河南省濮阳市第一高级中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检测（10月）数学试题（月考）

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一、单项选择题
1. 答案：C
解析：若 ，则 ，解得 或 ，
当 ，则 ， ，满足 ，符合题意；
当 ，则 ， ，两直线重合，不符合题意；
综上所述： 等价于 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
2. 答案：B
解析：直线 过定点 ，
而 ， ，
由图可知，要使直线 与线段 AB 相交，
则 或 ，即 k 的取值范围是 .故选：B.
3. 答案：C
解析：由条件知 ， ， ，
又二面角 的平面角为 ，则 ，
所以
，所以 .
4. 答案：D
解析： ,
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可以看作点 到点 的距离之和，
作点 关于 轴的对称点 ，显然当 三点共线时，取到最小值，
最小值为 间的距离 .故选：D.
5. 答案：B
解析：设正方体内切球的球心为 ，则 ,
,
因为 MN 是正方体内切球的一条直径，所以 ，
所以 ，又点Р在正方体表面上运动，
所以当 为正方体顶点时， 最大，且最大值为 ；
当 为内切球与正方体的切点时， 最小 ，且最小为 ；所以 ，
所以 的取值范围为 ，故选：B
6. 答案：B
解析：因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
又 ，故点 共面，所以 .
7. 答案：C
解析：记点 O 到 AB、BC、CA 的距离分别为 ， ， ，
，因为 ，则
，即 ，又因为
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，所以 ，所以点 P 是△ABC 的内心.
故选：C
8. 答案：B
解析：如图，设点 关于直线 的对称点为 ，
则 得 ，即 ，由题意知 与直线 不平行，故 ，
由 ，得 ，即 ，故直线 的斜率为 ，
直线 的直线方程为： ，令 得 ，故 ，
令 得 ，故由对称性可得 ，由 得 ，
即 ，解得 ，得 或 ，
若 ，则第二次反射后光线不会与 轴相交，故不符合条件．故 ，故选：B
二、多项选择题
9. 答案：AD
解析：对 A，由 可得， ，
即 ，所以 ， ， ， 四点共面，A 正确；
对 B， ，所以 ， 不共线，故 与 不平行，B 错误；
对 C，当 ， 共线时，则 ，且 ，解得 ，
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若 为钝角，则 ，解得 且 ，C 错误；
对 D，由 ，所以 与 所成角为 ，D 正确；
故选：AD.
10. 答案：BD
解析：对于 A，过原点的不可以，A 错误；
对于 B，当时 ，方程为 ，此时所表示的直线与 轴平行，故 B 正确；
对于 C，当时 ， 不存在，此时直线方程为 ，故 C 错误；
对于 D，当 时，由斜率公式，可得 ，可整理为
；当时 ，方程 可
整理为 ；故 D 正确.故选：BD.
11. 答案：ACD
解析：对于 A，如下右图所示：
由 可得 ，由三棱柱性质可得 ，因此可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，即可知 A 正确；
对于 B，由 可知 ，结合 A 选项可知 ，
当 分别为棱 ， 的中点时，满足 ，如右图所示：
结合直棱柱性质可知，此时过 ， ， 三点的平面截三棱柱所得截面为 ，
为矩形；即 B 错误；
对于 C，易知 ，又 ，
所以在直角三角形 中， ，可得 ；
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因此可得 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆在 内的部分，
即圆弧 ；如右图所示：
又 是边长为 4 的正三角形，取 为 的中点，所以 到 的距离为 ，
因此可得当 为圆弧 的中点时， 到棱 距离的最小值为 ，即 C 正
确；对于 D，取 点关于平面 和 的对称点分别为 ，
连接 与平面 和 的交点分别为 ， 时， 周长的最小，如下图所示：
易知 ， ，由余弦定理可得
，
因此 周长的最小值为 ，即 D 正确.
故选：ACD
三、填空题
12. 答案： 或 .
解析：当截距为 0 时,满足在两坐标轴上的截距相等.此时设直线方程为 ,
,故 ,化简得 .
当截距不为0时,设直线方程为 ,则 .故 ,化简可得 .
13. 答案：5 或
解析：由题意可得 ，
故向量 在向量 上的投影向量的模长为 ，
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由题意可得 ，解得 或 .故答案为：5 或 .
14. 答案：
解析：取 的中点 ，连接 ，因为菱形 的边长为 2， ，
所以 ， 均为等边三角形，
故 ⊥ ， ⊥ ，且 ，
为二面角 的平面角，则 ，
故 为等边三角形， ，又 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 E 为 的中点，取 的中点 ， 的中点 ，
连接 ，则 ，且 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理得 平面 ，因为 ， 平面 ，
故平面 平面 ，所以 ⊥平面 ，
故点 F 轨迹为 （除 外），故点 F 轨迹的长度为 .
故答案为： .
四、解答题
15. 解析：
（1）∵ ， ，
∴ ， .
又( )//( )，∴ ，解得 ， ----------------------------------------6 分
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（2）由 ，得 ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，解得 .-------------------------------------------13 分
16. 解析：
（1）取 的中点 ，连接 ， ，
∵ 为 的中点，∴ 且 ，
又 ， ，则 且 ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .------------------------------------------------------------------------------------------------------7 分
（2）取 的中点为 ，连接 ，因 ，则 ，
因平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，又 面 ，则 ，
又 ， ， ，则 ，故 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，
由 是边长为 4 的等边三角形，得 ，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ， ，即平面 的一个法向量为 ；
∴ ，
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∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ．------------------------------------------------------------15 分
17. 解析：
（1）证明： 直线 的方程为：
提参整理可得： ．
令 ，可得 ，
不论 为何值，直线必过定点 .-------------------------------------------------------------------6 分
（2）设直线 的方程为 ．
令 则 ，令 ．则 ，
直线 与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积
．
当且仅当 ，即 时，三角形面积最小．
此时 的方程为 ．-----------------------------------------------------------------------------------15 分
18. 解析：
（1）在图 1 中，由 ， ，得 ，则 ，
所以 ，由 ，得 ，即 ，
在图 2 中， ，取 的中点 ，连接 ，由 为 的中点，
得 ，则 ，由 ，得 ，而 ，
平面 ，则 平面 ，又 平面 ，所以 .----------------5 分
（2）由已知及（1）得平面 平面 ，平面 平面 ， ，
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于是 平面 ，直线 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的法向量为 ，
则 ，
由图知二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为 .--------------------10 分
（3）假设线段 上是否存在点 ，使得三棱锥的体积为 ，
在 中， ，所以 ，
因为三棱锥 的体积为 ，设点 到平面 的距离为 ，
所以 ，所以 ，所以点 到平面 的距离为 ，
令 ，由（2）得， ，
又平面 的法向量为 ，
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则点 到平面 的距离为 ，解得 ，
线段 上是否存在点 ，使得三棱锥 的体积为 ，且 .----------------------17 分
19. 解析：
（1）设 ．建立如图所示的空间直角坐标系，
.
，
，
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．------------------------------------------------------------7 分
（2）设 ，
当 时，平面 与平面 重合，
当 时，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
当 时，设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则可求得平面 的一个法向量为 ， ，
令 ，则
，
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当且仅当 ，即 ，即 时，取等号，
此时 ， 平面 与平面 夹角的最大值为 ．------------------------17 分
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