云南省昭通市第一中学等三校2024−2025学年高三下学期高考备考实用性联考卷（七）（3月）数学试题（含解析）

这是一份云南省昭通市第一中学等三校2024−2025学年高三下学期高考备考实用性联考卷（七）（3月）数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知a，，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
2．设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知集合，且，则集合B可以是（ ）
A．B．C．D．
4．函数在区间上的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．已知函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．0D．1
6．已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ）
A．B．C．D．
7．已知点P为椭圆上任意一点，直线与交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．在边长为的菱形ABCD中，，E为BD中点，将绕直线BD翻折到，使得四面体外接球的表面积为，则此时直线与平面BCD所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知在一次数学测验中，某校1000名学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（ ）（参考数据：①；②；③.）
A．平均分为100
B．及格率超过86%
C．得分在内的人数约为997
D．得分低于80的人数和优秀的人数大致相等
10．设锐角的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的外接圆的半径是2
C．的面积的最大值是D．的取值范围是
11．已知曲线，，则下列选项正确的是（ ）
A．，曲线均不为圆
B．，曲线都关于点中心对称
C．当时，
D．当时，直线是曲线的一条渐近线
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，满足，，，则 .
13．已知，，则 .
14．甲、乙、丙、丁、戊五人完成A，B，C，D，E五项任务所获得的效益如下表：
现每项任务选派一人完成，其中甲不承担C任务，丁不承担A任务的指派方法数有 种；效益之和的最大值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表：
(1)求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）；
(2)若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率.
参考数据：，.
附：回归直线中，，.
16．已知函数，.
(1)求证：在处的切线与只有一个公共点；
(2)设，请在以下三个函数：①；②；③中选择一个函数，使得该函数有最大值，并求出最大值.
17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，E为CD的中点，M在AB上，且.

