人教版（2024）七年级上册数学期末必考题型∣典例+考点+必会+拓展 讲义

这是一份人教版（2024）七年级上册数学期末必考题型∣典例+考点+必会+拓展 讲义，共27页。学案主要包含了题型典例，考点巩固，必会拓展，综合创新，综合拓展等内容，欢迎下载使用。
必考知识点01：数轴与运算
【题型典例】
一点P从数轴上表示数-2的点A向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，然后又向左移动5个单位长度，再向右移动6个单位长度……照此规律一直动下去.
①写出点P向右移动100个单位长度后在数轴上表示的数；
②写出点P向左移动2019个单位长度后在数轴上表示的数.
解：①根据题意，-2-1+2-3+4-5+6-…-99+100
＝-2+1×50＝48，
∴点P向右移动100个单位长度后在数轴上表示的数为48.
②-2-1+2-3+4-5+6-…-2015+2016-2017+2018-2019
＝-2+1×1009-2019
＝-1012.
∴点P向左移动2019个单位长度后在数轴上表示的数为-1012.
【考点巩固】
①在数轴上，∣x∣表示数x对应的点到原点的距离；∣x-a∣表示数x对应的点A与数a对应点B之间的距离，即线段AB的长度.
②数轴上的点与全体实数是一一对应的，且右边的点对应的数总比左边的点对应的数大.
③一个数的绝对值越大，则它在数轴上表示的点到原点的距离就越大.
④数轴上点的移动问题：可以转化为有理数的加减运算，当初始点未知时，只需要设元解简单方程即可.
⑤整点覆盖问题：线段长为N个单位长度，当线段端点在数轴的整数位置覆盖点最多为[N+1]，当线段端点不在数轴整点时最少覆盖[N]个整点.
【必会拓展】
1.用数轴表示数
①数轴上的点所表示的数和实数一一对应，正半轴上的点表示的数都是正数，负半轴上的点表示的数都是负数，原点表示0；
②在数轴的正半轴和负半轴上都有无数个点，每一个点都只表示一个数；
③任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
④任何一个有理数都能用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定表示有理数.
2.借助数轴比较大小
①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
②正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.
【综合创新】
1.数形结合
①利用数轴比较有理数大小，左小右大；
②利用数轴求绝对值、相反数；
③表示实际问题中的距离(线段长度).
2.分类讨论
①到已知点的距离相等的点有两个，注意讨论；
②求一条线段覆盖整数点时也要注意分类讨论.
3.转化思想
在解决实际问题时(行程问题)，注意利用数轴思想，把数据用数轴表示，便于解决问题.
必考知识点02：数轴与找规律
【题型典例】
根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：
-6
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
C
B
A
①如图所示，已知点A、B、C表示的数分别为1、−52
、-3，观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是 ，B、C两点之间的距离为 ；
②若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是 ；若此数轴上M、N两点之间的距离为2015(M在N的左侧)，且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则M、N两点表示的数分别是M ，N ；
③若数轴上P、Q两点间的距离为m(P在Q左侧)，表示数n的点到P、Q两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P点与Q点重合时，P、Q两点表示的数分别为：P ，Q (用含m、n的式子表示这两个数).
【解析】①与点A的距离为3的点表示的数是1+3＝4或1-3＝-2；B、C两点之间的距离为−52−−3=12；
②与B点重合的点表示的数是−1+−1−−52=12，
M＝−1−20152=−1008.5，N＝−1+20152=1006.5；
③P＝n−m2，Q＝n+m2
故答案为：①4或-2，12；②12，-1008.5，1006.5；
③n−m2，n+m2
【考点巩固】
数轴折叠过程中要弄清楚，两对应点与折痕处点的基本规律，即折痕对应点为中点，若两对应点分别记为m、n(m＞n)，中点记为x，则m-x＝x-n，所以x=m+n2
【必会拓展】
图形(圆、正方形、等边三角形)在旋转的过程中，根据图形周长有几个单位长度，每旋转一周即循环一次，即可找出对应的规律.
