河北省邯郸市大名县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省邯郸市大名县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，满分150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 函数 在处的瞬时变化率为（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
2. 已知数列的通项公式为，则146是该数列的（ ）
A. 第10项B. 第11项C. 第12项D. 第13项
3. 如图，函数的图像在点处的切线方程为，则
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. （ ）
A. 10B. 15C. 20D. 40
5. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A. 360B. 480C. 960D. 1280
7. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 有理数都能表示成（其中且与互质）的形式.任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化成的形式，从而是有理数，如.已知构成无穷数列，令为数列的前项和，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. （多选）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B. 有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同选法
C. 某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种
D. 从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积
10. 在数列中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
11. 初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的有理运算及有限次的复合产生的，且能用一个解析式表示的函数，如函数，我们可作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数，已知初等函数，，则（ ）
A. 极小值点为
B. 极小值为1
C
D. 直线是曲线与的一条公切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 三角形的三条边长均为整数，且最大边长为12，则这样的不同三角形共有_______个．
13. 已知函数在处取得极大值，则_________．
14. 记表示正整数的所有正因数中最大的奇数，如6的正因数有1，2，3，6，则，10的正因数有1，2，5，10，则，记，______； ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出过程或演算步骤．
15. 甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务.
（1）6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？
（2）6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？
（3）6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？
16. 已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为；
（3）若的前项和为，求证：.
17 已知函数
(1)试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
(2)当时，判断和的大小，并说明理由；
(3)求证：当时，关于的方程在区间上，总有两个不同的解.
18 数列中，，，且，
（1）证明数列等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）数列的前n项和为，且满足，，求．
19. 已知函数.
（1）求函数图象上点到直线的最短距离；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）若函数与的图象存在公切线，求正实数的最小值.
2024－2025学年度第二学期3月月考
高二年级数学试题
（考试时间：120分钟，满分150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 函数 在处的瞬时变化率为（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】直接求导代入即可.
【详解】设，则，则，
则函数在处的瞬时变化率为1.
故选：C.
2. 已知数列的通项公式为，则146是该数列的（ ）
A. 第10项B. 第11项C. 第12项D. 第13项
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的通项公式，列式求出值即可.
【详解】依题意，，而，解得，
所以146是该数列的第12项.
故选：C
3. 如图，函数的图像在点处的切线方程为，则
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出，，可通过代入直线求解.
【详解】为曲线在处的切线斜率为1，
.
所以.
故选：D.
4. （ ）
A 10B. 15C. 20D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】由组合数公式计算求解即可.
【详解】，
故选：C
5. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性和导数的关系，即可求解.
【详解】，，
令，得，
所以函数的单调递减区间是.
故选：B
6. 已知数列的前项和为，且，，则的值为（ ）
A. 360B. 480C. 960D. 1280
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的递推公式可得，再求出数列的前40项中的奇数项的和及偶数项的和即可.
【详解】当n为奇数，，，
当n为偶数，，，
因此，的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列；
的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列，
所以
.
故选：D
7. 某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】利用古典概型概率公式结合组合数计算可得.
【详解】10级台阶要用7步走完，则4步是上一级，三步是上两级，
共种走法，
若第二步走两级台阶，则其余6步中有两步是上两级，
共，
所以第二步走两级台阶的概率为.
故选：C
8. 有理数都能表示成（其中且与互质）的形式.任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化成的形式，从而是有理数，如.已知构成无穷数列，令为数列的前项和，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列求和得到，然后由裂项相消法求和得到求解其取值范围即可.
【详解】
，
，
，
，
随n的增大而增大，当时，取最小值，
所以.
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. （多选）给出下列问题，属于组合问题的有（ ）
A. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法
B. 有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法
C. 某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种
D. 从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据选项中不涉及元素顺序的为组合问题，即可确定结果.
【详解】对于A，从3名同学中选出2名同学后，分配到两个乡镇涉及顺序问题，是排列问题；
对于B，从7人中选出4人观看不涉及顺序问题，是组合问题；
对于C，射击命中不涉及顺序问题，是组合问题；
对于D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题.
故选：BCD
10. 在数列中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知，结合条件，，可依次求出数列的前几项，从而判断A、B；由题意可得，根据等差数列的定义可判定数列为等差数列，从而判断C、D.
【详解】若，，又，则，A正确；
若，，由A选项可知，又，可得，
，可得，B错误；
若，，则，，，可得，
所以数列为等差数列，且，所以，C正确；
且，D正确.
故选：ACD
11. 初等函数是由常数和基本初等函数经过有限次的有理运算及有限次的复合产生的，且能用一个解析式表示的函数，如函数，我们可作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数，已知初等函数，，则（ ）
A. 极小值点为
B. 极小值为1
C.
D. 直线是曲线与的一条公切线
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据复合函数的求导法则以及导数的几何意义判断．
【详解】，设，即，则，
，同理，
时，，单调递减，时，，单调递增，
所以是的极小值点，A正确；
时，，单调递增，时，，单调递增，
所以有极大值为，无极小值，B错误；
，时，，，，；时，，即；时，，， ，所以时，，所以，C正确；
由C知，又，所以直线即直线是曲线的切线也是曲线的切线，即为它们的一条公切线，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 三角形的三条边长均为整数，且最大边长为12，则这样的不同三角形共有_______个．
【答案】30
【解析】
【分析】由分类加法计数原理可得答案.
【详解】设另外两条边分别为x，y，，
则第一类：，；
第二类：，，11；
第三类：，，10，11；
第四类：，，9，10，11；
第五类：，，8，9，10，11；
第六类：，，8，9，10，11；
第七类：，，9，10，11；
第八类：，，10，11；
第九类：，，10，11；
第十类：，，11；
第十一类：，，
所以共个．
故答案为：30.
