2025-2026学年河南省周口市太康县第一高级中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年河南省周口市太康县第一高级中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=1,2,1，b=-1,0,4，则a+2b=( )
A. -1,2,9B. -1,4,5C. 1,2,-7D. 1,4,9
2.过点-1,3且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为( )
A. x-2y+7=0B. 2x+y-1=0C. x-2y-5=0D. 2x+y-5=0
3.若方程x2+y2+4mx-2y+4m2-m=0表示一个圆，则实数 m的取值范围是( )
A. m0，则a，b的夹角是锐角
C. 不相等的两个空间向量的模可能相等
D. 若a，b是两个不共线的向量，且c=λa+μb(λ,μ∈R且λ⋅μ≠0)，则a,b,c构成空间的一个基底
10.已知直线l1:ax+y-3a=0，直线l2:2x+a-1y-6=0，则( )
A. 当a=3时，l1与l2的交点为3,0B. 直线l1恒过点3,0
C. 若l1⊥l2，则a=13D. 存在a∈R，使l1//l2
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P是线段AB1上的动点，则下列说法正确的是，( )
A. 存在点P使PD⊥A1C1B. 点P到平面A1C1D的距离为 32
C. CP+PA1的最小值是2+ 3D. 三棱锥C1-A1PD的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A(4,0)到直线4x-3y+a=0的距离等于3，则a的值为 ．
13.如图，二面角α-AB-β的大小为60∘，线段PM与NQ分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.若PM=2,MN=3,NQ=4，则PQ= ．
14.如图，已知点A(8,0)，B(0,-4)，从点P(3,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)，设a=AB,b=AC．
(1)求a和b的夹角θ的余弦值;
(2)若向量ka+b与ka-2b互相垂直，求k的值．
16.(本小题15分)
已知直线l1:(2a-1)x-(a-2)y+1=0，直线l2:(a+1)x-2y-1=0．
(1)若l1//l2，求实数a的值；
(2)若l1⊥l2，求实数a的值．
17.(本小题15分)
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2．

(1)用空间向量方法证明：A1C1//平面ACD1；
(2)求直线BD与平面ACD1所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
圆C过点A6,0，B1,5，且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.
(1)求圆C的方程；
(2)P为圆C上的任意一点，定点Q8,0，求线段PQ中点M的轨迹方程．
19.(本小题17分)
古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯(Pappus，公元3世纪末)在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：平面上，到两条已知直线距离的乘积是到第三条直线距离的平方的k倍的动点轨迹为二次曲线(在平面上，由二元二次方程所表示的曲线，叫做二次曲线).常数k的大小和直线的位置等决定了曲线的形状.为了研究方便，我们设平面内三条给定的直线为li(i=1,2,3)，当三条直线中有相交直线时，记l1∩l2=A，l2∩l3=B，l3∩l1=C，动点P到直线li的距离为di(i=1,2,3)，且满足d1d2=kd3 2.阅读上述材料，完成下列问题：
(1)当l1//l2，l3⊥l1时，若k=1，且l1与l2的距离为2，点P在l1与l2之间运动时，求动点P的轨迹所围成的面积．
(2)若▵ABC是等腰直角三角形，∠BAC是直角，点P在∠BAC内(包括两边)运动，试探求k为何值时，P的轨迹是圆？
(3)若▵ABC是等腰三角形，AB=AC，点P在∠BAC内(包括两边)任意运动，当k=1时，问在此等腰三角形对称轴上是否存在一点D，使PAPD为大于1的定值.若存在，求出点D的位置，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.A
3.C
4.A
5.B
6.D
7.C
8.B
9.AC
10.ABC
11.AD
12.-1或-31
13. 21
14.4 5
15.【详解】(1)由点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4)，得a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2)，
所以csθ=a⋅ba⋅b=-1 2× 5=- 1010，所以a和b夹角θ的余弦值为- 1010
(2)由(1)可得ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4)，
因为向量ka+b与ka-2b互相垂直，
则(ka+b)⋅(ka-2b)=(k-1)(k+2)+k2-8=0，
整理可得2k2+k-10=0，解得k=2或k=-52，
所以k的值为2或-52．