【综合创新】
①体会数形结合思想：本节"数"就是有理数，"形"就是数轴，由于任意一个有理数都可以用数轴上的一点来表示，运用数形结合思想可解决与数轴有关的各种问题.
②分类讨论：在数轴上，解决与点有关的问题时，通常需要分类讨论.
必考知识点03：绝对值的化简
【题型典例】
①若a＜-b且ab>0，化简∣a∣-∣b∣+∣a+b∣+∣ab∣；
②设a、b、c为非零实数，且∣a∣+a＝0，∣ab∣＝ab，∣c∣-c＝0.化简∣b∣-∣a+b∣-∣c-b∣+∣a-c∣；
③若x＜0，化简||x|−2x||x−3|−|x|
解：①若a＜-b且ab>0，a＜0，b＜0，a+b＜0，ab＞0，
∴∣a∣-∣b∣+∣a+b∣+∣ab∣
＝-a+b-a-b+ab
＝ab-2a；
②若∣a∣+a＝0，则∣a∣＝-a，a＜0；若∣ab∣＝ab，则ab＞0；若∣c∣-c＝0，则∣c∣＝c，c＞0，
∴可以得到
a＜0，b＜0，c＞0，a+b＜0，c-b＞0，a-c＜0，
∴∣b∣-∣a+b∣-∣c-b∣+∣a-c∣
＝-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)
＝b；
③若x＜0，则x-3＜0.
||x|−2x||x−3|−|x|＝|−x−2x|3−x−(−x)＝−3x3＝-x
【考点巩固】
1.绝对值的代数意义
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
①取绝对值也是一种运算，运算符号是“∣∣”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号；
②绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0；
③任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：-5的符号是负号，绝对值是5.
2.求数a的绝对值
① |a|＝
a（a＞0）
0（a＝0）
-a（a＜0）
② |a|＝
a（a≥0）
-a（a＜0）
③ |a|＝
a（a＞0）
-a（a≤0）
3.利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
4.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.
【必会拓展】
绝对值的其他重要性质
1.任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即∣a∣≥a，且∣a∣≥-a.
2.若∣a∣＝∣b∣，则a＝b或a＝-b.
3.∣ab∣＝∣a∣·∣b∣；∣ab∣＝|a||b|(b≠0)
4.∣a∣²＝∣a²∣＝a².
5.∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣，
①对于∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣，当且仅当a、b同号或a、b中至少有一个为0时，等号成立；
②对于∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣，当且仅当a、b异号或a、b中至少有一个为0时，等号成立.
6.若a＞0，则a|a|＝1；若a＜0，则|a|a＝-1
【综合创新】
在去绝对值时，若不知绝对值内式子正负，需要分类讨论，我们往往会采用零点分段法进行去绝对值.
1.当x＝a时，∣x-a∣＝0，此时a是∣x-a∣的零点值.
2.零点分段讨论的一般步骤：
①找零点；②分区间；③定符号；④去绝对值符号.即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值.
必考知识点04：绝对值的几何意义
【题型典例】
阅读理解：我们知道∣x∣的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，即∣x∣＝∣x-0∣，也就是说∣x∣表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：∣x-y∣表示在数轴上数x、y对应点之间的距离.
如：∣x-1∣表示在数轴上数x、1对应点之间的距离；∣x+1∣+∣x-2∣表示在数轴上数x与-1和x与2对应点的距离之和.
问题探究：利用绝对值的几何意义解决下列问题：
∣x-3∣的最小值为 ；
∣x-2017∣+∣x-2018∣的最小值为 ；
∣x-1∣+∣x-3∣+∣x+5∣的最小值为 ；
∣x+7∣+∣x+3∣+∣x-2∣+∣6-x∣的最小值为 。
归纳总结：
若a1＜a2＜...＜a2n+1，当满足 时，∣x-a1∣+∣x-a2∣+...+∣x-a2n+1∣取得最小值；
若a1＜a2＜...＜a2n，当满足 时，∣x-a1∣+∣x-a2∣+...+∣x-a2n∣取得最小值.
