2025-2026学年河南省豫西北教研联盟高三上学期第一次质量检测数学试题（附答案解析）

这是一份2025-2026学年河南省豫西北教研联盟高三上学期第一次质量检测数学试题（附答案解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的值可以是（ ）
A．4B．5C．10D．16
5．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，且，则（ ）
A．是奇函数B．
C．的值域是D．在上单调递减
10．正方体的棱长为分别是棱的中点，则（ ）
A．
B．
C．平面
D．点到平面的距离为
11．已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则（ ）
A．的准线方程为
B．周长的最小值为5
C．直线的倾斜角为
D．四边形不可能是平行四边形
三、填空题
12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 .
13．设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为 .
14．已知函数，当关于的方程的不同实数根的个数最多时，实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．在中，角所对的边分别为.
(1)求；
(2)点在边上，平分，若，求的周长.
16．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)对于任意，求实数的取值范围.
17．菱形中，平面，，，
（1）证明：直线平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.
18．已知椭圆的左､右焦点分别为分别为的左､右顶点，点是上异于的点，直线与直线的斜率之积为，的周长为6.
(1)求的方程；
(2)求过与相切的直线方程；
(3)设直线的方程为，过上任一点作的切线，切点分别为，当四边形的面积最大时，求的正切值.
19．已知函数，.
(1)若函数的零点是函数的极值点，求；
(2)为坐标原点，在函数的图象上，在轴上是否存在点，使得四边形为矩形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)定义：若一个四边形的顶点均在某函数的图象上，则称该四边形为函数的内接四边形.设，若函数有唯一内接正方形，求该正方形的面积.
《河南省豫西北教研联盟2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题》参考答案
1．C
【分析】先化简集合，再结合交集的运算，即可求解.
【详解】根据题意，集合，
又集合，所以.
故选：C
2．B
【分析】根据复数及共轭复数的定义结合复数的加法，应用复数相等得出参数.
【详解】设复数，
满足，
所以，则.
故选：B.
3．A
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小.
【详解】因为单调递减，所以，
因为单调递减，所以，
则的大小关系为.
故选：A.
4．B
【分析】先根据三角函数图像的平移规则得到平移后的函数解析式，再结合正弦函数图像关于原点对称的性质，求出的表达式，最后根据选项进行判断即可.
【详解】由题意，令函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为，
则，
又平移后得到的图象关于坐标原点对称，即函数为奇函数，
所以，解得，
当时，.
故选：B
5．D
【分析】根据已知条件，结合函数奇偶性特点，得到函数关系式，通过代入特殊值逐个选项判断即可求解.
【详解】因为，则有，
所以，由此可知为周期为的周期函数，
又因为是奇函数，所以，
因为，所以；
对于A选项，根据，将代入，
得，解得，A正确；
对于B选项，根据，将代入，
得，B正确；
对于C选项，根据，将代入，
得，C正确；
对于D选项，根据，有，
又根据，将代入，
得，由A选项可知，
所以，所以D错误.
故选：D
6．B
【分析】运用两点间斜率公式，结合基本不等式可解.
【详解】由题意可得，，直线的斜率为．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
即当直线的斜率取最大值时，，所以，故．
故选：B．
7．D
【分析】根据题目条件求出，进而通过三角恒边等换将用来表示.
【详解】，解得，
又，解得，
所以，
故选：D.
8．C
【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解.
【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心，
因为 ，，
所以，则，
因为，取的中点，所以， ，
设正三棱锥外接球的半径为，则，得，
所以，故，
设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，
，则，
所以，则，
所以与该截面所成角为，故，
，即与该截面所成角为.
故选：C.
9．BCD
【分析】根据奇偶函数的定义判断A；代入验证等式两边是否相等，证明B；利用基本不等式判断C；利用导数判断D.
【详解】对于A，函数定义域为，
，则函数为偶函数，故A错误；
对于B，,
,
所以，故B正确；
对于C，因为且，则，
由基本不等式得，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的值域是，C正确；
对于D，，
当时，，在时小于1，
所以，故在上单调递减，
当时，同理可得在上单调递减，故D正确.
故选：BCD
10．BC
【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量法向量的垂直即可证明判断A，B，C，根据空间向量的点面距公式即可求D.
【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系：正方体棱长为2，
则,
所以，
因为，所以不成立，A选项错误；
，所以，B选项正确；
，
，
所以平面的一个法向量为 ，
又因为，所以平面，所以平面，C选项正确；
，则 ,
设平面的法向量为 ，
所以 ，取，则，故；
由,
设点到平面的距离为，则，D选项错误；
故选：BC.
11．ABD
【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A、C，根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断D.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
又点满足，所以，
即，解得或（舍去），
所以抛物线，则准线方程为，焦点为，故A正确；
