
21．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
22．（8分）“雁到衡阳不南飞，客到南岳不思归．”南岳衡山凭借其巍峨壮丽的自然风光，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，赢得了“五岳独秀”的美誉，更成为湖南省第三届旅发大会上一颗璀璨的明珠，照亮湖南旅游的宏伟画卷，吸引着无数旅人前来探寻这方“天下南岳”的绝美之地．南岳衡山风景区在2024年“十一”黄金周，共接待游客约达115.2万人次，已知2022年“十一“黄金周接待游客约达80万人次．
（1）求南岳衡山风景区2022年至2024年“十一”黄金周期间接待游客人次的年平均增长率；
（2）南岳衡山风景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年“十一”黄金周期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
23．（9分）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△CDE；
（2）若AC＝9，BE＝7，求AD的长．
24．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容．
【问题解决】
（1）对教材中的第一问写出证明过程．
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．
【结论应用】
（3）在图2的基础上，将纸片ABCD按图3所示翻折，点C恰好落在直线AB上，得到△CDG．若AB＝3，则CG的长为 ．
25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△QBP与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）直接写出t为何值时，△BPQ是等腰三角形．
26．（10分）若三角形的两个内角α与B满足2α+β＝90°时，我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝ °；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AD是∠BAC的平分线，求证：△ABD是“准互余三角形”；
（3）如图①，在（2）的条件下若有AC＝4，BC＝5．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
（4）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．
湖南省衡阳市蒸湘区船山实验学校2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．（3分）使x−2024有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2024B．x＜﹣2024C．x≤2024D．x≥2024
【答案】D
【分析】根据二次根式被开方数不小于零条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x﹣2024≥0，
解得x≥2024．
故选：D．
2．（3分）若（m+4）x|m|﹣2﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．±2
【答案】A
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解答】解：∵（m+4）x|m|﹣2﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|−2=2m+4≠0，
∴m=±4m≠−4，
解得m＝4．
故选：A．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（ ）
A．﹣2024B．2024C．﹣1D．1
【答案】C
【分析】一移，二配，三变形，将方程配方后，求出a，b的值，进而求出ab的值即可．
【解答】解：原方程移项得：x2﹣2x＝2024，
∴（x﹣1）2＝2025，
∴a＝﹣1，b＝2025，
∴ab＝（﹣1）2025＝﹣1；
故选：C．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣8）＝m2+32＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．（3分）下列图形中，不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形
C．两个矩形D．两个圆
【答案】C
【分析】根据相似图形的定义，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
任意两个等边三角形的三个内角都相等，
所以两个等边三角形相似．
故A选项不符合题意．
因为任意两个等腰直角三角形的三个内角均相等，
所以两个等腰直角三角形相似．
故B选项不符合题意．
因为任意两个矩形的四个角都相等，但长、宽的比值不一定相等，
所以两个矩形不一定相似．
故C选项符合题意．
因为任意两个圆的形状均相同，
所以两个圆相似．
故D选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．3B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到ADAB=AEAC，然后根据比例的性质可求出AE．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，
∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，
∴22+3=AE10，
∴AE＝4．
故选：D．
7．（3分）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A＝∠CBDB．∠CBA＝∠CDB
C．AB•CD＝BD•BCD．BC2＝AC•CD