【答案】问题探究：0；1；8；18.
归纳总结：x＝an+1；an≤x≤an+1.
【考点巩固】
1.∣a∣的几何意义：在数轴上，表示这个数的点与原点的距离.
2.∣a-b∣的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离.
【必会拓展】
零点分段讨论的一般步骤：
①找零点；②分区间；③定符号；④去绝对值符号.即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值.
【综合创新】
对于含参数绝对值代数式求最值时，需要考虑讨论零点的大小关系，注意问题的严谨性和一般性；一般地，对于可化简为一次代数式的绝对值最值问题往往都是在零点取得最值，这一点特别注意，有时在做题中有意想不到的奇效.
必考知识点05：有理数的综合运算
【题型典例】
计算：−2273−34−112+34−2−+2273
解：原式＝−2273−34−34−32+2−2273
＝−2273−−32+2−2273
＝−2273+2273−2+32
＝−12
【考点巩固】
有理数混合运算的顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
注意：①有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；②在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行；③在运算过程中注意运算律的运用.
【考点巩固】
1.有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上，深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技巧是数与代数学习的基础.
2.有理数的运算不同于算术的运算，这是因为有理数的运算每一步要确定符号，有理数的运算很多时候是字母运算，也就是常说的符号运算.
【综合创新】
有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题，因此在运算时应当把握“遇减化加，遇除变乘，乘法化乘”这一原则，避免混乱.
必考知识点06：有理数的速算巧算
【题型典例】
计算：12+13+⋯+12019×1+12+13+⋯+12018−1+12+13+⋯+12019×12+13+⋯+12018
解：令1+12+13+⋯+12018=a
则原式＝a−1+12019a−a+12019a−1
＝a2−a+12019a−a2−12019a+a+12019
＝12019
【考点巩固】
1.在进行有理数的混合运算时，要注意以下几点：
①注意符号：自从有了负数，符号就与运算有了不解之缘，在运算时，首先要注意符号的确定；②注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的；③注意运算步骤：对于每一个运算，都应先确定结果的符号，再计算结果的绝对值.即“符号先判断，绝对值后计算”；④注意运算律的灵活应用：包括加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律.若能灵活、巧妙地运用它们，将使计算过程变得简单快捷.
2.在具体运用时，主要有以下几种技巧：
①互为相反数结合；②凑整结合；③正、负数分别结合(同号结合)；④分数、小数、整数分别结合(同类结合)；⑤带分数拆开后，整数、分数分别结合；⑥同分母或分母易通分的先结合；⑦易约分的先结合等.
注意在有理数的混合运算中，往往是两种或两种以上的技巧结合起来运用。
【必会拓展】
运算能力是运算技巧与推理能力的结合，这就要求我们既能正确地算出结果，又能善于观察式子的结构特点，选择合理的运算方法，提高运算的速度.有理数运算的常用的技巧与方法有：利用运算律；以符代数；恰当分组；整体换元；裂项相消；分解相约；倒序相加及错位相减等.
【综合创新】
常见裂项公式：
（1）1n(n+1)=1n−1n+1
（2）1(n+k)=1k1n−1−1n+k
（3）1nn+1n+2=121nn+1−1n+1n+2
（4）1n−1n+1=121n−1−1n+1
必考知识点07：整式的化简求值
【题型典例】
先化简，再求值：
3(2a²b-ab²)-(5a²b-4ab²)，其中a＝2，b＝-1.
解：原式＝6a²b-3ab²-5a²b+4ab²＝a²b+ab²，
将a＝2，b＝-1代入得：原式＝-2.
【考点巩固】
整式化简求值
1.步骤：一化，二代，三计算.
注意：首先需要判断是否需要化简.若需要，一般先去括号，再合并同类项；若有些待求值的整式结构完好无简可化，则切勿把所有变形都当作化简.
