八年级上学期数学压轴必考题型——乘法公式练习（含答案）

这是一份八年级上学期数学压轴必考题型——乘法公式练习（含答案），共42页。
1．（2021春•浦江县期末）如图是将正方形ABCD和正方形CEFG拼在一起的图形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，BF．若阴影部分△BDF的面积为8，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2021春•盐城期末）如图，4张边长分别为a、b的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
3．（2021春•庐阳区期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（ ）
A．30B．34C．40D．44
4．（2021春•西湖区校级月考）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝2019，则（2021﹣x）（x﹣2020）的值是（ ）
A．﹣1006B．﹣1007C．﹣1008D．﹣1009
5．（2021春•拱墅区期中）用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为81；8个长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为64；12个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．22B．24C．32D．49
6．（2020秋•鼓楼区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255024B．255054C．255064D．250554
二．填空题
7．（2021春•海淀区校级期末）将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2，若S1＝S2，则的值为 ．
8．（2021春•西湖区校级月考）下列结论中：①已知2x＝a，2y＝b，则2x+y＝ab；②若a2•a4＝56，则a＝5；③若x2﹣（k+2）x+4是完全平方式，则k＝2；④关于x，y的方程组的自然数解有2对，正确的结论是 ．（填正确的序号）
9．（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是 ．
10．（2020春•武侯区校级期中）若多项式x2+x+k是关于x的完全平方式，则k＝ ．
11．（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．
小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）
小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）
小题4：应用所得的公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
12．如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米．当x＝20m，y＝30m时，面积是 平方米．
13．（2020春•建平县期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有 项，系数分别为 ；
（2）（a+b）n展开式共有 项，系数和为 ．
三．解答题
14．（2021春•于洪区期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．

15．（2021春•新都区期末）（1）已知a+b＝6，a2+b2＝26，求a﹣b的值；
（2）已知多项式x2+nx+3与x2﹣3x+m的乘积中不含有x2和x3项，求m+n的值．





16．（2021春•皇姑区期末）若x满足（x﹣4）（x﹣9）＝6，求（x﹣4）2+（x﹣9）2的值．阅读下面求解的方法：
解：设（x﹣4）＝a，（x﹣9）＝b，则ab＝（x﹣4）（x﹣9）＝6，a﹣b＝（x﹣4）﹣（x﹣9）＝5
∴（x﹣4）2+（x﹣9）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝52+2×6＝37．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
（1）若x满足（x﹣2）（x﹣5）＝10，求（x﹣2）2+（x﹣5）2的值；
（2）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF、DF为边作正方形，若AD＝x，则
①DE＝ ，DF＝ （用含x的代数式表示）；
②直接写出图中阴影部分的面积．





17．（2021春•南海区期末）在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨．
（1）若ab＝30，a+b＝10，则a2+b2的值为 ．
（2）“若y满足（40﹣y）（y﹣20）＝50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”．
阅读以下解法，并解决相应问题．
解：设40﹣y＝a，y﹣20＝b
则a+b＝（40﹣y）+（y﹣20）＝20
ab＝（40﹣y）（y﹣20）＝50
这样就可以利用（1）的方法进行求值了．
若x满足（40﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（40﹣x）²+（x﹣20）²的值．
（3）若x满足（30+x）（20+x）＝10，求（30+x）²+（20+x）²的值．





18．（2021春•丹阳市期末）如图，有长为m，宽为n的长方形卡片A（m＞n），边长为m的正方形卡片B，边长为n的正方形卡片C，将卡片C按如图1放置于卡片A上，其未叠合部分（阴影）面积为S1，将卡片A按如图2放置于卡片B上，其未叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）S1＝ ，S2＝ ；（用含m、n的代数式表示）
（2）若S1+S2＝18，则图3中阴影部分的面积S3＝ ；
（3）若m﹣n＝6，mn＝10，求图4中阴影部分的面积S4．






19．（2021春•新邵县期末）如图，它是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．
（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长为
（2）请用两种不同的方法表示图（2）阴影部分的面积；
方法一： 方法二：
（3）观察图（2），写出三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．



