云南三校（昭通一中等）2025-2026学年高三上学期高考备考实用性联考卷（三）数学试题（月考）

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一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B C A C C
【解析】
1．由题可知： 所以 所以 ，故选 C．
2．由 ，得 ，所以 在复平面内对应的点为
，故选 B．
3． 设 等 比 数 列 的 公 比 为 ， 则 解 得 因 此 ，
，故选 A．
4． ，故选 B．
5． ，
，故选 C．
6． 向量 在 方
向上的投影向量为 ，故选 A．
7． 如 图 1， 根 据 双 曲 线 的 定 义 得 ，
，由于 ，即 ，
所 以 . 由 题 可 得
，则 ，在三角形 中，由余弦定理得：
图 1 ，由于 a，c 为正数，
数学评分细则·第 1页（共 9页）
所以 ，故选 C．
8．易知函数 和函数 都是增函数，由于 可知，
两 个 函 数 和 的 零 点 相 同 ， 则 ， 于 是 令 函 数
易知当 时， ；当 时， .
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，最大值为 ，即
的最大值为 ，故选 C．
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11
答案 BC ABD BCD
【解析】
9． 的图象上每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变）得到 图
象，再将所有的点向左平移 个单位长度得 的
图 象 . 对 于 A， 的 最 小 正 周 期 ， A 错 误 ； 对 于 B，
，B 正确；对于 C，令 ， ，得 ， ，
则 图象的对称轴方程为 ， ，C 正确；对于 D，令 可得
， ，令 ，解得 ，即 ，故 在
上有 3 个极值点，D 错误，故选 BC．
10．如图 2，设 ， ，对于 A：由抛物线定义知，
线段 中点的横坐标 ，即线段
的中点到 轴的距离是 ，所以以线段 为直径的圆与
图 2 轴相切，故 A 正确；对于 B：由题意知， 显然直线 的斜率不为 0，设直线
的 方 程 为 ， 所 以 ， ， 由
数学评分细则·第 2页（共 9页）
得 ，所以 ， 因为 ，
，所以 ，所以 ，故 B 正确；对于 C：
所以 ，故 C 错误；对于
D：当 ，可得 .又 ，所以
，故 D 正确，故选 ABD．
11．对于 A，取线段 的中点 ，连接 ，则 ， . 在梯形 中，
与 不平行，若平面 平面 ，由于平面 平面 ，则
，这与 与 不平行相矛盾，故 A 错误；对于 B，由题意可将该四棱锥补形
为一个长方体，易知球心 为长方体的体对角线的中点，即为 的中点 ，故球 的直
径 所以 ，故 B 正确；对于 C，点 为 的中点，
则 ， 两点到平面 的距离相等，同理点 为 的中点，则 ， 两点到平面
的距离相等. 又 ，则 平面 ，故 ， 两点到平面 的距离相
等，故 C 正确；对于 D，设球心 到平面 的距离为 ，截面圆的半径为 ，由题意
可知，球心 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，在三棱锥 中，由
等体积法可得 ，即 ，解得 ，所
以 ，所以截面圆的面积为 ，故 D 正确，故选 BCD．
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号 12 13 14
答案 ；
【解析】
数学评分细则·第 3页（共 9页）
12．由题意知 则 ，即 故 即
.
13．易知函数 和函数 互为反函数，其图象关于直线 对称，从而切点在直
线上. 设切点坐标为 ，切点也在两条曲线上，并且两个函数在切点处的导函数值
都是 1，列出方程 由①得 ，则 ，于是 ，代入②得
，解得 ，从而 .