2.常用的方法：(1)直接代入法；(2)整体代入法；(3)降次法；(4)赋值法等.3.整式比较大小的方法：作差法.即a-b＞0，则a＞b；a-b＜0，则a＜b；a-b＝0，则a＝b.
【必会拓展】
整式求值时，需正确地进行数值代入，整式归根结底还是一个数，具体是哪个数由字母的取值决定，正确地代入须遵循：①挖去字母换上数，数字、符号都保留；②换上分数或负数，需带上小括号；③原括号内出括弧，逐级向下变括弧(小、中、大).
【综合创新】
代数式求值：①求代数式的值是由一般到特殊的思维过程，其基本方法是代入求值，但对于较复杂的代数式往往是先化简，然后再求值；②求代数式的值，一般有两种形式：一是已知代数式中字母的值，求代数式的值；二是已知条件等式，据此求代数式的值；③求代数值的过程中，往往要对代数式进行恒等变换.这是转化的数学思想和整体思想的体现，要深刻领会，加以运用.
必考知识点08：整式中用整体思想求值
【题型典例】
已知：2a²-3a-5＝0，求4a⁴-12a³+9a²-10.
解：4a⁴-12a³+9a²-10＝4a⁴-6a³-6a³+9a²-10
＝2a²(2a²-3a)-3a(2a²-3a)-10
＝(2a²-3a)²-10
＝5²-10
＝15.
【考点巩固】
整体思想是初中阶段的重要数学思想，在学习完代数式之后，我们就可以将两者结合起来，学会利用整体思想来帮助我们进行代数式的求值.
【必会拓展】
利用整体思想求代数式值时，往往与其他代数技巧相结合，并且需要对题目中的代数式进行一定的变形处理，以达到凑整的目的，从而结合整体思想，来帮助我们解题.
【综合创新】
利用整体思想解决整式问题，是初中阶段重要的解题手段，并且往往与其他知识点或技巧相结合.首要目标是“凑整”，确定哪一个整式作为整体看待，然后再沿着题目所给条件进一步解题.
必考知识点09：简单找规律
【题型典例】
按一定规律排列的一列数：1，1，2，3，4，6，9，13，19……按此规律排列下去，19后面的数应为 。
【答案】28.
【解析】规律如下：3＝1+2，4＝1+3，6＝2+4，9＝3+6，13＝4+9，19＝6+13，第n个数等于第n-1个数与第n-3个数之和，则19后面的数等于19+9＝28.
【考点巩固】
1.找规律这类问题往往是初一阶段学校考试的热点，
一般有数字找规律、代数式找规律、图形找规律以及周期找规律.
2.常见的数列规律
①1，3，5，7，9，…，2n-1(n为正整数)；
②2，4，6，8，10，…，2n(n为正整数)；
③2，4，8，16，32，…，2n(n为正整数)；
④2，5，10，17，26，…，n²+1(n为正整数)；
⑤0，3，8，15，24，…，n²-1(n为正整数)；
⑥2，6，12，20，…，n(n+1)(n为正整数)；
⑦-x，+x，-x，+x，-x，+x，…，(-1)nx(n为正整数)；
⑧+x，-x，+x，-x，+x，-x，…，(-1)n+1x(n为正整数).
【必会拓展】
特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13……从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和；②三角形数：1，3，6，10，15，21，…，n×n+12.
【综合创新】
找规律解题思维过程，从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：①一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n之间的关系；②一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n之间的关系；③图形(图表)规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n之间的关系；④图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数；⑤数形结合的规律：观察前n项(一般为前3项)及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
必考知识点10：定义新运算和程序运算
【题型典例】
现规定一种运算a△b＝3a+b，已知5△x比x△5大4，求x的值.
解：由新运算得5△x＝15+x，x△5＝3x+5，15+x-(3x+5)＝4，解得x＝3.
【考点巩固】
1.定义新运算
①基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.
②注意事项：新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序；每个新定义的运算符号只能在本题中使用.
2.程序计算
①解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题.
②注意事项：要理解数学意义，首先要把初始值代入，严格按照程序进行计算，再通过计算结果归纳分析.