20．（2021春•泰兴市期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．



21．（2021春•宽城县期末）若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝ ；
（2）代数式为完全平方式，则k＝ ；
（3）解方程：＝6x2+7．



22．（2020秋•盐池县期末）回答下列问题
（1）填空：x2+＝（x+）2﹣ ＝（x﹣）2+
（2）若a+＝5，则a2+＝ ；
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．




23．（2018秋•宁城县期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ ．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝ ．




24．（2019春•正定县期中）你能化简 （a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ ；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝
（2）利用这个结论，请你解决下面的问题：
①求2199+2198+2197+…+22+2+1 的值；
②若a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a等于多少？




25．（2019秋•乳山市期中）（1）若a2+ab＝7+m，b2+ab＝9﹣m．求a+b的值．
（2）若实数x≠y，且x2﹣2x+y＝0，y2﹣2y+x＝0，求x+y的值．




26．（2018秋•北碚区期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝ ；
【方法2】S阴影＝ ；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．



27．（2019春•赫山区期末）某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：
3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．
请借鉴该同学的经验，计算：．





28．（2019春•扶风县期末）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）．
（2）运用你所得到的公式，计算（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）．
人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题 乘法公式
一．选择题
1．（2021春•浦江县期末）如图是将正方形ABCD和正方形CEFG拼在一起的图形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，BF．若阴影部分△BDF的面积为8，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【思路引导】连接CF，根据题意可得DB//CF，利用平行线之间的距离处处相等可得：S△BDF＝S△BDC＝8，即可得出边长．
【完整解答】解：如图，连接CF，
∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，
∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°，
∴∠BDC＝∠GCF，
∴BD∥CF，
∴S△BDF＝S△BCD＝8，
∴S△BDF＝BC×BC÷2＝8．
BC＝4，
故选：C．
2．（2021春•盐城期末）如图，4张边长分别为a、b的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【思路引导】假设大正方形的面积S1，小正方形的面积S2，则S1﹣S2＝4个长方形面积．
【完整解答】解：设大正方形的面积S1，小正方形的面积S2，
大正方形的边长为a+b，则大正方形面积S1＝（a+b）2，
小正方形的边长为a﹣b，则小正方形面积S2＝（a﹣b）2，
四个长方形的面积为4ab，
∵S1﹣S2＝4ab，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故选：D．
3．（2021春•庐阳区期末）如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么阴影部分的面积是（ ）
A．30B．34C．40D．44
【思路引导】由图可得阴影部分面积为4个直角三角形面积的和．
【完整解答】解：如图，
∵a﹣b＝2，ab＝26，
∴a2﹣2ab+b2＝4，
∴a2+b2＝4+2ab＝4+52＝56，
阴影部分的面积＝S△ABC+S△CDM+S△AEF+S△GHM
＝2×（a﹣b）×a+2×b×b
＝a（a﹣b）+b2
＝a2+b2﹣ab
＝56﹣26
＝30．
故选：A．
4．（2021春•西湖区校级月考）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝2019，则（2021﹣x）（x﹣2020）的值是（ ）
A．﹣1006B．﹣1007C．﹣1008D．﹣1009