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【解答】解：∵∠C是公共角，
∴再加上∠A＝∠CBD或∠CBA＝∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A，B不符合题意，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C符合题意．
∵∠C＝∠C，
若再添加CDBC=BCAC，即BC2＝AC•CD，可证明△CAB∽△CBD，故D不符合题意．
故选：C．
8．（3分）在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点O；③作射线BO，交AD于点E，交CD延长线于点F．若CD＝3，DE＝2，下列结论错误的是（ ）
A．∠ABE＝∠CBEB．BC＝5C．DE＝DFD．BEEF=53
【答案】D
【分析】直接利用基本作图对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC，再利用平行线的性质证明∠ABE＝∠AEB得到AE＝AB＝3，则AD＝5，所以BC＝5，于是可对B选项进行判断；接着利用平行线的性质证明∠DEF＝∠F得到DE＝DF＝2，则可对C选项进行判断；由于DE∥BC，则根据平行线分线段成比例定理可对D选项进行判断．
【解答】解：由作法得BO平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，所以A选项不符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠CBE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
∴AD＝AE+DE＝3+2＝5，
∴BC＝5，所以B选项不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠ABE，
∵∠AEB＝∠DEF，
∴∠DEF＝∠F，
∴DE＝DF＝2，所以C选项不符合题意；
∵DE∥BC，
∴BEEF=CDDF=32，所以D选项符合题意．
故选：D．
9．（3分）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE＝BC＝1m，A，B，C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG＝10m，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝2m，小明身高EF＝1.7m，则凉亭的高度约为（ ）
A．8.5mB．9mC．9.5mD．10m
【答案】C
【分析】根据题意可得：∠AGC＝∠FGE，AC⊥CE，FE⊥CE，从而可得∠ACG＝∠FEG＝90°，然后证明△ACG∽△FEG，从而利用相似三角形的性质求出AC的长，再利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：∠AGC＝∠FGE，AC⊥CE，FE⊥CE，
∴∠ACG＝∠FEG＝90°，
∴△ACG∽△FEG，
∴ACFE=CGEG，
∴AC1.7=102，
解得：AC＝8.5，
∵BC＝DE＝1m，
∴AB＝AC+BC＝8.5+1＝9.5（m），
∴凉亭的高度约为9.5m，
故选：C．
10．（3分）在平面直角坐标系中，正方形OABC按照如图所示放置，其边长为1．将正方形OABC按照如下方式进行变换：将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形OA1B1C1；将正方形OA1B1C1绕点O顺时针旋转45°，同时边长扩大为原来的2倍得到正方形OA2B2C2，…，则正方形OA2024B2024C2024的顶点B2024的坐标为（ ）
A．（0，220232）B．（22024，22024）
C．（﹣22024，22024）D．（﹣220232，0）
【答案】B
【分析】根据所给变换方式可知，每旋转八次，点B对应点的位置出现循环，再根据正方形边长的变化规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为360°÷45°＝8，
所以每旋转八次，点B对应点的位置循环出现，
又因为2024÷8＝253，
所以点B2024在第一象限．
因为正方形OABC的边长为1，且每次旋转后边长扩大为原来的2倍，
所以正方形OA1B1C1的边长为2；
正方形OA2B2C2的边长为22；
正方形OA3B3C3的边长为23；
…，
依次类推，正方形OAnBn∁n的边长为2n，
当n＝2024时，
正方形OA2024B2024C2024的边长为22024，
所以点B2024的坐标为（22024，22024）．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）化简(−2025)2= 2025 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：原式＝|﹣2025|＝2025，
故答案为：2025．
12．（3分）已知实数a，b满足ab=53，则a−bb的值为 23 ．
【答案】23．
【分析】设a＝5k，b＝3k，代入所求的式子化简即可．
【解答】解：∵ab=53，
设a＝5k，b＝3k，
∴a−bb=5k−3k3k=23．
故答案为：23．
13．（3分）已知m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根，则m2+2m+mn的值为 0 ．
【答案】0．
【分析】根据一元二次方程解的定义得到m2+2m＝6，根据根与系数的关系得到mn＝﹣6，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2+2x﹣6＝0的根，
∴m2+2m﹣6＝0，
∴m2+2m＝6，
∴m2+2m+mn＝6+mn，
∵m，n是方程x2+2x﹣6＝0的两根，
∴mn＝﹣6，
∴m2+2m+mn＝6+（﹣6）＝0．
故答案为：0．
14．（3分）对于实数a、b（a≠b），定义一种运算如下：a⊗b=a+ba−b，如3⊗2=3+23−2=5，那么8⊗4＝ 32 ．
