八年级上学期数学压轴必考题型——因式分解练习（含答案）

这是一份八年级上学期数学压轴必考题型——因式分解练习（含答案），共29页。
1．（2021春•滦州市期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）
2．（2021春•天元区期末）已知a，b，c是三角形ABC的三条边，且三角形两边之和大于第三边，则代数式（a﹣c）2﹣b2的值是（ ）
A．正数B．负数C．0D．无法确定
3．（2021春•沙坪坝区校级月考）多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（ ）
A．x（x+3y）2B．x（x+3y）C．xy（x+3y）D．x（x﹣3y）
4．（2021春•高州市月考）已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2021•海沧区模拟）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2+4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（ ）
A．﹣1B．0C．D．
6．（2020秋•封开县期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣1B．0C．3D．6
7．（2017秋•淅川县期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）
A．25B．20C．15D．10
二．填空题
8．（2021春•盐湖区校级期末）已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b的值为 ．
9．（2021春•高新区期末）若m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
10．（2021•常德模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝11，y＝12时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）．
11．（2021•武侯区模拟）若实数a，b满足a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b+5的值为 ．
12．（2021春•姑苏区期中）已知a+b＝，ab＝，并满足a＞b，则a2﹣b2＝ ．
13．（2021春•沙坪坝区校级月考）若xy＝2，y﹣x＝1，则代数式2x2y﹣2xy2的值为 ．
14．（2019秋•奉贤区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是 ．
15．（2014春•青羊区期末）若x2+x﹣1＝0，则x4+2x3﹣3x2﹣4x+5＝ ．
三．解答题
16．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：
（1）x2+2xy+y2﹣c2；

（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．


17．（2021春•兰州期末）若a，b，c是△ABC的三边，满足a2（c2﹣a2）＝b2（c2﹣b2），判断并说明△ABC的形状．



18．（2021春•崂山区期末）用几个小的正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
（1）由图1可得乘法公式 ；
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你发现的结论用等式表示为 ；
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝52，a2+b2+c2的值为 ；
（4）如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD，BF，若m+n＝12，mn＝24，求图3中阴影部分的面积．



19．（2021春•桥西区期末）如图1，在一个边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，再将余下的部分拼成如图2所示的长方形．
【观察】
比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式： （用字母a，b表示）；
【应用】
计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）；
【拓展】
已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，求8m2﹣2n2的值．





20．（2021春•巴南区期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a+b＝c+d，那么我们把这个四位正整数叫做“点子数”，例如四位正整数2947；因为2+9＝4+7，所以2947叫做“点子数”．
（1）判断8126和3645是不是“点子数”；
（2）已知一个四位正整数是“点子数”，且个位上的数字是5，百位上的数字是3，若这个“点子数”能被7整除，求这个“点子数”．



21．（2021春•章丘区期末）因式分解：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；

（2）（x2+4）2﹣16x2．


22．（2021春•马鞍山期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣a﹣b+1；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，s＝a2+3ab+b2+3a﹣b，求s的最小值．


23．（2021春•西乡县期末）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣2ab+b2＝ac﹣bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．



24．（2020秋•金昌期末）已知a，b．c为三角形ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断三角形ABC的形状．



25．（2021春•渠县校级期末）（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值（m是常数）．
（2）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，试判断△ABC的形状．



