2025-2026学年山东省济宁第二中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省济宁第二中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么a+3b等于( )
A. 7B. 10C. 13D. 4
2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有OM=xOA+13OB+13OC，则x的值是( )
A. 1B. 0C. 3D. 13
3.设a=(2x,1,3)，b=(1,-2y,9)，若a与b为共线向量，则( )
A. x=1，y=1B. x=12,y=-12C. x=16,y=-32D. x=-16,y=32
4.化简PM-PN+MN所得的结果是( )
A. PMB. NPC. 0D. MN
5.在数学考试中，小强的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.1，在80-89分的概率是0.5，在70-79分的概率是0.2，则小强在数学考试中取得70分以上(含70分)的概率为( )
A. 0.8B. 0.7C. 0.6D. 0.5
6.先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是( )
A. “至少一枚硬币正面向上”
B. “只有一枚硬币正面向上”
C. “两枚硬币都是正面向上”
D. “两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”
7.事件A与事件B的关系如图所示，则( )
A. A⊆BB. A⊇B
C. A与B互斥D. A与B互为对立事件
8.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( )．
A. 12B. 13C. 23D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a,b,c是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )
A. a+b,a-c,b+cB. 2a-b,2b-c,2a-c
C. 4a+3b,2a+2c,b-cD. 3a+c,3b+c,a-b
10.(多选题)下列命题中不正确的是( )
A. 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B. 向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C. 若两个非零空间向量AB，CD，满足AB+CD=0，则AB//CD
D. 若a//b，则存在唯一的实数λ，使a=λb
11.分别抛掷两枚质地均匀的骰子(六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6)，设事件M=“第一枚骰子的点数为奇数”，事件N=“第二枚骰子的点数为偶数”，则( )
A. M与N互斥B. M与N不对立C. M与N相互独立D. P(M∪N)=34
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件A和事件B相互独立，若P(A)=0.4,P(B)=0.7，则P(A∪B)= ．
13.已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(-1,0,-1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0,z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则点P的坐标为 ．
14.有下列四个命题：
①已知A，B，C，D是空间任意四点，则AB+BC+CD+DA=0；
②若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB//CD；
③分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量；
④对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+OC(x,y,z∈R)，则P，A，B，C四点共面．
其中正确命题有 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率．
16.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=a，AD=b，AA1=c，P、M、N分别是CA'、CD'、C'D'的中点，点Q在CA'上，且CQ:QA'=4:1.用空间的一个基底a,b,c表示下列向量：
(1)AP；
(2)AM；
(3)AN；
(4)AQ．
17.(本小题15分)
一个口袋内装有形状､大小相同，编号为1，2，3的3个白球和编号为a的1个黑球．
(1)从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率；
(2)从中连续取两次，每次取一球后放回，甲､乙约定：若取出的两个球中至少有1个黑球，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
18.(本小题17分)
如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=2，AD=2，AA'=3，∠BAD=∠BAA'=2∠DAA'=60°，求BC'与CA'所成角的余弦值．
19.(本小题17分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1=14A1B1，D1F1=14C1D1．
(1)求AM的长．
(2)求BE1与DF1所成角的余弦值．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.C
5.A
6.A
7.C
8.C
9.AD
10.ABD
11.BCD

13.(-1,0,2)
14.②
15.【详解】(1)设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件．
则2人都射中目标的概率为P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72．
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件AB发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件AB发生).根据题意，事件AB与AB互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为
P(AB)+P(AB)=P(A)·P(B)+P(A)·P(B)
=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9
=0.08+0.18=0.26．
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为p=P(AB)+[P(AB)+P(AB)]=0.72+0.26=0.98．
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，
故所求概率为p=P(AB)+P(AB)+P(AB)
=P(A)·P(B)+P(A)·P(B)+P(A)·P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28．

16.【详解】(1)解：A'C=A'A+AB+BC=a+b-c，
则AP=AA'+A'P=AA'+12A'C=c+12a+b-c=12a+12b+12c；
(2)解：CD'=CC'+CD=c-a，AD'=AD+AA'=b+c，
所以，AM=AD'+D'M=AD'-12CD'=b+c-12c-a=12a+b+12c；
(3)解：AN=AD'+D'N=AD'+12D'C'=12a+b+c．
(4)解：AQ=AA'+A'Q=AA'+15A'C=c+15a+b-c=15a+15b+45c．

17.【详解】(1)从袋中一次性摸出2个球，所包含的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,a)，(2,3)，(2,a)，(3,a)，共6个基本事件；
摸出的2个球都是白球，所包含的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3个基本事件；
则从中一次性摸出2个球，求摸出的2个球都是白球的概率为P=36=12；
(2)从袋中连续取两次，每次取一球后放回，则所包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,a)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,a)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,a)，共16个基本事件；
则取出的两个球中至少有1个黑球，所包含的基本事件有：(1,a)，(2,a)，(3,a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,a)，共7个基本事件；
因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为P=716，即甲胜的概率为716，则乙胜的概率为916>716，所以此游戏不公平．

18.【详解】取基底AB,AD,AA'，
则BC'=BC+CC'=AD+AA'，
CA'=CA+AA'=CD+CB+AA'=-AB-AD+AA'，
所以BC'⋅CA'=AD+AA'⋅-AB-AD+AA'
=-AD⋅AB-AD2+AD⋅AA'-AB⋅AA'-AD⋅AA'+AA'2
=-AD⋅AB⋅cs60°-AD2-AB⋅AA'⋅cs60°+AA'2
=-2-4-3+9
=0
设BC'与CA'所成角为α，则csα=csBC',CA'=BC'⋅CA'BC'⋅CA'=0，
所以BC'与CA'所成角的余弦值为0．

19.【详解】(1)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，M(1,2,1)，AM=(-1,2,1)，
∴|AM|= (-1)2+12+22= 6．
(2)因为B(2,2,0)，E1(2,32,2)，D(0,0,0)，F1(0,12,2)，
所以BE1=(2,32,2)-(2,2,0)=(0,-12,2)，DF1=(0,12,2)-(0,0,0)=(0,12,2)，
则|BE1|= 172，|DF1|= 172．
所以BE1⋅DF1=0×0+(-12×12)+2×2=154，
所以cs〈BE1,DF1〉=BE1⋅DF1|BE1|⋅|DF1|=154 172× 172=1517，
所以BE1与DF1所成角的余弦值为1517．