2025-2026学年北京市西城区育才学校高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市西城区育才学校高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．空间任意四个点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知空间中点，则点A关于平面对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．若在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线的长是（ ）
A．B．2C．D．3
4．如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
5．已知平面的法向量为，若平面外的直线的方向向量为，则可以推断（ ）
A．B．
C．与斜交D．
6．已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A．4B．2C．3D．1
7．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（ ）
A．B．
C．D．
8．如图,在正方体中,点是线段上的动点,则下列判断：
①三棱锥的体积是定值与点位置无关；
②若异面直线与所成的角为,则的最大值为；
③无论点在线段的什么位置,都有；
④当点与线段的中点重合时,与异面．
其中正确的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
9．已知向量，，且，则实数 ．
10．设，，计算 ．
11．已知，，且，则点的坐标为 ．
12．正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的余弦值为 ．
13．已知空间向量，，，且，则实数z的值为 ．
14．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动.若，则面积的最小值为 ．

三、解答题
15．已知向量，．
(1)求与的夹角余弦值．
(2)若，求实数的值．
16．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D，E分别是，的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为的正方形，，，分别为和的中点．
(1)求证：平面；
(2)若已知点到平面的距离2．从条件①，条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：平面平面；
条件②：．
18．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，.点在上，且平面.
(1)证明：；
(2)求的值；
(3)求点到平面的距离.
参考答案
9．
10．
11．
12．
13．
14．/
15．
（1）由题设.
（2）由，又，
所以，则.
16．
（1）因为在三棱柱中，平面ABC，即平面ABC，
平面ABC，所以，，又，
所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，D，E分别是，的中点，
所以，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
（2），，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以，
，，设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以，设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
17．
（1）取中点，连接，，
因为，分别为，中点，
所以，，
因为底面是正方形，为中点，
所以，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，又在外，在平面内，
所以平面；
（2）连接与交于点O，连接，因为是正方形，所以是，的中点，
选条件①：因为，O是AC的中点，所以，
又因为平面平面ABCD，交线是AC，所以平面ABCD，
所以，且，
又，所以，分别以OC，OD，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由已知可得，，，，，，
所以，，，
设平面MCD的一个法向量为，
则，取，，所以，
设直线与平面MCD所成的角为，
所以．
选条件②：因为，，O是，的中点，所以，，
又，所以平面ABCD，所以，又，所以，分别以OC，OD，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，以下同条件①．
18．
（1）解：因为平面，平面ACM，
所以.
因为平面，平面ABCD，
所以，又，
所以平面.
又平面PBD，
所以.
（2）取中点，连接.
由（1）得四边形为菱形，
所以.
因为，
所以.
因为两两互相垂直，
以为原点， 的方向分别为轴､轴､轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.
所以.
设，，其中.
所以.
因为平面，
所以，即.
所以.
解得，即.
（3）由（2）.
因为，.
设平面的一个法向量，则
，即
令，则，于是.
所以点到平面的距离为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
A
C
B
C
D
B
C