【思路引导】设2021﹣x＝a，x﹣2020＝b，根据题意可得，a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，将ab化成[（a+b）2﹣（a2+b2）]的形式，代入求值即可．
【完整解答】解：设2021﹣x＝a，x﹣2020＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2020）2＝a2+b2＝2019，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2020）＝1，
所以，（2021﹣x）（x﹣2020）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（12﹣2019）＝﹣1009；
故选：D．
5．（2021春•拱墅区期中）用若干个形状，大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4个长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为81；8个长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为64；12个长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．22B．24C．32D．49
【思路引导】设长方形的长为a，宽为b，由图1、图2可求出a、b的值，再根据图3，求出（a+3b）2﹣12ab的值，即求出阴影部分的面积即可．
【完整解答】解：设长方形的长为a，宽为b，由图1得，（a+b）2﹣4ab＝81，即：a﹣b＝9，
由图2得，（a+2b）2﹣8ab＝64，即：a﹣2b＝8，
解得：a＝10，b＝1，
由图3得，（a+3b）2﹣12ab＝（a﹣3b）2＝49，即阴影部分的面积为49，
故选：D．
6．（2020秋•鼓楼区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．255024B．255054C．255064D．250554
【思路引导】设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），求出和谐数的表达式，根据和谐数不超过2017，列出不等式，求得n的范围，进而可以知道最大的n，求出此时的相邻两个奇数，然后把这些和谐数加起来计算即可．
【完整解答】解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
根据题意得：8n≤2017，
∴n≤252，
∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，
∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032
＝5052﹣12
＝255024．
故选：A．
二．填空题
7．（2021春•海淀区校级期末）将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2，若S1＝S2，则的值为 3 ．
【思路引导】求出S1＝a2+b2．S2＝2ab，根据S1＝S2得出a2+b2＝•2ab，求出a＝b或a＝3b，再求出答案即可．
【完整解答】解：S1＝4×ab+（a﹣b）2
＝2ab+a2﹣2ab+b2
＝a2+b2，
S2＝（）2﹣（a﹣b）2
＝a2+b2﹣a2+2ab﹣b2
＝2ab，
∵S1＝S2，
∴a2+b2＝•2ab，
∴3a2﹣10ab+3b2＝0，
（3a﹣b）（a﹣3b）＝0，
∴3a﹣b＝0或a﹣3b＝0，
解得：a＝b或a＝3b，
∵a＞b＞0，
∴a＝b舍去，
当a＝3b时，＝＝3，
故答案为：3．
8．（2021春•西湖区校级月考）下列结论中：①已知2x＝a，2y＝b，则2x+y＝ab；②若a2•a4＝56，则a＝5；③若x2﹣（k+2）x+4是完全平方式，则k＝2；④关于x，y的方程组的自然数解有2对，正确的结论是 ① ．（填正确的序号）
【思路引导】先根据同底数幂的乘法，完全平方公式，解方程组进行计算，再求出答案即可．
【完整解答】解：∵2x＝a，2y＝b，
∴2x+y＝2x×2y＝ab，故①正确；
∵a2•a4＝a6＝56，
∴a＝±5，故②错误；
∵x2﹣（k+2）x+4是完全平方式，
∴﹣（k+2）x＝±2•x•2，
∴k＝2或﹣6，故③错误；
解方程组得：，
∵方程组的解是自然数，
∴，
解得：3≤k≤5，
∴自然数为3，4，5，
即关于x，y的方程组的自然数解有3对，故④错误；
即正确的有①，
故答案为：①．
9．（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是 20 ．
【思路引导】设大正方形的边长为a，小正方形的面积为b，根据题意得a2﹣b2＝40，∴（a+b）（a﹣b）＝40；根据S阴＝S△ACD﹣S△CDE计算即可．
【完整解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的面积为b，
根据题意得a2﹣b2＝40，
∴（a+b）（a﹣b）＝40；
∵S阴＝S△ACD﹣S△CDE，
∴S阴＝×CD×AB﹣×CD×BE
＝（a+b）a﹣（a+b）b
＝（a+b）（a﹣b）
∵（a+b）（a﹣b）＝40，
∴S阴＝×40
＝20．
故答案为：20．
10．（2020春•武侯区校级期中）若多项式x2+x+k是关于x的完全平方式，则k＝ ．
【思路引导】根据完全平方公式的乘积二倍项和已知平方项先确定出另一个数是，平方即可．
【完整解答】解：∵x＝2××x
