隐圆与蒙日圆导学案——2026届高三数学一轮复习

这是一份隐圆与蒙日圆导学案——2026届高三数学一轮复习，共4页。学案主要包含了学习目标，教学重点 难点等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】1、掌握隐圆（阿氏圆）和蒙日圆的定义
掌握隐圆（阿氏圆）和蒙日圆的性质
掌握解决隐圆（阿氏圆）和蒙日圆相关问题的思想和方法
【教学重点 难点】通过典型案例掌握隐圆（阿氏圆）和蒙日圆的处理思想和方法
学生活动/教学内容
一、创设情境，合作探究
情境： 已知直线l1:y=tx+5t∈R与直线l2:x+ty−t+4=0t∈R相交于点P，且点P到点Qa,3的距离等于1，则实数a的取值范围是多少.
议一议：在满足什么条件时，动点的轨迹是圆
二、构建模型，展示成果
【探究一】 隐圆的定义与性质
例1、现有双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)， F1,F2分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的上､下端点，动点P满足|PB||PA|=2，△PAB面积的最大值为4.点M，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线QM和QN的斜率满足 kQM⋅kQN=3，过F2的直线与双曲线右支交于C，D两点(其中C点在第一象限)，设点M､N分别为 △CF1F2､△DF1F2的内心，则MN的范围是多少. .
变式训练：1、在平面直角坐标系xOy中，设A2,4，B−2,−4，动点P满足PO⋅PA=−1，则tan∠PBO的最大值为
2、已知，点是满足PA=63PB的轨迹上任一点，若抛物线y=16x2的焦点为，过点的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为 .
总结：
能力提升：已知棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1表面上的动点满足，则点的轨迹长度为多少.
【探究二】 蒙日圆的定义与性质
例2、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53 ．若动点P (x0,y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
变式训练：1、已知椭圆M的方程为x24+y2=1，过平面内的点P作椭圆M的两条互相垂直的切线，则点P的轨迹方程为
若椭圆的蒙日圆的半径为，则椭圆的离心率为 ．
过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的
直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为 ．
总结：
例3、(多选)已知椭圆C：x25+y24=1，O为原点，则下列说法中正确的是( )
A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=9
B.过直线l：x+2y-3=0上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN为直角时，直线OP的斜率为-43
C.若P为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，则PO平分椭圆的切点弦MN
D.若P为蒙日圆上一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，且O，P到MN的距离分别为d1，d2，则d1d2=209
总结：
变式训练：已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（ ）
A．的蒙日圆的方程为 B．对直线上任意点，
C．记点到直线的距离为，则的最小值为
D．若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为
例4、已知椭圆C：.
(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积
(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值.
变式训练：椭圆过，，过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.
三、检测反馈，落实目标
已知动点M在椭圆C：x22+y2=1上，动点N满足ON=3OM，记点N的轨迹为E.
(1)在轨迹E上是否存在点T，使得过点T作椭圆C的两条切线互相垂直？若存在，求点T的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)过点M的直线y=kx+m(m≠0)交轨迹E于A，B两点，射线OM交轨迹E于点P，射线MO交椭圆C于点Q，求四边形APBQ面积的最大值.