3.数学能力：探究、归纳总结和知识迁移的能力.
【必会拓展】
1.观察新定义，对比代入，注意运算顺序以及符号.
2.程序运算：①注意循环型的，判断成立即可输出，不成立继续循环，可能会多次循环；②已知输出时注意分类讨论；③直接计算的注意符号以及运算顺序，已知输出求输入时，运算顺序相反.
【综合创新】
处理程序运算和定义新运算这类题型，首先应当仔细阅读题目所给信息，掌握定义的运算法则，然后代入进行计算，最后不要忘记检验条件.
必考知识点11：含参一元一次方程的解法
【题型典例】
关于x的方程mx+4＝3x-n，分别求m、n为何值时，原方程：①有唯一解；②有无数多解；③无解.
解：方程可以转化为(m-3)x＝-n-4，
①当m≠3，n为任意值时，方程有唯一解；
②当m＝3，n＝-4时，方程有无数解；
③当m＝3，n≠-4时，无解.
【考点巩固】
1.一元一次方程的基本解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、x项系数化为1.同时请注意以下几点：①去分母时，方程两边要同时乘以分母的最小公倍数，常数项不要漏乘；②去括号时，括号前的系数要与括号里的每一项都乘；③移项的时候要变号；④方程的解的形式要写成x在等号左边的形式.
2.解一元一次方程的技巧：小数化为整数、整体思想、裂项、凑项.
3.求含参方程的解的情况：对原方程整理后，可化为ax＝b(a和b为参数，x为未知数)的
形式.求此类方程的解时需要对a和b的取值分类讨论.
4.同解方程：两个方程的解相同的方程.
5.整数解方程：解为整数的方程.
【必会拓展】
1.求含参方程的解的情况
①先把方程整理成ax＝b的形式；
②分类讨论：
❶当a≠0时，x=ba，原方程有唯一解；
❷当a＝0且b＝0时，原方程有无数解；
❸当a＝0且b≠0时，原方程无解.
2.同解方程问题
①普通方程和含参方程的解相同：❶解出普通方程的解；❷将普通方程的解代入含参方程中；❸求出参数值.
②两个含参方程的解相同：❶将其中一个方程的解用参数表示出来；❷将❶中的解代入另一个方程中，消去未知数；❸求出参数值.
3.方程的整数解问题：①将方程整理成ax＝b的形式；②解方程，得x=ba；③求出满足条件的参数值，常用枚举法或分离常数法.
【综合创新】
有的题目给出两个含有相同字母的同解方程，可以先将一个方程的解用含有字母的式子表示出来，再代入另一个方程求出未知参数的值，根据参数的值去求方程的解.
必考知识点12：一元一次方程的应用(1)
【题型典例】
把一批作业本发给某班的学生，如果每人发2本，则剩12本；如果每人发3本，则缺24本，求这个班有多少学生?
解：设这个班有x名学生，
依据题意，得2x+12＝3x-24，解得x＝36.
答：这个班有36名学生.
【考点巩固】
1.解一元一次方程应用题的步骤
①审：分析题目中的已知量和未知量，明确数量关系；
②找：找出题目中的等量关系；
③设：设未知数.一般有直接设元和间接设元；
④列：根据找出的等量关系列方程；
⑤解：求解方程的解；
⑥验：检验解是否为方程的解且要满足实际意义；
⑦答：写出答案(注意单位).
2.常见的等量关系：
①和、差、倍、分问题
❶倍数关系：关键词语常以“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现.
❷多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
❸两数和＝较大的数+较小的数，较大的数＝较小的数×倍数±增(或减)数.
②相关公式
❶售价＝标签价×折扣；
❷利润＝售价-进价；
❸利润＝利润进价×100%；
❹路程＝速度×时间；
❺流水行船问题：V顺水＝V船+V水，V逆水＝V船-V水；
❻追击问题：s＝(v1-v2)t，相遇问题：s＝(v1+v2)t；
❼工程问题：工作量＝工作效率×时间；
❽浓度＝溶质溶液×100%＝溶质溶剂+溶质×100%；
【必会拓展】
1.在用一元一次方程解决利润类问题时，要先理解几个量之间的关系：
①利润＝售价-成本；
②利润率＝售价−成本成本×100%.
