河南省濮阳市第一高级中学2024−2025学年高二下学期第二次质量检测（4月）数学试题（含解析）

这是一份河南省濮阳市第一高级中学2024−2025学年高二下学期第二次质量检测（4月）数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数列的前项和，则（ ）
A．191B．192C．193D．194
2．如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．若双曲线的两个顶点将两焦点间的线段三等分，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（ ）
A．150B．300C．450D．540
5．已知等差数列和的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．4
7．标有数字的六张卡片，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，表示事件“第一次取出的数字是3”，表示事件“第二次取出的数字是2”，表示事件“两次取出的数字之和是6”，表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，有5个不相等的实数根，从小到大依次为，，，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A．若.则
B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种
C．从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种
D．西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种
10．已知数列的首项，且满足，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．设，则数列的前n项和小于
D．若，则满足条件的最大整数n的值为100
11．已知曲线，直线经过点，则以下说法正确的是（ ）
A．记曲线围成的面积是，则
B．若，直线与曲线交于不同的两点的最小值是
C．当时，有2条不同的直线，直线与曲线有3个不同的交点
D．若，设点是曲线上的任意一点，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知随机事件A，B，，，，则 .
13．某研究小组利用高倍显微镜观察某叶片的组织细胞，获得显微镜下局部的叶片细胞图片，如图所示，为了方便研究，现在利用甲、乙、丙、丁四种不同的试剂对A、B、C、D、E、F这六个细胞进行染色，其中相邻的细胞不能用同种试剂染色，每个细胞只用一种试剂染色，则共有 种不同的染色方法（用数字作答）.
14．已知椭圆的左､右焦点分别为､，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，若.
(1)求实数m的值；
(2)求；
(3)求的值.
16．科技特长生是经过教育厅、教育局发文，有正式定义的、享有特殊招生政策的学生群体，简言之，就是得到特定比赛或竞赛奖项的学生，可认定为科技特长生．目前科技特长生认证中认可度高的赛事主要分为四大类，第一是科技创新类，第二是机器人类，第三是信息学类，第四是航模类．现将两个班的科技特长生报名表分别装进两个档案袋，第一个档案袋内有5份男生档案和3份女生档案，第二个档案袋内有2份男生档案和4份女生档案．
（1）若从第一个档案袋中随机依次取出2人的档案，每次取出的档案不再放回．
（ⅰ）求取出的这2人的档案中有女生档案的概率；
（ⅱ）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率；
（2）若先从第一个档案袋中随机取出一人的档案放入第二个档案袋中，再从第二个档案袋中随机取出一人的档案，求从第二个档案中取出的档案是女生的概率．
17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，F为BC的中点．
（1）证明：平面PAF．
（2）求平面PAF与平面PBC夹角的余弦值．
18．如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为．
（1）求的值．
（2）已知点，、为抛物线上位于第二象限的两点，且在下方，已知直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，求三角形的面积．
19．已知函数 ，．
(1)若函数在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)若函数有两个极值点．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，则，
故选C
2．【答案】D
【详解】由已知，
故选D．
3．【答案】B
【详解】由题设，则渐近线为.
故选B
4．【答案】A
【详解】把5人分组有两类情况：和.
先把5人按分组，有种分组方法，
按分组，有种分组方法，
因此不同分组方法数为，
再把三组人安排到三个城市，有种方法，
所以不同分配方法种数是.
故选A.
5．【答案】B
【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案.
【详解】因为等差数列和的前项和分别为，，满足，
所以，
又，故，
故选B.
6．【答案】A
【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，
所以.
所以，所以（当且仅当时等号成立）.
所以.
即的最小值为1.
故选A
7．【答案】D
【详解】由题意得，从6张卡片中有放回地随机抽取两次，所有的基本事件为：
共36个.
则A事件有：，，，，，共6个，
B事件有：，，，，，共6个，
C事件有：，，，，共5个，
D事件有：，，，，，共6个，
所以，，，，
，
所以，而，故A错误；
，而，故B错误；
，而，故C错误；
，而，故D正确.
故选D.
8．【答案】D.
【详解】因为当时，，
所以，
因此当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，
当时，有，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
作出函数的图象，如图所示：
由此可得，
当时，令，解得或，
所以，
又因为，
所以，
所以.
由题意可得，，是方程的三个根，即是的三个根，
所以，
即，
所以，
即，
所以．
故选.
9．【答案】ACD
【分析】利用赋值法判断A；根据分步乘法计数原理判断B；先选一双鞋子，再从剩下的双鞋子中各选一只，按照分步乘法计数原理判断C；先分组、再分配，即可判断D.
【详解】对于A：二项式展开式的通项为（），
所以、、，、、，
对，
令可得，
令可得，
所以，故A正确；
对于B：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种，故B错误；
对于C：先从双不同颜色的鞋子中任选一双有种取法，再从剩余的双鞋子中的任选两双，在这两双中各选一只有种，
由分步乘法计数原理可得从双不同颜色的鞋子中任取只，其中恰好只有一双同色的不同取法共有，故C正确；
对于D：分组的方案有、和、两类，
第一类有种，
第二类有种，
所以共有种不同的方案，故D正确.
故选ACD．
【方法总结】应用分步乘法计数原理的注意事项：
(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事；
(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成．
10．【答案】ABC
【详解】对于AB，由题意，数列满足，可得，
可得，即，
又由，所以，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
所以，所以，所以，故AB正确；
对于C，由，可得，所以，
因为，所以（等号成立），
所以，故C正确；
设数列的前项和为，则
，若，即，
因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为，故D错误.
故选ABC.
11．【答案】ABD
【详解】对于A选项，该曲线的图象如图所示：