14． 由 题 意 知 ： ， ， ， ； 又
故 . 又 ，故数
列 是 以 4 为 首 项 ， 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 即 ， 即
， 即 ( 为 奇 数 )； 又 ， 即
( 为偶数)，故
四、解答题（共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分 13 分）
解 ： （ 1） 由 已 知 为 边 的 中 点 ， 所 以
，
即 . ………………………………………………………（2 分）
又 ，………………………………………………（3 分）
两式相除得 ，
所以 ，则 . ……………………………………………………（5 分）
又 则 ，
数学评分细则·第 4页（共 9页）
故 ， 为等边三角形， . ………………………（7 分）
（2）由（1）得
在 中， ， ………………………………………（10 分）
即 ，
∴ …………………………………………………………………………（13 分）
16．（本小题满分 15 分）
解：（1）由题意： ，所以 . ………………………………（2 分）
又因为 ， ，所以 ， ， ………………………………（4 分）
即椭圆的方程为 ． ………………………………………………………（5 分）
（2）当直线 的斜率为 0 时， ， ， 三点共线，不符合题意；
当直线 的斜率不为 0 时，设直线方程为 ， ， ，
……………………………………………………………………………（6 分）
联立方程组 得 ，
∴ …………………………………………（8 分）
， ………………（11 分）
∴ ， ……………………………（13 分）
∴ ……………………………………………………（14 分）
∴直线 的方程为 或 ，
即直线 的方程为 或 . …………………………………（15 分）
17．（本小题满分 15 分）
（1）证明：设 ，则 ，
在 中， ，由余弦定理可得 ，
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∴ ，
. ………………………………………………（2 分）
平面 ，且 平面 ，
∴ . ……………………………………………………（4 分）
又 ，且 ， 平面 ，
∴ 平 . ……………………………………………（5 分）
又 平面 ，
∴ . ……………………………………………………（6 分）
（2）解： 平面 ，且由（1）得 ，
∴ 两两互相垂直. ……………………………………（7 分）
如图 3，以点 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间
直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ，
………………（9 分）
图 3
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，则 . …………………（11 分）
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，则 ， ………………………（13 分）
∴ ， …………………………………（14 分）
即 ，
数学评分细则·第 6页（共 9页）
∴平面 与平面 夹角的正弦值为 . …………………………………（15 分）
18．（本小题满分 17 分）
（1）解：
…………………………………………（1 分）
，又 ，即切点为
……………………………………………………………………………………（2 分）
故切线方程为
…………………………………………………………………………………………（4 分）
（2）解： . ………………………………（5 分）
①当 即 时， ，
即 在 上单调递减； ………………………………………………………（6 分）
② 当 即 有 两 实 数 根
和 . ………………………………………（7 分）
故Ⅰ. 当 ，则
即 ；
Ⅱ. 当 ，
则
即 ………………（10 分）
（3）证明：由（2）知： 在 上单调递减.
又 ，故 …………………………（12 分）
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即： ； ………………………………………………（15 分）
故 ，
故 …………………………………（17 分）
19．（本小题满分 17 分）
解：（1）设“ 小时后机器正常”为事件 ，设“加急检修，1 小时修复”为事
件 ，设“常规检修，1 小时修复”为事件 .
由题意， ，
从而 2 小时后机器正常的概率为
……………………………（4 分）
（2）
的情况为第 1 个小时没有修复，第 2 个小时没有修复，第 3 个小时继续修，修了
3 个小时花费 27 元，
从而
的情况为第 1 个小时检修好，花费 9 元，第 2 个小时正常工作，收益 10 元，第 3
个小时也正常工作，收益 10 元，共收益 11 元，
从而
的情况为有 1 个小时收益 10 元，另外 2 个小时检修花费 18 元，
………………（7 分）
于是 X 的分布列为
X 11
P 0.01 0.27 0.72
数学期望为 元. ………………（10 分）
（3）初始状态正常，即 ；1 个小时后正常的概率为 ；2 个小时后正常的概率
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为 ；
同理，n 个小时后正常的概率为
，
从而数列 是首项 ，公比为 的等比数列，于是 ，
因此 . ………………………………………（13 分）
初 始 状 态 正 常 ， 第 1 个 小 时 期 望 收 益 为 元 ； 第 2 个 小 时 期 望 收 益 为
；
同理，第 k 个小时期望收益为 .
因此 n 个小时累计期望收益为
……………………………（17 分）
数学评分细则·第 9页（共 9页）