2.在解决打折类问题时，要先理解几个量之间的关系：
①售价＝原价×折扣；
②售价＝成本×(1+利润率)×折扣.
【综合创新】
1.我们也可以用方程的思想解决生活中的日历问题，这里需要注意，对于日历问题，每一行的数字从左到右逐渐加1，每一列的数字从上到下分别加7.
2.在用方程解决多个长方形拼接的面积类问题时，一般可以设小长方形的边长，再根据拼接以后的大图形找到等量关系.
必考知识点13：一元一次方程的应用(2)
【题型典例】
团体购买公园门票，票价如下：
今有甲乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票1314元，若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费1008元，问这两个旅游团各有多少人?
解：∵1008＞100×9，
∴两团总人数在100人以上，
根据100人以上每人9元的票价，可以计算出两团的总人数为：1008÷9＝112(人).
∵112×11＝1232＜1314，112×13＝1456＞1314，
∴只能是一个团的人数在1-50人之间，另一个团的人数在51-100人之间，并且两个团加起来的人数在100人以上.
设人数在51-100人之间的一个团的人数为x人，
根据题意，得13x+11×(112-x)＝1314，解得x＝41.
答：两个团的人数分别为41人和71人.
【考点巩固】
数字问题:①清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c(其中a，b，c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9)则这个三位数表示为100a+10b+c.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程；②数字问题中的一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n，2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n-1表示.
【必会拓展】
1.在解决图表类作为已知条件的题目时，要注意梳理出图表中的各个信息对应的关系，再找出等量关系来列等式.对于分段计价类应用题，要注意每一段的价格不要弄混.
2.设元法。①直接设元：问什么设什么；②间接设元：问什么不设什么，而是通过设其他量为未知数，间接求出所求的量；③设辅助元：有些时候设的未知数不够，需要再设一个未知数，才能列方程，而设的第二个元不需要求解，解题过程中可以消掉.
【综合创新】
在解决方案选择类题目时，为了确定选择哪种方案好，一般先分别求出每种方案的获利情况，然后进行比较从而选出.
必考知识点14：图形中的观察、归纳与猜想
【题型典例】
图1、图2、图3是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图形所贴剪纸"○"的个数为 。
（图一）
（图二）
（图三）
【解析】观察图形规律，转化为数字的规律，在基准图形的基础上增加的数量是多少，
图一:5；
图二:5+3×(2-1)＝5+3＝8；
图三:5+3×(3-1)＝5+6＝11；
图N:5+3(N-1)＝3N+2(个).
【考点巩固】
归纳与猜想类问题是极具特色的一类题型，它主要考查学生对数学规律的发现、认知、归纳、应用能力.该类试题可分为对“数”的规律探索和对“形”的规律探索.
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律.其中，以图形为载体的数字规律最为常见.猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论.
【必会拓展】
此类题目在前面基础题型的前提下进行了适当的难度拔高，找规律仍为核心要素，需要学生在整体里面找局部的规律，有可能一部分图形为等差规律，另一部分为乘积规律等，最后整体的规律为二者的和或者差的规律.
【综合创新】
综合图形规律题目为本知识点最终极挑战，图形的规律为第一考点，转换为数字规律后数字规律也是一些特殊的数列，如平方数列、立方数列等，需要学生拓宽眼界，对于会出现的所有数列进行一个系统的梳理，熟练掌握数列规律.
必考知识点15：三视图、立体图形的展开图与截面图
【题型典例】
一个立体图形是由若干个小正方体堆积而成的，其三视图如下图，则组成这个立体图形的小正方体有多少个?
(主视图) (左视图) (俯视图)
解：如图，根据主视图可得小正方体有3列3层，根据俯视图可得底面有5个小正方体，然后第2层有2个小正方体，第3层1个，故共8个小正方体.