因此该封闭图形的面积由一个正方形和四个半圆组成，计算可得正方形的面积是，
半圆的半径是，四个半圆的面积是，因此，故A正确；
对于B选项，由，则过原点，以原点为圆心，以为半径作圆，如下图：

由图可知当直线l的斜率为0或不存在时，交点刚好在圆上，所截弦长为，
而其他直线与曲线的交点都在圆外，因此是最小值，故B正确；
对于C选项，如图所示，

当时，点A在曲线外，若直线l与曲线有3个不同的交点，
因此这样的直线l有4条，故C错误；
对于D选项，无论点在曲线内还是曲线外，
到曲线上点的最大值可以转化成点到如图所示的四个圆上的点的最大值，

由对称性可知，点到四个圆上的点的最大值在左上圆或者左下圆取到，
则最大值是，故D正确．
故选ABD.
12．【答案】
【详解】依题意得，所以
故，所以.
13．【答案】120
【详解】①若C、D、E用不同的颜色，则有种，只有一种可能，若与颜色相同，则有2种可能；若与颜色不同，则有1种可能，所以共有种可能；
②若C、D、E中与用同种颜色，则有种，有两种可能，有两种可能（无论选哪种颜色，都只有一种可能），则有种.
综上所述，共有种.
14．【答案】
【详解】因为，
所以，
如图，在上取一点M，使得，
连接，则，
则点为上靠近点的三等分点，
所以，
所以，设，则，
由椭圆定义可知：，即，
所以，
所以，，,
故点与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：，
在中，，解得：，
所以椭圆离心率为.

15．【答案】(1)1；
(2)56；
(3)2.
【详解】（1）因为，
令，可得，解得；
（2）由（1）可知：，为一次项系数，
由于，
故一次项为，所以，.
（3）由（1）可知：，且，
令，可得，
则，
所以.
16．【答案】（1）（i）；（i i）
（2）
【详解】（1）（i）设事件为“取出的人的档案中有女生档案”，则为“取出的人的档案中没有女生档案”.
第一个档案袋内有份男生档案和份女生档案，总共份档案.
第一次取到男生档案的概率为，因为不放回，此时剩下份档案，
其中男生有份，所以第二次取到男生档案的概率为，那么.
所以.
（ii）求在取出的这2人的档案中有女生的条件下，第2次取出的档案是女生的概率
设事件为“第次取出的档案是女生”，事件为“取出的人的档案中有女生档案”.
根据条件概率公式.
计算，即取出的人档案中有女生且第次取出的是女生的概率.
分两种情况：第一种情况，第一次取男生第二次取女生，概率为；
第二种情况，第一次取女生第二次取女生，概率为.
所以.
已知，则.
（2）设事件为“从第二个档案中取出的档案是女生”.
分两种情况：
若从第一个档案袋中取出的是男生档案，概率为，
此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案，
那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为.
若从第一个档案袋中取出的是女生档案，概率为，
此时第二个档案袋中有份男生档案和份女生档案，共份档案，
那么从第二个档案袋中取出女生档案的概率为，这种情况下的概率为.
所以.
17．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1）由平面ABCD，，可构建如下空间直角坐标系，
由，则，
所以，显然，
所以且都在面内，故平面PAF．
（2）由（1）知，，则，
若是面面PBC的一个法向量，则，
令，则，又面PAF的一个法向量为，
所以平面PAF与平面PBC夹角的余弦值.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由可得，由可得；
所以直线的方程为；
设，
联立，整理可得，
可得，
又可得，即；
所以，
解得；
（2）如下图所示：
由（1）可知抛物线方程为，
由直线的斜率为可设直线的方程为，，
联立，整理可得；
所以；
由可知直线的斜率为，直线的斜率为；
又因为直线与直线的斜倾斜角互补，所以，
整理可得；
即，也即，解得；
方程即为，解得；
可得，可得；
点到直线的距离为，
所以三角形的面积为．
19．【答案】(1)；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）依题可知恒成立，参变分离后，求函数最值即可；
（2）（i）根据条件可知有两个不同的正跟，列出方程组解出即可；
（ii）根据（i）条件，不等式可以转化为，变形后，设，构造新函数，利用导数即可证明.
【详解】（1）由题知，在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为，所以，
经检验，符合题意，故；
（2）(i)由题设，且，
若，则在上恒成立，
即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意，
故，又有两个极值点，
则是的两个不同正根，
所以，
可得，
即实数的取值范围是；
(ii)由（i）且，，不妨设，
则
，
要证，
需证，
即，
只需证，
即，令，
则证，
由（1）可知当时，在上单调递增，
又，故，
即，
综上，.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6