河北省邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

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答案 C A D C A B A D AD AD
题号 11
答案 BD
1．C
【分析】由题意解一元二次不等式，求出集合 的元素，根据交集的概念求出结果即可.
【详解】由题意得 ，解得 ，即 ，
则 ；
故选：C.
2．A
【分析】利用复数除法法则得到 ， 对应的点为 ，位于第一象限.
【详解】因为 ，所以 ，
对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A
3．D
【分析】借助向量垂直数量积为零及向量夹角公式可得 ，再借助二倍角公式计算即可
得.
【详解】由 ，则 ，
故 ，则 ，
故 .
故选：D.
4．B
【分析】求得函数 的周期，利用周期函数的性质求解即可.
【详解】由 ，可得 ，
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所以 是周期为 4 的周期函数，
所以 .
故选：B.
5．A
【分析】先配凑 ，然后运用基本不等式求出最小值
【详解】 ，
当且仅当 ，即 ， 时， 取得最小值 .
故选： .
6．B
【分析】利用充分条件与必要条件得定义进行判断.
【详解】 等价于 或 ，
当 时， 为第一象限角；当 时， 为第三象限角；
所以“ ”是“ 为第一象限角”的必要不充分条件.
故选：B.
7．A
【分析】应用等比数列基本量运算求解.
【详解】在等比数列 中， ，所以 ，又 ，解得
，
设 的公比为 q，则 ，解得 ，
因为 单调递减，所以 ．
故选：A
8．D
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【分析】构造函数 ，目标即可转化为解不等式 ，再结合可得
在 上单调递减的性质即可.
【详解】令 ，则 ，所以 在 上单调递减，
因为 ，所以不等式 可变为 ，
即 ，所以 ，即 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D.
9．AD
【分析】设等差数列的公差为 ，结合已知可求得 ， ，可求得数列 的通项
公式，前 项和公式，以及前 项和的最小值可判断 ABC；利用等比数列的定义可判断
是等比数列判断 D.
【详解】设等差数列的公差为 ，则 ，解得 ， ，
所以 ， ，
当 或 时， 有最小值，最小值为 ，故 A 正确，B，C 错误；
因为 ，所以数列 是公比为 4 的等比数列，故 D 正确.
故选：AD.
10．AD
【分析】由 的值求出 的值可判断 A；通过函数的平移原则可判断 B；直接根据正弦
函数的性质可判断 C；令 解出 可判断 D.
【详解】因为 ，所以 的图象关于直线 对称，A 正确．
，B 不正确．
由 ，得 ，则 ，C 不正确．
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由 ，得 ，则 ，
即 ，所以 两个相邻的零点之差的绝对值为 ，D 正确．
故选：AD.
11．．BD
【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定 A，利用函数的奇偶性判
定 B，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除 C，利用极值点的定义可判定 D.
【详解】对于 A：当 至少一个不为 0，则 为三次或者一次函数，值域均为 ；
当 均为 0 时，值域为 ，错误；
对于 B：函数 满足 ，
可知 为奇函数，其图象关于 中心对称，
所以 的图象为 的图象向上移动两个单位后得到的，
即关于 中心对称，正确；
对于 C： ，当 时，取 ，
当 时， 在区间 上单调递增，错误；
对于 D： ，当 时， 有两个不相等的实数根，
所以函数 有两个极值点，正确.
故选：BD.
12．
故答案为： .
13．
【分析】由等差数列前 项和的性质可得公差，再利用二次函数性质可求最大值.
【详解】设等差数列 的公差为 ， ，
，
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解得 ， ，
所以当 时， 取得最大值为 .
故答案为： .
14．
【分析】在 上取一点 ，使得 ,在 上一点 ，使得取 ，证得四
边形 为平行四边形， ，进而结合平面图形的几何性质即可求出结果.
【详解】
在 上取一点 ，使得 ,在 上一点 ，使得取 ，又因为
，则 ，所以四边形 为平行四边形，所以
，因为 ，则 ， ，则 ，
所以 .
故答案为：
14．-2
【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到 ，联立得
到 ，故 .
【详解】因为 ， ，所以 ， ，
则 在点 处的切线方程为 ，即 ；
在点 处的切线方程为： ，即 ，
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由已知 ，由 得 ，故 ，
故 ，解得 ，
所以 ，因此 ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；
(2) 已知斜率 求切点 即解方程 ；
(3) 已知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用
求解.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理，结合 ，求出 ，进而 ，由余弦定理
求出 ；
（2）根据三角形面积求出 ，故 .
【详解】（1） ，
由余弦定理可得： ，
，
又 ，
，即 ，
又 ， ，可得 ，
，即 ，
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.
（2）由（1）知， ，
又 ，故 ， ，
，
解得 .
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）将已知等式变形为 ，结合等差数列的通项公式，即可求得答
案；
（2）写出 的表达式，利用错位相减法求和，即可得答案.
【详解】（1）因为 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以 ，所以
（2）由（1）可知 ，所以 ，
所以 ，①
，②
，得 ，
即 ，
故 .
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17．(1)
(2)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，极小值 ，无极大值
【分析】（1）由于函数 在点 处的切线与 轴平行，则 求解即可；
（2）利用导数分析函数的单调性求解极值即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由于函数 在点 处的切线与 轴平行，
所以 ，即 ，所以 .
（2）由（1）可知 ，所以 ，
的定义域为： ，
令 ，解得 （舍去）或
若 时， ， 单调递减；
若 时， ， 单调递增.
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
当 时， 有极小值为 ，无极大值.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，进而可得角 ；
（2）根据余弦定理以及已知条件有 ， ，据此可证明
，即可得到结论；
（3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得 ，结合锐角三角形
条件即可求得取值范围.
【详解】（1）由 可知 ，从而由正弦定理
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得 .
故 ，这就得到
，故 .
此即 ，故 ，得 或
，这里 .
结合 ，就知道 .
（2）因为 ，由余弦定理可得 .
又因为 ，故 .
这就得到
.
所以 ，即 ，从而必有 是直角三角形．
（3）由正弦定理可得 ，故
.
而因为 为锐角三角形，故 ，解得 的范围是 .
从而 的范围是 ，故 的取值范围是 .
19．(1) .
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由 ，得 ，再利用换元法求
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；
（2）分区间讨论各因式的符号或利用导数证明；
（3）取曲线 上的一点 ，设 在 处的切线即是 在 处的
切线，证明直线 的斜率等于 在 处的切线斜率和 在 处的切线斜率即
可.
【详解】（1）因为 的图象与 的图象关于直线 对称，所以
.
又因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，
因此 .
（2）证明：
解法 1：当 时， 且 ，此时 ；
当 时， 且 ，此时 ，
故综上 .
解法 2： ，令 ， 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
因此当 时， ； 当 ；
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 .
（3）证明：不妨取曲线 上的一点 ，设 在 处的切线即是
在 处的切线，
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则 ，得 ，则 的坐标 ，
由于 ，所以 ，
则有 ，
综上可知，直线 的斜率等于 在 处的切线斜率和 在 处的切线斜率，
所以直线 AB 既是曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线.
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