过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可知，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，
所以周长的最小值为，故B正确；
因为，所以直线的倾斜角为，故C错误；
过点作的平行线，交抛物线于点，
即，解得，即，则，
所以四边形不是平行四边形，故D正确.
故选：ABD
12．
【分析】根据投影向量的定义进行求解即可.
【详解】因为向量，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量的坐标为：.
故答案为：.
13．
【分析】不妨设点H在第一象限，根据题意可得，然后利用双曲线的定义和余弦定理即可求解.
【详解】由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限，
设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为，
又，则．由，可知．
设双曲线C的左焦点为，连接，
由双曲线的定义可知，
在中，由余弦定理可得，
整理得，即，则，，所以C的离心率．
故答案为：.
14．
【分析】借助导数求得的取值范围，再换元，数形结合求的取值范围.
【详解】则，所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，如图，
，
设，则，
，
即，
显然不是方程的解，
则（且），
如下图所示，
（1）当时，直线与曲线（且）无交点，则方程无实数解，
（2）当时，直线与曲线（且）有唯一交点，其横坐标为，此时直线与曲线有唯一交点，即方程有唯一实数解
（3）当时，直线与曲线（且）有唯一交点，其横坐标为，此时直线与曲线有两个交点，即方程有两个实数解，
（4）当，直线与曲线（且）有两个交点，设其横坐标分别为，（），此时直线和直线与曲线各有两个交点，即方程有四个实数解，
（5）当时，直线与曲线（且）有两个交点，设其横坐标分别为（），，此时直线与曲线各有两个交点，直线与曲线有唯一的交点，即方程有三个实数解，
（6）当时，直线与曲线（且）有唯一个交点，设其横坐标分别为（），此时直线与曲线有唯一交点，即方程有唯一实数解，
（7）当时，直线与曲线有两个公共点，对应的t有两个负值，每一个t值对应的x值只有一个，原方程有两个根，
综上，当时，关于的方程的不同实根最多.
故答案为：
【点睛】策略点睛：复合方程解的个数问题的解题策略为：首先要能观察出复合的形式，分清内外层；其次要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；最后通过数形结合的方式解决问题
15．(1)
(2)
【分析】（1）应用正弦定理化简求解，结合角的范围求值；
（2）应用角平分线结合得出，最后应用余弦定理计算求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
又，所以，
由于，则.
（2）因为，
所以，
即，
由余弦定理得，
所以，
解得，或（舍去），
所以，即的周长为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解；
（2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由已知可得，
因为，解得，
又，
得，
所以.
（2）由（1）可知，则，
由可得，
令，
，
当时，，
当时，，
则数列的最大项为，
故，
即实数的取值范围为.
17．（1）证明见解析（2）（3）存在，
【分析】（1）建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，证明向量垂直，得到线面平行；
（2）利用空间向量法求出二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系求出正弦值；
（3）设，则，利用空间向量求表示出线面角的正弦值，求出的值，得解.
【详解】解：建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），
则，，，
，，.
（1）证明：，，
设为平面的法向量，
则，即，
可得，
又，可得，
又因为直线平面，所以直线平面；
（2），，，
设为平面的法向量，
则，即，可得，
设为平面的法向量，
则，即，可得，
所以，
所以二面角的正弦值为；
（3）设，则，
则，，
设为平面的法向量，
则，即，
可得，
由，得，
解得或（舍），所以.
【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何中的问题，属于中档题.
18．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用斜率公式结合椭圆方程解出即可；
（2）设切线的方程为，与椭圆联立，由得，在上，知道，得到；
（3）与椭圆联立，借助韦达定理，后将四边形面积表示出来，即，借助对勾函数单调性求最值，再借助和角正切公式计算即可.
【详解】（1）由题意知，，
又，则，
即，故，
又，即，
所以，故椭圆的方程为.
（2）设切线的方程为，联立
整理得，
由，得，
因为在椭圆上，所以，
则，
所以过与相切的直线方程为，
即.
（3）
设，
由（2）可知，切线的方程为，
切线的方程为，
所以，
故直线的方程为.
联立，整理得，
所以，又，
，
又
.
因为，则，
所以时，四边形的面积最大，最大面积为6.
此时直线的方程为，与交于椭圆右焦点，
则，
所以，
所以.
19．(1)或；
(2)不存在，理由见解析；
(3).
【分析】（1）先令，解得其零点，再对进行求导，求得其极值点，进而求得的值；
（2）假设轴上存在点，使得为矩形，根据矩形的性质得到向量关系，进而列出方程求解；
（3）先求出的表达式，再根据内接正方形的性质列出方程，求出正方形的边长，进而求出其面积.
【详解】（1）根据题意，令，解得或，
又，则，令，解得或，
则当变化时，和随的变化列表如下：
所以函数的极值点为和，
又函数的零点是函数的极值点，
所以或.
（2）假设轴上存在点，使得为矩形，则的中点在轴上，
设，则，所以，，
因为四边形为矩形，所以，
所以，又，所以，方程无实数解.
故在轴上不存在点，使得为矩形.
（3）设函数的内接正方形的四个顶点分别为，
因为函数，
所以，且为奇函数，
则正方形的中心为原点.
否则，由于为奇函数，关于原点的对称点也在曲线上，且也是正方形，与题设矛盾.
设，
则①，②，
所以，即，
又得，，
即，
所以，
令，则，
因为，所以，
当时，，舍去，
当时，，
此时，
又正方形的中心为原点，
所以.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
B
D
B
D
C
BCD
BC
题号
11









答案
ABD









单调递减
单调递增
单调递减