∴k＝（）2＝．
故答案为：．
11．（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．
小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）；
小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 （a﹣b） ，长是 （a+b） ，面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式乘法的形式）
小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用式子表达）
小题4：应用所得的公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
【思路引导】小题1：利用正方形的面积公式就可求出；
小题2：仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；
小题3：建立等式就可得出；
小题4：利用平方差公式就可方便简单的计算．
【完整解答】解：小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；
故答案为：a2﹣b2；
小题2：由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
小题3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
小题4：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
＝（1﹣）×（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝
＝．
12．如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 y2﹣x2 平方米．当x＝20m，y＝30m时，面积是 500 平方米．
【思路引导】本题结合图形，根据梯形的面积公式＝（上底+下底）×高，列出菜地的面积，再运用平方差公式计算．
【完整解答】解：由题意得菜地的面积为2×（x+y）（y﹣x）＝y2﹣x2．
当x＝20，y＝30时，
y2﹣x2＝302﹣202＝900﹣400＝500m2．
故答案为：y2﹣x2；500．
13．（2020春•建平县期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；
（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；
…
根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有 5 项，系数分别为 1，4，6，4，1 ；
（2）（a+b）n展开式共有 （n+1） 项，系数和为 2n ．
【思路引导】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多1．根据上面观察的规律很容易解答问题．
【完整解答】解：（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，
（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．
故答案为：（1）5；1，4，6，4，1；（2）（n+1），2n．
三．解答题
14．（2021春•于洪区期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 （a+b）2＝a2+2ab+b2． ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，直接写出x﹣2020的值．
【思路引导】（1）图形②是边长为（a+b）的正方形，它的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，由此结论可得；
（2）①把a+b＝4进行平方，结合a2+b2＝10即可求得ab的值；
②设x﹣2020＝a，则x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1则有（a﹣1）2+（a+1）2＝130，进行整理可得a2＝64，从而求出所求．
【完整解答】解：（1）∵图形②是边长为（a+b）的正方形，
∴S＝（a+b）2．
∵大正方形的面积由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及两个长为b，宽为a的长方形组合而成，
∴S＝a2+2ab+b2．
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）①∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝16．
∴a2+2ab+b2＝16．
∵a2+b2＝10，
∴ab＝3．
②设x﹣2020＝a，则x﹣2021＝a﹣1，x﹣2019＝a+1．
∵（x﹣2021）2+（x﹣2019）2＝130，
∴（a﹣1）2+（a+1）2＝130．
∴a2﹣2a+1+a2+2a+1＝130．
∴2a2＝128．
∴a2＝64．
即（x﹣2020）2＝64．
∴x﹣2020＝±8．
15．（2021春•新都区期末）（1）已知a+b＝6，a2+b2＝26，求a﹣b的值；
（2）已知多项式x2+nx+3与x2﹣3x+m的乘积中不含有x2和x3项，求m+n的值．