26．（2019秋•雨花区期末）已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．



27．（2020春•润州区期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
（1）图B可以解释的代数恒等式是 ；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．
人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 因式分解
一．选择题
1．（2021春•滦州市期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）
【思路引导】根据提公因式法、公式法逐项进行因式分解，再进行判断即可．
【完整解答】解：A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），因此选项A不符合题意；
B．x2+2x+1＝（x+1）2，因此选项B不符合题意；
C.3mx﹣6my＝3m（x﹣2y），因此选项C不符合题意；
D．x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y），因此选项D符合题意；
故选：D．
2．（2021春•天元区期末）已知a，b，c是三角形ABC的三条边，且三角形两边之和大于第三边，则代数式（a﹣c）2﹣b2的值是（ ）
A．正数B．负数C．0D．无法确定
【思路引导】对（a﹣c）2﹣b2进行因式分解，根据三角形两边之和大于第三边，对分解出的因式进行判断即可确定值的正负．
【完整解答】解：∵（a﹣c）2﹣b2
＝（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）
＝（a+b﹣c）[a﹣（c+b）]，
又∵a，b，c是三角形ABC的三条边，且三角形两边之和大于第三边，
∴a+b﹣c＞0，a﹣（c+b）＜0，
∴（a+b﹣c）[a﹣（c+b）]＜0，即（a﹣c）2﹣b2＜0，
故选：B．
3．（2021春•沙坪坝区校级月考）多项式x3+6x2y+9xy2与x3y﹣9xy3的公因式是（ ）
A．x（x+3y）2B．x（x+3y）C．xy（x+3y）D．x（x﹣3y）
【思路引导】分别将多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3进行因式分解，再寻找他们的公因式．
【完整解答】解：∵x3+6x2y+9xy2＝x（x2+6xy+9y2）＝x（x+3y）2，
x3y﹣9xy3＝xy（x2﹣9y2）＝xy（x+3y）（x﹣3y），
∴多项式x3+6x2y+9xy2与多项式x3y﹣9xy3的公因式是x（x+3y）．
故选：B．
4．（2021春•高州市月考）已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【思路引导】由题意：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，设S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，则2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，将式子的右边进行因式分解变形，结论可得．
【完整解答】解：∵a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1．
设S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，
则2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc．
∵2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2
＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2
＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2
＝6，
∴S＝3．
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝3．
故选：D．
5．（2021•海沧区模拟）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2+4m＝0（0＜m＜1），则多项式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能为（ ）
A．﹣1B．0C．D．
【思路引导】根据因式分解将多项式分解，利用0＜m＜1即可得0＜﹣（2m﹣1）2+1＜1，进而可得结果．
【完整解答】解：∵x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2+4m＝0（0＜m＜1），
∴x﹣2y＝2，
∴4m＝4y2﹣x2＝（2y+x）（2y﹣x），
∴x+2y＝﹣2m，
∴2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy
＝（2mx﹣4my）﹣（x2+4y2+4xy）
＝2m（x﹣2y）﹣（x2+4y2+4xy）
＝2m（x﹣2y）﹣（x+2y）2
＝4m﹣4m2
＝﹣（2m﹣1）2+1，
∵0＜m＜1，
∴0＜2m＜2，
∴﹣1＜2m﹣1＜1，
∴0＜（2m﹣1）2＜1，
∴0＜﹣（2m﹣1）2+1＜1，
故选：C．
6．（2020秋•封开县期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）
A．﹣1B．0C．3D．6
【思路引导】根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解．
【完整解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b
＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）
＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）
＝（ab﹣1）（a+b）
将a+b＝3，ab＝1代入，得
原式＝0．
故选：B．
7．（2017秋•淅川县期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）
A．25B．20C．15D．10
【思路引导】根据已知条件得到x2﹣2x﹣5＝0，将其代入整理后的d的代数式．
【完整解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2＝2x+5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，
＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5
＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5
＝x2﹣2x﹣5+25
＝25．
解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5
＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5
＝6x2﹣12x﹣5
＝6（x2﹣2x）﹣5
＝6×5﹣5
＝25．

