云南省昭通市第一中学等三校2026届高三上学期备考实用性联考（一）数学试卷（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，集合．若，则实数值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】解方程求得集合A，根据并集结果从而求得.
【详解】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即.
故选：D
2. “”是“”的（ ）
A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，则，即，得不出，如，
所以“”不是“”的充分条件；
若，则，可得，即，
所以“”是“”的必要条件；
所以“”是“”的必要而不充分条件，
故选：A．
3. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由任意角的三角函数的定义结合和角公式求解即可.
【详解】因为角的终边经过点，则，.
所以.
故选：B
4. 在中，已知，，，则（ ）
A. 36B. 18C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由余弦定理求出，然后由向量数量积的定义求解即可.
【详解】在中，已知，，，
由余弦定理得
.
故选：D．
5. ，，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用特例法判断ACD；利用不等式的性质判断B.
【详解】对于A，若，则，，故A错误；
对于B，因，故，故B正确；
对于C、D，若，，，故C、D错误，
故选：B．
6. 已知双曲线的右焦点为，过点作互相垂直的直线，，与的右支交于，两点，，若与的左支交于点，且，，三点共线（是坐标原点），则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设点为双曲线的左焦点，设，则，根据双曲线的定义及对称性得到四边形为矩形，应用勾股定理求参数，并列方程得到双曲线参数的齐次式，即可得离心率.
【详解】如图所示：设点为双曲线的左焦点，不妨设，则，
由双曲线的定义可得，，易知为的中点，
由双曲线的对称性，知为的中点，故四边形为平行四边形．
因为，故四边形为矩形，则．
由勾股定理得，即，解得，
故，．又，
由勾股定理可得，即，整理可得，
故该双曲线的离心率为.
故选：D
7. 已知球的半径为3，正方体所有顶点均在球面上，点是棱的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方体对角线长就是球的直径求出正方体的棱长，结合当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小，进而可得答案．
【详解】设正方体棱长为，则正方体对角线长就是球的直径，
球心O是正方体对角线中点，
由正方体对角线公式，解得．
因为点是棱的中点，当与截面垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆面积最小．
因为，，勾股定理，解得，
设截面圆半径为，则，
所以截面面积，
故选：C．
8. 已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当时，解，得出单调性，判断出在时，取最小值：；当，利用二次函数的对称性和最值，建立关于的不等式组求解．
【详解】当时，，令，得：，
解得：或，因此可知：；
又当时，，当时，，所以在时，取最小值：．
当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线，
因为是中唯一最小项，所以，且，
解得，且，
即．
故选：B
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 关于的展开式，下列说法中正确的是（ ）
A. 有理项共有4项B. 第一项与第三项的二项式系数相等
C. 常数项为60D. 展开式的二项式系数之和为1
【答案】AC
【解析】
【分析】A写出通项，令即可；B计算第一项与第三项的二项式系数即可；C令即可；D计算即可.
【详解】对于A，展开式的通项为，
当时，，所以展开式的有理项共有4项，故A正确；
对于B，第一项二项式系数，第三项的二项式系数，
第一项与第三项的二项式系数不相等，故B错误；
对于C，令，，展开式中的常数项为，故C正确；
对于D，展开式的二项式系数之和为，故D错误.
故选：AC．
10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，且，为上位于第一象限内的点，且，的内角平分线交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率B.
C. 的内切圆半径为D.
【答案】AC
【解析】
【分析】设椭圆的焦距为，由椭圆的对称性可知，从而得到离心率即可判断选项A；由余弦定理求出即可判断选项B；由三角形的面积公式求得得面积，利用等面积法求得内切圆半径即可判断选项C；由角平分线定理得，即可判断选项D.
【详解】对于A：如图，设椭圆的焦距为，