【思路引导】（1）欲求a﹣b，可求（a﹣b）2．由于（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，所以转化求ab．由a+b＝6，a2+b2＝26，（a+b）2＝a2+b2+2ab，故可求得ab＝5．
（2）由题意，需求多项式x2+nx+3与x2﹣3x+m的乘积中的含有x2和x3项的代数式，若不存在，则x2和x3项的系数为0，进而解决此题．
【完整解答】解：（1）∵a+b＝6，
∴（a+b）2＝36．
∴a2+b2+2ab＝36．
又∵a2+b2＝26，
∴26+2ab＝36．
∴ab＝5．
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝26﹣10＝16．
∴a﹣b＝±4．
（2）（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）
＝x4﹣3x3+mx2+nx3﹣3nx2+mnx+3x2﹣9x+3m
＝x4+（n﹣3）x3+（m﹣3n+3）x2+（mn﹣9）x+3m．
∵多项式x2+nx+3与x2﹣3x+m的乘积中不含有x2和x3项，
∴n﹣3＝0，m﹣3n+3＝0．
∴m＝6，n＝3．
∴m+n＝6+3＝9．
16．（2021春•皇姑区期末）若x满足（x﹣4）（x﹣9）＝6，求（x﹣4）2+（x﹣9）2的值．阅读下面求解的方法：
解：设（x﹣4）＝a，（x﹣9）＝b，则ab＝（x﹣4）（x﹣9）＝6，a﹣b＝（x﹣4）﹣（x﹣9）＝5
∴（x﹣4）2+（x﹣9）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝52+2×6＝37．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
（1）若x满足（x﹣2）（x﹣5）＝10，求（x﹣2）2+（x﹣5）2的值；
（2）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF、DF为边作正方形，若AD＝x，则
①DE＝ x﹣1 ，DF＝ x﹣3 （用含x的代数式表示）；
②直接写出图中阴影部分的面积．
【思路引导】（1）根据材料方法，即可求出（x﹣2）2+（x﹣5）2＝29；
（2）①由图直接可得；
②由长方形EMFD的面积是15，得（x﹣1）（x﹣3）＝15，再算（x﹣1+x﹣3）²＝（x﹣1﹣x+3）²+4（x﹣1）（x﹣3）＝2²+4×15＝64，即可求出x﹣1+x﹣3＝8，再由（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝2（x﹣1+x﹣3）即可求出阴影部分面积．
【完整解答】解：（1）设（x﹣2）＝a，（x﹣5）＝b，则ab＝（x﹣2）（x﹣5）＝10，a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣5）＝3，
∴（x﹣2）2+（x﹣5）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝32+2×10＝29；
（2）①∵AE＝1，CF＝3，正方形ABCD边长为x，
∴DE＝x﹣1，DF＝x﹣3．
故答案为：x﹣1，x﹣3；
②∵长方形EMFD的面积是15，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝15，
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则ab＝15，a﹣b＝2，
∴（x﹣1+x﹣3）²＝（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab＝2²+4×15＝64，
∵a≥0，b≥0，
∴x﹣1+x﹣3＝a+b＝8，
∴阴影部分面积为（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b）＝16．
17．（2021春•南海区期末）在学习完全平方公式：后，我们对公式的运用进一步探讨．
（1）若ab＝30，a+b＝10，则a2+b2的值为 40 ．
（2）“若y满足（40﹣y）（y﹣20）＝50，求（40﹣y）2+（y﹣20）2的值”．
阅读以下解法，并解决相应问题．
解：设40﹣y＝a，y﹣20＝b
则a+b＝（40﹣y）+（y﹣20）＝20
ab＝（40﹣y）（y﹣20）＝50
这样就可以利用（1）的方法进行求值了．
若x满足（40﹣x）（x﹣20）＝﹣10，求（40﹣x）²+（x﹣20）²的值．
（3）若x满足（30+x）（20+x）＝10，求（30+x）²+（20+x）²的值．
【思路引导】（1）先将等式a+b＝10两边平方，再将ab＝30代入即可；
（2）设40﹣y＝a，y﹣20＝b，可得：a+b＝20，ab＝50，再根据完全平方公式即可求解；
（3）设30+x＝a，20+x＝b，则 ab＝10，a﹣b＝10，再根据完全平方公式即可求解．
【完整解答】解：（1）∵a+b＝10，
∴（a+b）2＝100，
即a2+2ab+b2＝100，
将ab＝30，代入得：a2+b2+2×30＝100，
∴a2+b2＝100﹣60＝40，
故答案为40．
（2）设40﹣x＝a，x﹣20＝b，
则 （40﹣x）（x﹣20）＝ab＝﹣10，
∵a+b＝（40﹣x）+（x﹣20）＝20，
∴（40﹣x）2+（x﹣20）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝202﹣2×（﹣10）
＝420．