故选：A．
二．填空题
8．（2021春•盐湖区校级期末）已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b的值为 ﹣31 ．
【思路引导】直接提取公因式（3x﹣7），进而合并同类项得出即可．
【完整解答】解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）
＝（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13）
＝（3x﹣7）（x﹣8），
∵（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），
∴（3x﹣7）（x﹣8）＝（3x+a）（x+b），
则a＝﹣7，b＝﹣8，
故a+3b＝﹣7+3×（﹣8）
＝﹣31．
故答案为：﹣31．
9．（2021春•高新区期末）若m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ﹣2021 ．
【思路引导】将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减得出m+n＝﹣1，将m2＝n+2021两边乘以m，n2＝m+2021两边乘以n再相加便可得出．
【完整解答】解：将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减，
得m2﹣n2＝n﹣m，
（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，（因为m≠n，所以m﹣n≠0），
m+n＝﹣1，
解法一：
将m2＝n+2021两边乘以m，得m³＝mn+2021m①，
将n2＝m+2021两边乘以n，得n³＝mn+2021n②，
由①+②得：m³+n³＝2mn+2021（m+n），
m³+n³﹣2mn＝2021（m+n），
m³+n³﹣2mn＝2021×（﹣1）＝﹣2021．
故答案为﹣2021．
解法二：
∵m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），
∴m2﹣n＝2021，n2﹣m＝2021（m≠n），
∴m3﹣2mn+n3
＝m3﹣mn﹣mn+n3
＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）
＝2021m+2021n
＝2021（m+n）
＝﹣2021，
故答案为﹣2021．
10．（2021•常德模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3﹣xy2，取x＝11，y＝12时，用上述方法产生的密码是 113410 （写出一个即可）．
【思路引导】先因式分解，再代值计算．
【完整解答】解：4x3﹣xy2＝x（4x2﹣y2）
＝x（2x+y）（2x﹣y）．
当x＝11，y＝12时，各因式的值为：x＝11，2x+y＝22+12＝34．
2x﹣y＝22﹣12＝10．
∴产生的密码为：113410．
故答案为：113410．
11．（2021•武侯区模拟）若实数a，b满足a﹣b＝1，则代数式a2﹣b2﹣2b+5的值为 6 ．
【思路引导】运用平方差公式，化简代入求值，
【完整解答】解：a2﹣b2﹣2b+5
＝（a+b）（a﹣b）﹣2b+5，
∵a﹣b＝1，
∴原式＝a+b﹣2b+5
＝a﹣b+5
＝1+5
＝6．
故答案为：6．
12．（2021春•姑苏区期中）已知a+b＝，ab＝，并满足a＞b，则a2﹣b2＝ ．
【思路引导】将a+b＝两边平方，运用完全平方公式展开，求出，再利用公式求出（a﹣b）2．
【完整解答】解：∵a+b＝，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
＝
＝，
∵a＞b，
∴a﹣b＝，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
＝
＝．
故答案为：．
13．（2021春•沙坪坝区校级月考）若xy＝2，y﹣x＝1，则代数式2x2y﹣2xy2的值为 ﹣4 ．
【思路引导】利用整体思想，对所求代数式进行化简，提出公因式2xy，整体代入即可，注意符号的变化
【完整解答】解：原式＝2xy（x﹣y）
＝﹣2xy（y﹣x）
∵xy＝2，y﹣x＝1
∴原式＝﹣2×2×1
＝﹣4
14．（2019秋•奉贤区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．
【思路引导】把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出b＝c，才能说明这个三角形是等腰三角形．
【完整解答】解：b2+2ab＝c2+2ac，
a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac，
（a+b）2＝（a+c）2，
a+b＝a+c，
b＝c，
所以此三角形是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
15．（2014春•青羊区期末）若x2+x﹣1＝0，则x4+2x3﹣3x2﹣4x+5＝ 2 ．
【思路引导】由x2+x﹣1＝0，得出x2+x＝1，然后将代数式x4+2x3﹣3x2﹣4x+5变形为x2（x2+x）+x（x2+x）﹣4（x2+x）+5，再整体代入求得答案即可．
【完整解答】解：∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，
∴x4+2x3﹣3x2﹣4x+5
＝x2（x2+x）+x（x2+x）﹣4（x2+x）+5
＝x2+x﹣4+5
＝1﹣4+5
＝2．
故答案为：2．
三．解答题
16．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：
（1）x2+2xy+y2﹣c2；
（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．
【思路引导】（1）先分组，再分解．
（2）先将b2（a﹣2）+b（2﹣a）变形为b2（a﹣2）﹣b（a﹣2），再运用提公因式法．
【完整解答】解：（1）x2+2xy+y2﹣c2
＝（x+y）2﹣c2
＝（x+y+c）（x+y﹣c）．
（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）
＝b2（a﹣2）﹣b（a﹣2）
＝b（a﹣2）（b﹣1）．
17．（2021春•兰州期末）若a，b，c是△ABC的三边，满足a2（c2﹣a2）＝b2（c2﹣b2），判断并说明△ABC的形状．
【思路引导】把已知式子进行变形，可得：（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，从而得到a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，再结合三角形的三边是正数，从而求得三边的关系，得以判断三角形的形状．