【答案】32．
【分析】根据新运算法则计算即可．
【解答】解：8⊗4=8+48−4=124=234=32，
故答案为：32．
15．（3分）我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有 10 个班级篮球队参加．
【答案】10．
【分析】设共有x个班级球队参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设共有x个班级球队参加比赛，
根据题意得：x(x−1)2=45，
整理得：x2﹣x﹣90＝0，
即（x﹣10）（x+9）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣9（舍去），
则共有10个班级球队参加比赛，
故答案为：10．
16．（3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 0.2 m．
【答案】0.2．
【分析】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，据此得AOCO=ABCD，将已知数据代入即可得．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则AOCO=ABCD，
∵AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，
∴61=1.2CD，
解得：CD＝0.2，
∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2m．
故答案为：0.2．
17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若AEEB=23，则S△ADFS△AEF= 52 ．
【答案】52．
【分析】通过证明△AEF∽△CDF，可得AECD=EFDF=25，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AEBE=23，
∴设AE＝2a，则BE＝3a，
∴AB＝CD＝5a，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴AECD=EFDF=25，
∴S△ADFS△AEF=52，
故答案为：52．
18．（3分）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 2 ．
【答案】2．
【分析】根据相似三角形的判定与性质，证明∠DCE＝90°，推出CP=12DE，求出DE的最小值，可得结论．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，
∴ABAD=ACAE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，ABAC=ADAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∵DP＝PE，
∴CP=12DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小，
∵AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，
∴BC=AB2+AC2=32+42=5，
根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，根据三角形面积得，此时AD=AB⋅ACBC=3×45=125，
∵ABAC=ADAE=34，
∴ADDE=35，
∴DE=53AD＝4，
∴CP的最小值为12×4＝2，
故答案为：2．
三、解答题（本题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：(2024−π)0+|3−2|+33−(12)−2．
【答案】﹣1．
【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算，再分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：原式＝1+2−3+3−4
＝﹣1．
20．（6分）先化简，再求值：(xx−1−1)÷x2+2x+1x2−1，其中x=2−1．
【答案】1x+1，22．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（xx−1−x−1x−1）÷(x+1)2(x+1)(x−1)
=1x−1×x−1x+1
=1x+1，
当x=2−1时，原式=12−1+1=22．
21．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
【答案】（1）k＞2；（2）k1＝3．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b2﹣4ac＞0，把字母和数代入求出k的取值范围；
（2）根据两根之积为：ca，把字母和数代入求出k的值．
【解答】解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴﹣8+4k＞0，
解得：k＞2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ=ca=3﹣k，
∴k2＝3﹣k+3k，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）．
22．（8分）“雁到衡阳不南飞，客到南岳不思归．”南岳衡山凭借其巍峨壮丽的自然风光，厚重的历史遗迹，丰富的文化内涵，赢得了“五岳独秀”的美誉，更成为湖南省第三届旅发大会上一颗璀璨的明珠，照亮湖南旅游的宏伟画卷，吸引着无数旅人前来探寻这方“天下南岳”的绝美之地．南岳衡山风景区在2024年“十一”黄金周，共接待游客约达115.2万人次，已知2022年“十一“黄金周接待游客约达80万人次．
（1）求南岳衡山风景区2022年至2024年“十一”黄金周期间接待游客人次的年平均增长率；
（2）南岳衡山风景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．2024年“十一”黄金周期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