（3）设30+x＝a，20+x＝b，
则 （30+x）（20+x）＝ab＝10，
∵a﹣b＝（30+x）﹣（20+x）＝10，
∴（30+x）2+（20+x）2
＝a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝102+2×10
＝120．
18．（2021春•丹阳市期末）如图，有长为m，宽为n的长方形卡片A（m＞n），边长为m的正方形卡片B，边长为n的正方形卡片C，将卡片C按如图1放置于卡片A上，其未叠合部分（阴影）面积为S1，将卡片A按如图2放置于卡片B上，其未叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）S1＝ mn﹣n² ，S2＝ m²﹣mn ；（用含m、n的代数式表示）
（2）若S1+S2＝18，则图3中阴影部分的面积S3＝ 18 ；
（3）若m﹣n＝6，mn＝10，求图4中阴影部分的面积S4．
【思路引导】（1）如图1，阴影面积S1＝卡面A面积﹣卡片C面积；
如图2，阴影面积S2＝卡片B面积﹣卡片A面积；
（2）如图3，阴影面积S3＝卡片B面积﹣卡片C面积＝m²﹣n²，而由已知S1+S2＝18，可解出18＝S1+S2＝m²﹣n²，即可依此解答；
（3）由于已知若m﹣n＝6，mn＝10，有代数式m﹣n，mn，所以在运算S4过程中出现：（m²+n²+mn）＝[（m﹣n）²+3mn]，要转化成m﹣n，mn，才能用已知条件的数值代入．
【完整解答】解：卡片A面积＝mn，卡片B面积＝m²，卡片C面积＝n²，
（1）S1＝A﹣C＝mn﹣n²，
S2＝B﹣A＝m²﹣mn，
故答案为：mn﹣n²，m²﹣mn，
（2）∵S1＝mn﹣n²，S2＝m²﹣mn，
∴S1+S2＝（mn﹣n²）+（m²﹣mn），
S1+S2＝m²﹣n²，
∵S1+S2＝18，
∴m²﹣n²＝18
∴S3＝B﹣C＝m²﹣n²＝18，
故答案为：18，
（3）S△ABC＝BC•AC＝m（m+n），
S梯形ACDE＝（n+m+n）n＝n（2n+m），
S△BDE＝n（m+n），
图4中阴影部分的面积S4＝S四边形ABDE﹣S△BDE
＝（S△ABC+S梯形ACDE）﹣S△BDE
＝m（m+n）+n（2n+m）﹣n（m+n）
＝m²+n²+mn
＝（m²+n²+mn）
＝[（m﹣n）²+3mn]
∵m﹣n＝6，mn＝10，
∴S4＝[（m﹣n）²+3mn]
＝（6²+3×10）
＝33，
答：图4中阴影部分的面积S4是33．
19．（2021春•新邵县期末）如图，它是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．
（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长为 （m﹣n）
（2）请用两种不同的方法表示图（2）阴影部分的面积；
方法一： （m﹣n）2m2 方法二： [（m+n）2﹣4mn]m2
（3）观察图（2），写出三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．
【思路引导】（1）根据线段的和差关系即可求解；
（2）根据（1）中的结果即可得出答案；
（3）先根据（2）的结果进行变形，再代入求出即可．
【完整解答】解：（1）图中阴影部分的正方形边长为（m﹣n）．
故答案为：（m﹣n）；
（2）方法一：∵图2中阴影部分为正方形边长为：（m﹣n）m，
∴图2中阴影部分的面积是：（m﹣n）2m2
方法二：图2中阴影部分的面积＝边长为（m+n）的正方形的面积﹣4个小长方形的面积和
即：[（m+n）2﹣4mn]m2
（3）关系为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn（4）；
∵（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
∴有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
又∵a+b＝7，ab＝5
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×5＝49﹣20＝29．
20．（2021春•泰兴市期末）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．
【思路引导】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．
【完整解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；
①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．
21．（2021春•宽城县期末）若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝ ﹣ ；
（2）代数式为完全平方式，则k＝ ±3 ；
（3）解方程：＝6x2+7．
【思路引导】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；
（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解；
（3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解．
【完整解答】解：（1）
＝[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]
＝﹣6÷4
＝﹣．
故答案为：﹣；