(1)求证：；
(2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值；
(3)求点D到平面PBC的距离.
18．已知圆和圆，动圆Q与圆、圆都外切或都内切，记点Q的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点作直线，使其被曲线E截得的弦恰被点P平分，求直线的方程；
(3)记曲线E的左、右顶点为，，过点的直线与曲线E的左支交于C，D两点，点C在第二象限，直线与交于点G，证明点G在定直线上.
19．定义二元函数（，），同时满足：①；②；③三个条件.
(1)求，的值；
(2)求的解析式；
(3)若，，.比较与0的大小关系，并说明理由.
附：参考公式；；；.
参考答案
1．【答案】D
【详解】当，，满足，但是，
当，，满足，但是，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选D.
2．【答案】C
【详解】∵，
∴.
故选C.
3．【答案】C
【详解】因为，所以，显然A中集合不合题意；
B中集合为或，也不合题意，
C中集合为，满足题意，
D中集合为，不合题意.
故选C.
4．【答案】D
【详解】，，
令，则或，
当，有或或，
当，有或或或.
故选D.
5．【答案】D
【详解】由题意可得，
即，
整理得，恒成立，
即，
易得：，
故选D.
6．【答案】C
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以公差，
故当时，，当时，，
所以当时，取得最小值，即中最小的项是，
故选C.
7．【答案】B
【详解】
，即的圆心，半径为，
化为，可得直线l过定点，
椭圆方程中，，，，，则圆心为椭圆的右焦点，
线段为的直径(除去直线与圆M相交的直径），
连接，因此，
点为椭圆上任意一点，则，，
即，所以，
故选B.
8．【答案】B
【详解】如图，由已知和都是等边三角形，是中点，，，又，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，同理平面平面，
所以在平面内的射影是，所以是与平面所成的角，
设分别是和的外心，则，，
且，在平面内过作，
过作，与交于点，则平面，同理平面，平面，则，所以是四面体外接球的球心，
由已知，，，又，
所以，，，，，由对称性知，，所以直线与平面BCD所成角的正弦值为，
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】由题意知，，，A：，，故A正确；
B：
，
，故B错误；
C：，
人，故C正确；
D：，
因为成绩服从标准正态分布，
，故D正确，
故选ACD.
10．【答案】AC
【详解】对于A项，因为，
所以，
所以，
又因为，所以，又因为，所以，故A项正确；
对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，则，故B项错误；
对于C项，由余弦定理可得，即①.
因为②，当且仅当时，等号成立，
所以由①②得，当且仅当时，等号成立，
所以的面积，则C项正确；
对于D项，由正弦定理可得，则，，
所以，
为锐角三角形，则，所以，
所以，所以，
即的取值范围是，故D项错误，
故选AC.
11．【答案】ABD
【详解】选项A：由曲线，，
若曲线为圆，需满足和系数相等且无交叉项，
展开原方程得：，交叉项系数为，无法消除，
故曲线无法为圆，选项A正确；
选项B：验证曲线关于点对称，将点替换为对称点代入方程：
得，与原方程形式一致，
故，曲线都关于点中心对称，选项B正确；
选项C：当时，方程为，
整理为关于的二次方程：.
判别式，即得，
解得，选项C错误；
选项D：当时，方程为，渐近线为，
化简得或，即得或，
所以直线是曲线的一条渐近线，选项D正确，
故选ABD.
12．【答案】4
【详解】由，可得，
，
解得.
13．【答案】
【详解】，，所以即
原式
，原式.
14．【答案】 78 80
【详解】依据乘法原理，选派方法共有，
由表可知，五项工作获得的效益值总和最大为，但不能同时取得；
要使总和最大、甲可以承担B或D项工作，丙只能承担C项工作，则丁不可以承担C项工作，所以丁承担E项工作；
乙若承担B项工作，则甲承担D项工作，戊承担A项工作，此时效益值总和为：，
乙若不承担B项工作，则乙承担A项工作，甲承担B项工作，则戊承担D项工作，此时，效益值总和为：，
所以，完成五项工作后获得的效益值总和最大是80.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
由参考数据
所以
故广告费投入y关于年销售量x的回归方程为.
（2）设“在甲汽车店购买汽车”，“在乙汽车店购买汽车”，
“购买的是新能源汽车”，
，，，
由全概率公式得，.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）对函数，，
，在处的切线方程为
设，
，易知在上单调递减，在上单调递增，
，
，当且仅当时，，
与只有一个公共点.
（2），
若选①，则，
易知在上单调递增，无最大值；
若选②，则令，，
由，得；
由，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，；
若选③，则令，
由，得；
由，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
，无最大值.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
由，得，
解得，即，
所以，，
所以，又，所以.
（2）解：由（1）得，则，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，
所以，
又平面的一个法向量为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（3）解：由题意知，由（2）得平面的一个法向量为
所以点到平面的距离为
18．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，
所以
当动圆与圆、圆都内切时，，
所以，所以，
所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，
所以，，所以，
所以曲线的方程为.
（2）设直线交双曲线于点，并设，，
所以两式相减可得：，
，则，
因为为线段的中点，所以，，
所以，所以直线的方程为，
化简可得，经检验，该直线与曲线有两个交点，符合题意.
（3），，设点，，
因为直线CD的斜率不为0，故设CD的方程为，
联立得，
直线的方程为，
直线的方程为，
联立直线与可得
，则
又，得，故点在定直线上.

19．【答案】(1)，
(2)
(3)答案见解析，理由见解析
【详解】（1）因为，由②得，
由①得，.
（2）由①得：，，，
将上述等式相加，可得，
所以，也满足此式，故.
由②得，，，，
将上述等式相加，可得，
所以.
而也满足此式，故.
（3）由（2）知，
，
所以
，
当且仅当时，，上式取得等号，
即当时，均有，
所以当时，；
当时，；
当时，.A
B
C
D
E
甲
11
13
10
13
11
乙
25
26
24
23
23
丙
10
14
15
13
11
丁
7
9
11
9
11
戊
14
16
15
16
12
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
8
年销售量/十万辆
3
4
5
6
7
9
10
12
广告费投入/亿元
3.6
4.1
4.4
5.2
6.2
7.5
7.9
9.1