由椭圆对称性可知，则，，所以，正确；
对于B：因为，，，
所以，即，错误；
对于C：因为，，则，
所以．
又的周长，设内切圆半径为，则，正确；
对于D：由，，解得，，由角平分线定理得，错误，
故选：AC．
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由为偶函数，可得，计算可判断C；根据原函数与导函数的图像的关系确定为奇函数,再根据函数为偶函数,得到,两者结合即可得出，判断BD，利用赋值法判断A.
【详解】对于，因为为偶函数，所以，
即①，所以，所以关于对称，
则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，
所以关于对称，由①求导，和，
得，
所以，所以关于对称，
因为其定义域为，所以，结合关于对称，
从而周期，所以，，故B正确，D正确；
若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误，
故选：BCD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 复数满足，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的乘法及除法运算，再应用模长公式计算求解.
【详解】，所以．
故答案为：．
13. 设函数，若在上有且只有一个极值点，且，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意得出，求出周期，再利用即可求解．
【详解】，且在上有且只有一个极值点，得，
所以，
解得．
故答案为：．
14. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿（1643～1727）在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为；在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为；一直继续下去，得到，它们越来越逼近的零点．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点．用“牛顿法”求方程的近似解，可以构造函数，若，则用牛顿法得到的近似值约为________．（结果保留两位小数）
【答案】
【解析】
【分析】分别求出曲线的切线方程，由切线方程求与x轴的交点横坐标，循环求解即可.
【详解】由，，，，
所以在处的切线方程为：．
令，得，
可得，，
所以在处的切线方程为：，
令，得.
故答案为:．
四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列是等差数列，且，数列的前项和为，且，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用，可求数列的通项公式，利用等差数列通项公式、可求得，即可求得的通项公式；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和即可.
【小问1详解】
由数列的前项和为，可知，
，
经检验当时，也满足上式，所以．
在等差数列中，因为，，
所以，解得，
所以．
【小问2详解】
由（1）知，，
所以．
则，
两式相减，得
化简得：．
16. 甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”．
（1）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望；
（3）现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀品”率分别为0.60，0.30三家产品数在市场中所占比例为，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？
【答案】（1）76.5
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】本题主要涉及频率分布直方图、平均数的计算、二项分布以及条件概率等数学概念和定理.
（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式，利用每组区间的中点值乘以该组的频率再求和来计算平均数，需要先根据频率分布直方图的性质求出的值.
（2）先求出甲厂产品为“优秀品”的概率，由于是有放回的抽取，所以随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望.
（3）利用全概率公式先求出取到优秀品的概率，再根据条件概率公式求出在已知取到优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率.
【小问1详解】
由题知，，解得．
设为样本数据的平均数，则，
故这组样本数据平均数为．
【小问2详解】
设表示在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，
由题知，
随机变量，的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
的分布列为
随机变量的数学期望．
【小问3详解】
设事件表示“取到的产品为优秀品”，，，分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，
由已知，，，
，，．
由全概率公式得：．
由贝叶斯公式得．
17. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，平面，，，，点在上是靠近的三等分点．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用相似证明出线线平行，再得到线面平行；
（2）直接利用空间向量法建系求解出二面角的余弦值，再求正弦值即可．
【小问1详解】
如图，连接交于点，连接，

因为，所以，
所以．
又因为，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
解：因为，，所以．
又因为平面，所以，．
以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
所以，，，，，，

所以，．
设平面的一个法向量为，
则解得所以，
，，
设平面的一个法向量为，
则解得所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以，
所以二面角的正弦值为．
18. 过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16．
（1）求抛物线的方程；
（2）当时，证明：直线过定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意设，因为，不妨设．表示出的坐标，由三角形的面积求解即可；
（2）设，，，由，则，求出的方程为，联立求得，从而证得直线所过的定点即可.
【小问1详解】
已知当时，，，关于轴对称且．
设，因为，不妨设．
由斜率公式，即，解得，所以，．
面积，解得，抛物线方程为．
【小问2详解】

证明：设，，，
则，．
因为，则，所以，
则，，
所以直线的方程为，整理得．
把代入直线方程，得，
所以直线过定点．
19. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）证明：；
（2）求的取值范围；
（3）已知函数，求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用三角恒等变化简可得，结合正弦函数图象可证结论；
（2）结合（1）可求得，利用正弦定理以及三角恒等变换化得，换元，利用导数可求得的取值范围；
（3）求导，令，求导，可得，，可得的单调性，进而可得时，，进而可得在上单调递增，可证结论.
【小问1详解】
由正弦定理得，又因为，
所以，即．
因为，所以或（舍去），所以．
【小问2详解】
因为，所以，
所以．
令，则，，．
由，得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的最小值为．
又因为，
所以．
【小问3详解】
因为，
记，则，
易知在上单调递减，且，，
，，即，
所以，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
因为，，
所以时，，在上单调递增，所以．
又因为，所以．0
1
2
3
0.216
0.432
0.288
0.064