（2）
＝[x2+（3y）2]+xk•2y
＝x2+9y2+2kxy，
∵代数式为完全平方式，
∴2k＝±6，
解得k＝±3．
故答案为：±3；

（3）＝6x2+7，
（3x﹣2）（3x+2）﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]＝6x2+7，
解得x＝﹣4．
22．（2020秋•盐池县期末）回答下列问题
（1）填空：x2+＝（x+）2﹣ 2 ＝（x﹣）2+ 2
（2）若a+＝5，则a2+＝ 23 ；
（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．
【思路引导】（1）根据完全平方公式进行解答即可；
（2）根据完全平方公式进行解答；
（3）先根据a2﹣3a+1＝0求出a+＝3，然后根据完全平方公式求解即可．
【完整解答】解：（1）2、2．
（2）23．
（3）∵a2﹣3a+1＝0
两边同除a得：a﹣3+＝0，
移项得：a+＝3，
∴a2+＝（a+）2﹣2＝7．
23．（2018秋•宁城县期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．
（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ 30 ．
（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝ 156 ．
【思路引导】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；
（2）运用多项式乘多项式进行计算即可；
（3）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；
（4）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（5a+7b）（9a+4b）＝45a2+20ab+63ab+28b2＝45a2+28b2+83ab，即可得到x，y，z的值．
【完整解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）证明：（a+b+c）（a+b+c），
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，
＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
＝102﹣2（ab+ac+bc），
＝100﹣2×35，
＝30．
故答案为：30；
（4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，
∵（5a+7b）（9a+4b），
＝45a2+20ab+63ab+28b2，
＝45a2+28b2+83ab，
∴x＝45，y＝28，z＝83．
∴x+y+z＝45+28+83＝156．
故答案为：156．
24．（2019春•正定县期中）你能化简 （a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝ a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）＝ a3﹣1 ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝ a4﹣1 ；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝ a100﹣1
（2）利用这个结论，请你解决下面的问题：
①求2199+2198+2197+…+22+2+1 的值；
②若a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a等于多少？
【思路引导】（1）原式利用多项式乘多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）各项变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【完整解答】解：（1）：（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝a100﹣1；
故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
（2）①∵（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，
∴2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；
②∵a8﹣1＝（a﹣1）（a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，即a8＝1，
∴a＝±1，
当a＝1时，a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0不成立，
∴a＝﹣1．
25．（2019秋•乳山市期中）（1）若a2+ab＝7+m，b2+ab＝9﹣m．求a+b的值．
（2）若实数x≠y，且x2﹣2x+y＝0，y2﹣2y+x＝0，求x+y的值．
【思路引导】（1）首先把两式相加，然后根据完全平方公式计算即可；
（2）把两式相减，进一步分组因式分解整理得出答案即可．
【完整解答】解：（1）∵a2+ab＝7+m，b2+ab＝9﹣m，
∴a2+ab+b2+ab＝7+m+9﹣m，
∴（a+b）2＝16，
∴a+b＝±4；

（2）∵x2﹣2x+y＝0，y2﹣2y+x＝0，
∴x2﹣2x+y﹣（y2﹣2y+x）＝0，
∴（x+y）（x﹣y）﹣3（x﹣y）＝0
∴（x+y﹣3）（x﹣y）＝0，
∵x≠y，
∴x+y﹣3＝0，
则x+y＝3．
26．（2018秋•北碚区期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 a﹣b ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝ （a﹣b）2 ；
【方法2】S阴影＝ （a+b）2﹣4ab ；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．
【思路引导】（1）观察图意直接得出正方形的边长是a﹣b；
（2）利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，或者直接利用（1）的条件求出小正方形的面积；
（3）把（2）中的两个代数式联立即可；
（4）类比（3）求出（x﹣y）2，再开方即可．
【完整解答】解：（1）a﹣b；
（2）方法1：S阴影＝（a﹣b）2，
方法2：S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
（3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）∵x+y＝10，xy＝16，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝102﹣4×16＝36，
∴x﹣y＝±6．
27．（2019春•赫山区期末）某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：
3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．
请借鉴该同学的经验，计算：．
【思路引导】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【完整解答】解：原式＝2（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+
＝2（1﹣）+
＝2．
28．（2019春•扶风县期末）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用式子表达）．
（2）运用你所得到的公式，计算（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）．
【思路引导】（1）首先利用平行四边形与正方形面积求解方法表示出两个图形中的阴影部分的面积，又由两图形阴影面积相等，即可得到答案．
（2）利用平方差公式就可简单的计算．注意将a﹣c看作一个整体．
【完整解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．

（2）（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c），
＝[（a﹣c）+2b][（a﹣c）﹣2b]，
＝（a﹣c）2﹣（2b）2，
＝a2﹣2ac+c2﹣4b2．