13. 已知函数在处取得极大值，则_________．
【答案】0
【解析】
【分析】求出函数的导数，再由求出并验证即可.
【详解】函数，求导得，
依题意，，解得或，
当时，，当或时，，当时，，
函数在处取得极大值，符合题意，则；
当时，，当或时，，当时，，
函数在处取得极小值，不符合题意，
所以.
故答案为：0
14. 记表示正整数的所有正因数中最大的奇数，如6的正因数有1，2，3，6，则，10的正因数有1，2，5，10，则，记，______； ______．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】当n为奇数时，R（n）＝n，当n为偶数时，，再利用等差等比数列的前n项和公式及累加法求解．
【详解】当n为奇数时，R（n）＝n，当n为偶数时，，
，
，
∴．
．n=1成立
故答案为：（1）5（2）.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出过程或演算步骤．
15. 甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务.
（1）6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？
（2）6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？
（3）6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？
【答案】（1）120 （2）144
（3）540
【解析】
【分析】（1）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法；
（2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得；
（3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三项不同的社区可求总的方法数.
【小问1详解】
先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，
所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同排法有种；
【小问2详解】
从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列，
则有种排列方案；
【小问3详解】
由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③；
①名学生按分为三个组有种方法，
则人分配到三所学校共有种分配方法；
②名学生按分为三个组有种分法，
则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法；
③名学生平均分配到三项不同的社区有种方法；
则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法.
16. 已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为；
（3）若的前项和为，求证：.
【答案】（1），
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式直接求解即可；
（2）利用错位相减法求解数列的前项和；
（3）结合等差数列前项和公式，即可得证.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
因为，可得，
又因为，解得，
所以，
设等比数列的公比为，
因为，可得，
解得，所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
则，
两式作差得：，
则，整理.
【小问3详解】
因为的前项和，
则，，
又，
所以.
17. 已知函数
(1)试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
(2)当时，判断和的大小，并说明理由；
(3)求证：当时，关于的方程在区间上，总有两个不同的解.
【答案】(1)﹣2＜t≤0(2)见解析(3)见解析
【解析】
【分析】(1)首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围；
(2)讨论﹣2＜t≤0，0＜t＜1，t＞1确定函数单调性即可比较；
(3)首先对关系式进行化简，然后引入新函数，利用零点存在定理进行证明．
【详解】(1)因为＝(2x﹣3)ex+(x2﹣3x+3)ex=
由＞0⇒x＞1或x＜0，
由＜0⇒0＜x＜1，
∴函数f(x)在(﹣∞，0)，(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，
要使函数f(x)在[﹣2，t]上为单调函数，则﹣2＜t≤0
(2)①若﹣2＜t≤0，则f(x)在[﹣2，t]上单调递增，∴f(t)＞f(﹣2)；
②若0＜t＜1，则f(x)在[﹣2，0]上单调递增，在[0，t]上单调递减
又f(﹣2)＝13，f(1)＝e，∴f(t)≥f(1)＞f(﹣2)；
③若t＞1，则f(x)在(﹣∞，0)，(1，+∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减
∴f(t)＞f(1)＞f(﹣2)，
综上，f(t)＞f(﹣2)．
(3)证：∵，∴，即为x2﹣x，
令g(x)＝x2﹣x，从而问题转化为证明方程g(x)0在[﹣2，t](1＜t＜4)上总有两个不同的解
因为g(﹣2)＝6(t﹣1)2，g(t)＝t(t﹣1)，
所以当1＜t＜4时，g(﹣2)＞0且g(t)＞0，
但由于g(0)0，所以g(x)＝0在(﹣2，t)上有解，且有两解.
18. 数列中，，，且，
（1）证明数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）数列的前n项和为，且满足，，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）依题意可得，即可得到为等差数列；
（2）由（1）利用累加法计算可得数列的通项公式；
（3）由（2）可得，由，得到与同号，再对分类讨论，利用并项求和法计算可得.
【小问1详解】
因为，所以，
所以数列是公差为8的等差数列，其首项为，
【小问2详解】
由（1）问知，
则，，…，
，，
所以，
所以；而符合该式，
故．
【小问3详解】
由（1）问知，，则，
又，则，两式相乘得，即，
因此与同号，
因为，所以当时，，此时，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，
；
当时，，此时，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，；
综上，当时，；当时，.
19. 已知函数.
（1）求函数图象上点到直线的最短距离；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）若函数与图象存在公切线，求正实数的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】由与平行且与相切的直线的切点到直线的距离最短，结合导数几何意义求切点坐标，应用点线距离公式求结果；
问题化为恒成立，利用导数研究右侧最值求参数范围.
利用导数几何意义求与的切线方程，结合公切线列方程得，应用导数研究右侧最值，即可得结果；
【小问1详解】
设与平行且与相切的直线，与的切点为，
由题设，，则到直线距离最短，
所以
【小问2详解】
由，从而恒成立，
令，则.
所以令，
所以则在为减函数，且.
当时，在上为增函数；
当时，在上为减函数.
所以；即.
所以.
【小问3详解】
设点是公切线在上的切点，则切线斜率为
故切线方程为，
设点是公切线在上的切点，则切线斜率为，
故切线方程为，
所以，消去有
令，
当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数.
所以最大值为
所以正实数的最小值为
【点睛】思路点睛：本题主要考查利用导数求解不等式的恒成立问题，属于难题.
一般地，已知函数，
（1）若，总有成立，则；
（2）若，总有成立，故