16.【详解】(1)由l1//l2，则(a+1)×[-(a-2)]+2(2a-1)=0，即a2-5a=0，
所以a=0或a=5，
当a=0，l1:x-2y-1=0，l2:x-2y-1=0，两线重合，不合题意；
当a=5，l1:9x-3y+1=0，l2:6x-2y-1=0，符合题意；
综上，a=5．
(2)由l1⊥l2，则(a+1)×(2a-1)+2(a-2)=0，即2a2+3a-5=0，
所以(2a+5)(a-1)=0，即a=-52或a=1．

17.【详解】(1)根据题意以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

易知A2,0,0,C0,2,0,A12,0,2,C10,2,2,D10,0,2，
则A1C1=-2,2,0,AC=-2,2,0,CD1=0,-2,2，
设平面ACD1的一个法向量为n=x,y,z，
则n⋅AC=-2x+2y=0n⋅CD1=-2y+2z=0，令y=1，则可得x=1,z=1，即n=1,1,1；
又n⋅A1C1=-2+2+0=0，即n⊥A1C1，
又A1C1⊄平面ACD1，
所以A1C1//平面ACD1；
(2)易知B2,2,0,D0,0,0，则BD=-2,-2,0，
由(1)知平面ACD1的一个法向量为n=1,1,1，
设直线BD与平面ACD1所成的角为θ，
则sinθ=csBD,n=BD⋅nBDn=-2-22 2× 3= 63，
即直线BD与平面ACD1所成角的正弦值为 63．

18.【详解】(1)直线AB的斜率k=5-01-6=-1，
所以AB的垂直平分线m的斜率为1．
AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x=6+12=72，y=9+52=52．
因此，直线m的方程为y-52=1x-72.即x-y-1=0．
又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点.联立方程组
x-y-1=02x-7y+8=0,
解得x=3y=2
所以圆心坐标为C3,2，又半径r=CA= 13，
则所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=13．
(2)设线段PQ的中点Mx,y，Px0,y0
M为线段PQ的中点，则x0+82=xy0+02=y,
解得x0=2x-8y0=2y
P2x-8,2y代入圆C中得(2x-8-3)2+(2y-2)2=13，
即线段PQ中点M的轨迹方程为x-1122+(y-1)2=134．

19.【详解】(1)
以l1为y轴，l3为x轴，建立平面直角坐标系，l2:x=2，设P(x,y)，
因为P在l1，l2之间，所以d1=x，d2=2-x，d3=|y|，
由定义得d1d2=d3 2，所以x(2-x)=y2，化简得(x-1)2+y2=1，
表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．
所以动点P的轨迹围成的图形面积S=πr2=π．
(2)
以A为坐标原点，l1(AB)为y轴，l2(AC)为x轴，建立平面直角坐标系．
设l3BC:x+y-c=0(c>0)，点P(x,y)(x≥0且y≥0)，
则d1=x，d2=y，d3=|x+y-c| 2，d1d2=kd32，
代入坐标得：xy=kx2+y2+c2+2xy-2cx-2cy2.
化简整理：kx2+ky2+(2k-2)xy-2kcx-2kcy+kc2=0①
当k=1时，方程①没有xy项，此时方程①为：x2+y2-2cx-2cy+c2=0．
即(x-c)2+(y-c)2=c2，此方程表示圆心为(c,c)，半径为c的圆，
所以当k=1时，P的轨迹是圆．
(3)
以A为坐标原点，∠CAB的角平分线为x轴，建立平面直角坐标系，
设l1AB:y=tx，l2AC:y=-tx(t>0)，l3BC:x=a(a>0)，点P(x,y)，
先求点P的轨迹方程：由d1=|tx-y| t2+1，因为P在∠CAB内部，所以tx-y>0，得d1=tx-y t2+1．
同理：d2=tx+y t2+1，又d3=|x-a|．
由题意，当k=1时，得tx-y t2+1⋅tx+y t2+1=|x-a|2．
化简整理得：x2+y2-2a(t2+1)x+a2(t2+1)=0.②
假设存在点D(m,0)(m>0)，满足条件，则PAPD= x2+y2 (x-m)2+y2= x2+y2x2+y2-2mx+m2③
由②得：x2+y2=2a(t2+1)x-a2(t2+1)．
代入③得PAPD= a(t2+1)(2x-a)2(at2+a-m)x-[a2(t2+1)-m2]．
要使此式为定值，则2(at2+a-m)a2(t2+1)-m2=2a，化简得m=a，
故存在点D(a,0)，即点D为l3与∠CAB的角平分线的交点，即点D为BC中点，
此时PAPD= t2+1t>1．