【完整解答】解：∵a2（c2﹣a2）＝b2（c2﹣b2），
∴a2（c2﹣a2）﹣b2（c2﹣b2）＝0
a2c2﹣a4﹣b2c2+b4＝0
c2（a2﹣b2）﹣（a4﹣b4）＝0
c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0
（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，
∴a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a＝b或c2＝a2+b2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
18．（2021春•崂山区期末）用几个小的正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
（1）由图1可得乘法公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形，从中你发现的结论用等式表示为 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝13，ab+bc+ac＝52，a2+b2+c2的值为 65 ；
（4）如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD，BF，若m+n＝12，mn＝24，求图3中阴影部分的面积．
【思路引导】（1）图1中的图形面积可表示为：（a+b）2或a2+ab+ab+b2，进行整理可得出结果；
（2）大的正方形的面积可表示为：（a+b+c）2或a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得等式；
（3）由已知条件可得：（a+b+c）2＝132，再结合（2）中的结论进行解答即可；
（4）阴影部分面积＝两个正方形的面积之和﹣△ABD的面积﹣△BEF的面积，根据相应的面积公式，结合已知条件进行求解即可．
【完整解答】解：（1）大的正方形的面积可表示为：（a+b）2，
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，
可得乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）大的正方形的面积可表示为：（a+b+c）2或a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
则有等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）∵a+b+c＝13，ab+bc+ac＝52，
∴（a+b+c）2＝132，
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝169，
a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）＝169，
a2+b2+c2+2×52＝169，
解得：a2+b2+c2＝65；
故答案为：65；
（4）∵m+n＝12，mn＝24，
∴（m+n）2＝122，
m2+n2+2mn＝144，
得：m2+n2＝96，
∵S阴影＝SABCD+SCEFG﹣S△ABD﹣S△BEF，
∴S阴影＝m2+n2﹣m2﹣（m+n）n，
整理得：S阴影＝（m2+n2）﹣mn，
S阴影＝×96﹣×24＝36．
19．（2021春•桥西区期末）如图1，在一个边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，再将余下的部分拼成如图2所示的长方形．
【观察】
比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式： a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （用字母a，b表示）；
【应用】
计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）；
【拓展】
已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，求8m2﹣2n2的值．
【思路引导】（1）根据图形变化前后阴影部分面积相等这一等量关系，可列出关系式．
（2）由（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可解决问题．
（3）可将8m2﹣2n2进行因式分解，变形为2（2m+n）（2m﹣n），再将2m﹣n＝3，2m+n＝4代入，可解决此问题．
【完整解答】解：（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）（x﹣3）（x+3）（x2+9）
＝（x2﹣32）（x2+32）
＝（x2）2﹣（32）2
＝x4﹣34
＝x4﹣81．
（3）8m2﹣2n2
＝2（4m2﹣n2）
＝2[（2m）2﹣n2]
＝2（2m+n）（2m﹣n）．
∵2m﹣n＝3，2m+n＝4，
∴8m2﹣2n2＝2×4×3＝24．
20．（2021春•巴南区期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a+b＝c+d，那么我们把这个四位正整数叫做“点子数”，例如四位正整数2947；因为2+9＝4+7，所以2947叫做“点子数”．
（1）判断8126和3645是不是“点子数”；
（2）已知一个四位正整数是“点子数”，且个位上的数字是5，百位上的数字是3，若这个“点子数”能被7整除，求这个“点子数”．
【思路引导】（1）根据“点子数”的定义进行判断即可；
（2）由题意可得a+3＝c+5，得到c＝a﹣2，a＝c+2，再由这个“点子数”能被7整除，可得100a+30+c﹣2×5＝100a+30+a﹣2﹣10＝101a+18，为7的倍数，再分别讨论即可．
【完整解答】解：（1）8+1≠2+6，故8126不是“点子数”；
3+6＝4+5，故3645是“点子数”；
（2）由题意可得：a+3＝c+5，从而可得：c＝a﹣2，a＝c+2
∵这个“点子数”能被7整除，
∴100a+30+c﹣2×5＝100a+30+a﹣2﹣10＝101a+18，为7的倍数，
∵0≤c≤9，
∴2≤a≤9，
∴当a＝2时，101×2+18＝220，220不能被7整除；
当a＝3时，101×3+18＝321，321不能被7整除；
当a＝4时，101×4+18＝422，422不能被7整除；
当a＝5时，101×5+18＝523，523不能被7整除；
当a＝6时，101×6+18＝624，624不能被7整除；