【答案】（1）20%；
（2）20元．
【分析】（1）设年平均增长率为x，进而根据题意列出方程求解即可；
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．
【解答】解：（1）设年平均增长率为x，
根据题意得：80（1+x）2＝115.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
∴年平均增长率为20%．
（2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，
由题意得：（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
∴y2﹣41y+420＝0，
∴y1＝20，y2＝21，
∵让顾客获得最大优惠，
∴y＝20，
∴当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
23．（9分）如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△CDE；
（2）若AC＝9，BE＝7，求AD的长．
【答案】（1）见解析；
（2）AD的长为3或6．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠A＝∠C＝60°，从而证出∠ABD＝∠CDE，根据相似三角形的判定定理即可证出结论；
（2）根据相似三角形的性质，列出比例式即可求出AD的长，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ABD，
∵∠BDE＝60°，
∴∠ABD＝∠CDE，
∴△ABD∽△CDE；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝9，
∴CE＝BC﹣BE＝9﹣7＝2，
∵△ABD∽△CDE，
∴ADCE=ABCD，
∴AD2=99−AD，
∴AD2﹣9AD+18＝0，
解得：AD＝3或AD＝6，
即AD的长为3或6．
24．（9分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容．
【问题解决】
（1）对教材中的第一问写出证明过程．
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．
【结论应用】
（3）在图2的基础上，将纸片ABCD按图3所示翻折，点C恰好落在直线AB上，得到△CDG．若AB＝3，则CG的长为 6﹣33 ．
【答案】（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠EBA＝90°．
∴∠EBP+∠ABQ＝90°．
∵点D、Q、A共线，
∴∠AQB＝90°．
∴∠ABQ+∠BAQ＝90°．
∴∠EBP＝∠BAQ．
∵∠BPE＝∠AQB＝90°，
∴△PBE∽△QAB．
（2）△PBE∽△BAE．
证明：作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，如图（2）所示，则AB＝2QF＝2BF．
由题意得AB＝PQ＝2BQ，
∴QF＝BF＝BQ．
∴△FBQ为等边三角形，
∴∠ABQ＝60°，
∵∠BQA＝90°，
∴∠BAQ＝30°，
由翻折可知．∠EAB=12×（90°﹣∠BAQ）＝30°，
∵∠ABE＝90°，∠ABQ＝60°，
∴∠EBP＝30°，
∴∠EBP＝∠EAB，
又∵∠BPE＝∠ABE＝90°，
∴△PBE∽△BAE．
（3）6﹣33．
【分析】（1）由余角的性质可得∠EBP＝∠BAQ，由两组对角对应相等的两三角形相似可证△PBE∽△QAB；
（2）作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，可证△FBQ为等边三角形，可得∠ABQ＝60°，可求∠EBP＝∠EAB＝30°，由两组对角对应相等的两三角形相似可证△PBE∽△BAE；
（3）由“ASA”可证△ABE≌△GBE，可得AB＝BG＝3，由折叠的性质和直角三角形的性质可得AC＝CD＝33，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠EBA＝90°．
∴∠EBP+∠ABQ＝90°．
∵点D、Q、A共线，
∴∠AQB＝90°．
∴∠ABQ+∠BAQ＝90°．
∴∠EBP＝∠BAQ．
∵∠BPE＝∠AQB＝90°，
∴△PBE∽△QAB．
（2）△PBE∽△BAE．
证明：作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，如图（2）所示，则AB＝2QF＝2BF．
由题意得AB＝PQ＝2BQ，
∴QF＝BF＝BQ．
∴△FBQ为等边三角形，
∴∠ABQ＝60°，
∵∠BQA＝90°，
∴∠BAQ＝30°，
由翻折可知．∠EAB=12×（90°﹣∠BAQ）＝30°，
∵∠ABE＝90°，∠ABQ＝60°，
∴∠EBP＝30°，
∴∠EBP＝∠EAB，
又∵∠BPE＝∠ABE＝90°，
∴△PBE∽△BAE．
（3）解：∵∠EAB＝∠EBP＝30°，
∴∠AEB＝∠GEB＝60°，
又∵EB＝EB，∠ABE＝∠EBG＝90°，
∴△ABE≌△GBE（ASA），
∴AB＝BG＝3，
∴AG＝6，
由折叠可得∠ACD＝90°，
∵∠BAQ＝30°，
∴AD＝2CD＝6，AC=3CD＝33，
∴CG＝AG﹣AC＝6﹣33，
故答案为：6﹣33．
25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△QBP与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）直接写出t为何值时，△BPQ是等腰三角形．
【答案】（1）t＝1或3241；
（2）78；
（3）t=23或89或6457．
【分析】（1）由勾股定理可求AB的长，分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t cm，PM＝3t cm，MC＝（8﹣4t）cm，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB=AC2+BC2=10（cm），