1
1
1
2
3
(俯视图)
【考点巩固】
1.三视图考点
①给出几何体，判断三视图；
②给出三视图，判断几何体形状；
③给出三视图，判断几何体个数；
④给出某一视图和几何体个数，判断几何体；
⑤判断几何体各面的相邻关系；
⑥画图。
“主俯看列，俯左看行，主左看层，分清行列层，计数不求人”.
2.常见的几何体及其侧面展开图
【必会拓展】
1.正方体的11种展开图
①“1-4-1”型(六种).
②“2-3-1”型(三种).
③“3-3”型(一种).
④“2-2-2”型(一种).
2.截一个几何体
①截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面.
②截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形.
【综合拓展】
1.当一个平面去截一个几何体时，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形.
2.圆柱体的侧面展开图是矩形或者正方形，直棱柱的侧面展开图也是矩形或者正方形，圆锥的侧面展开图是扇形，不可能是圆.
3.正方体的十一种展开图中，“3-3型”和“2-2-2型”各只有一种.
必考知识点16：线段计算
【题型典例】
已知点C在线段AB上，且AC＝6，BC＝4，M、N分别是AC、BC的中点.求线段MN的长度.
解：∵AC＝6，BC＝4，点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MN＝12AC+CB＝12×10＝5
【考点巩固】
线段计算，如果没有给图，就需要分类讨论.
【必会拓展】
数线段要掌握一定的方法和规律，必须做到不重不漏
1.一般方法是从左起第1个点数起，使第1个点和其右边的每一个点各组合一次，得到(n-1)条线段，然后再从左起第2个点数起，使它和它右边的每个点组合一次，又得到(n-2)条线段……依次数下去，最后再相加.
2.若一条直线上有n个点，则线段的条数为(n-1)+(n-2)+……2+1＝nn−12
【综合创新】
数轴上的行程问题与一元一次方程应用题相同，可以先根据已知条件表示出动点的位置，然后通过条件找到等量关系，最后利用等量关系建立方程解题.
必考知识点17：角度计算
【题型典例】
如下图，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝70°，∠BOC＝40°.求：(1)∠AOC的度数；(2)∠MON的度数.
解：∵∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝110°.
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠NOC＝12∠BOC＝20°，∠MOC＝12∠AOC＝55°，
∴∠MON＝∠MOC-∠NOC＝55°-20°＝35°.
A
O
M
B
N
C
【考点巩固】
1.角的度量
①度量角的工具常用量角器:用量角器注意：对中(顶点对中心)、重合(角的一边与量角器上的零刻度重合)、读数(读出角的另一边所在线的度数).
②角的度量单位及其换算:角的度量单位是度、分、秒.把平角分成180等分，每一份就是一度的角，记作1°把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1'.把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1".
③角度之间的关系:
1周角＝360°；1平角＝180°；1直角＝90°；
1周角＝2平角；1平角＝2直角.
④角的分类:锐角α(0＜a＜90°)，直角α(α＝90°)，钝角α(90°＜a＜180°).
2.角的平分线
①从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.
②用尺规作已知角的平分线方法：
❶以O点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A、B两点；❷分别以A、B两点为圆心，以大于12AB长为半径画弧，画弧交于C点；❸过C点作射线OC.射线OC就是所求作的.
3.余角、补角
①如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，简称“互补”.
②如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.
③补角、余角的性质：❶同角或等角的补角相等；❷同角或等角的余角相等.
【必会拓展】
1.角的几何计数问题：和数线段的方法类似.
2.对于没有给图的角度计算问题，往往需要分类讨论，分别画图.
【综合创新】
角度计算中的动点问题，注意运动方向，分类讨论.
系即可.购票人数
1-50人
51-100人
100人以上
每人票价
13元
11元
9元
名称
侧面展开图
圆柱
矩形(特殊时为正方形)
直棱柱
矩形(特殊时为正方形)
圆锥
扇形