当a＝7时，101×7+18＝725，725不能被7整除；
当a＝8时，101×8+18＝826，826能被7整除，则c＝6，故这个“点子数”为：8365；
当a＝9时，101×9+18＝927，927不能被7整除．
21．（2021春•章丘区期末）因式分解：
（1）a3b﹣2a2b2+ab3；
（2）（x2+4）2﹣16x2．
【思路引导】（1）根据因式分解的一般方法，能提取公因式就先提公因式，而后考虑公式法．那么，a3b﹣2a2b2+ab3＝ab（a2﹣2ab+b2）＝ab（a﹣b）2．
（2）根据因式分解的定义，由（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4）2﹣（4x）2＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）＝（x+2）2（x﹣2）2．
【完整解答】解：（1）a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2．
（2）（x2+4）2﹣16x2
＝（x2+4）2﹣（4x）2
＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）
＝（x+2）2（x﹣2）2．
22．（2021春•马鞍山期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣a﹣b+1；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，s＝a2+3ab+b2+3a﹣b，求s的最小值．
【思路引导】（1）①先分组，再运用提公因式法进行因式分解．
②现将ab﹣a﹣b﹣4＝0变形为ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5，然后再解决本题．
（2）先将ab﹣a﹣b﹣4＝0变形为ab＝a+b+4，再代入S，然后进行变形，得到S＝．最后，探究S的最小值．
【完整解答】解：（1）①ab﹣a﹣b+1
＝（ab﹣a）﹣（b﹣1）
＝a（b﹣1）﹣（b﹣1）
＝（a﹣1）（b﹣1）．
②由题得ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5．
∵a，b为正整数且a＞b，
∴，即．
∴a+b＝8．
（2）由题得ab＝a+b+4．
∴
＝
＝
＝．
∵，
∴（当且仅当时取等号）．
经验证：满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，
综上，s的最小值为．
23．（2021春•西乡县期末）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣2ab+b2＝ac﹣bc，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【思路引导】把a2﹣2ab+b2＝ac﹣bc进行因式分解，即可解答．
【完整解答】解：△ABC为等腰三角形．
∵a2﹣2ab+b2＝ac﹣bc，
∴（a﹣b）2＝c（a﹣b），
∴（a﹣b）2﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣b﹣c）＝0，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a﹣b﹣c≠0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
24．（2020秋•金昌期末）已知a，b．c为三角形ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断三角形ABC的形状．
【思路引导】根据a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，可以得到a、b、c的关系，从而可以判断三角形ABC的形状．
【完整解答】解：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴三角形ABC是等边三角形．
25．（2021春•渠县校级期末）（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值（m是常数）．
（2）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，试判断△ABC的形状．
【思路引导】（1）令2x3﹣x2+m＝（2x+1）A的形式，当x＝﹣时，可以转化为关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值；
（2）将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，即可判断出△ABC的形状．
【完整解答】解：（1）∵多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，
∴2x3﹣x2+m＝（2x+1）A，
当x＝﹣时，
﹣﹣+m＝0，
解得m＝．
（2）∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，
a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
26．（2019秋•雨花区期末）已知a、b、c是△ABC的三边长，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【思路引导】直接利用因式分解法将原式变形进而分解因式即可．
【完整解答】解：△ABC是等边三角形，
理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0
∴a2+b2+c2﹣2ba﹣2bc+b2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
则a＝b，b＝c，
故a＝b＝c，
则△ABC是等边三角形．
27．（2020春•润州区期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．
（1）图B可以解释的代数恒等式是 2a2+2ab＝2a（a+b） ；
（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2a2+3ab+b2，并利用你所画的图形面积对2a2+3ab+b2进行因式分解．
【思路引导】（1）根据正方形面积求出即可；
（2）画出图形，即可得出答案，根据图形和矩形面积公式求出即可．
【完整解答】解：（1）2a2+2ab＝2a（a+b），故答案为：2a2+2ab＝2a（a+b），
（2）如图所示：
2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．