∵△BPQ与△ABC相似，且∠B＝∠B，
∴BPAB=BQBC或BPBC=BQAB，
当BPBA=BQBC时，
∴5t10=8−4t8，
∴t＝1，
当BPBC=BQAB，
∴5t8=8−4t10，
∴t=3241；
∴t＝1或3241时，△QBP与△ABC相似；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：则PB＝5t cm，
∵AC⊥BC
∴△PMB∽△ACB，
∴PBAB=BMBC=PMAC，
∴BM＝4t cm，PM＝3t cm，且BQ＝（8﹣4t）cm，BC＝8cm，
∴MC＝（8﹣4t）cm，CQ＝4t cm，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴CQPM=ACCM，
∴4t3t=68−4t，
∴t=78．
（3）①当PB＝PQ时，如图1，过P作PE⊥BQ，
则BE=12BQ＝BQ＝（4﹣2t）cm，PB＝5t cm，
由（2）可知PE＝3t cm，
∴BE=BP2−PE2=4t cm，
∴4t＝4﹣2t，
∴t=23，
②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，
解得：t=89，
③当BQ＝PQ时，如图，过Q作QG⊥AB于G，
则BG=12PB=52t，BQ＝8﹣4t，
∵△BGQ∽△ACB，
∴BGBC=BQAB，
∴52t8=8−4t10，
解得：t=6457．
综上所述：当t=23或89或6457时，△BPQ是等腰三角形．
26．（10分）若三角形的两个内角α与B满足2α+β＝90°时，我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝ 15 °；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AD是∠BAC的平分线，求证：△ABD是“准互余三角形”；
（3）如图①，在（2）的条件下若有AC＝4，BC＝5．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
（4）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．
【答案】（1）15；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∴2∠BAD+∠B＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”；
（3）存在点E，使得△ABE是“准互余三角形”，此时BE=95；
（4）20．
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；
（2）由题意可得∠ADB＞90°，所以只要证明∠B与∠BAD满足2α+β＝90°，即可解答；
（3）证明△CAE∽△CBA，可得CA2＝CE•CB，由此即可解决问题；
（4）如图，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2＝FB•FA，设FB＝x，则有x（x+7）＝122，推出x＝9，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，
∴2∠B+∠A＝90°，
∴∠B＝15°；
故答案为：15；
（2）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∴2∠BAD+∠B＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”；
（3）存在，理由如下：
在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠B+2∠BAD＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
∵△ABE也是“准互余三角形”，
∴只有2∠B+∠BAE＝90°，
∵∠B+∠BAE+∠EAC＝90°，
∴∠CAE＝∠B，
∵∠C＝∠C＝90°，
∴△CAE∽△CBA，
∴CA2＝CE•CB，
∴CE=165，
∴BE＝5−165=95，
∴存在点E，使得△ABE是“准互余三角形”，此时BE=95；
（4）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．
∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD，∠F＝∠BDC＝90°，
∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF＝180°，
∴A、B、F共线，
∴∠FAC+∠ACF＝90°
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，
∴只有2∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠FCB＝∠FAC，
∵∠F＝∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴CF2＝FB•FA，
设FB＝x，则x（x+7）＝122，
解得：x＝9或﹣16（不合题意，舍去），
∴AF＝7+9＝16，
在直角三角形ACF中，由勾股定理得：AC=AF2+CF2=162+122=20．如图（1），先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ．
（1）求证：△PBE∽△QAB．
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
C
A
C
D
C
D
C
B
如图（1），先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ．
（1）求证：△PBE∽△QAB．
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．