2025-2026学年山东省泰安第一中学高二上学期10月学情检测数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省泰安第一中学高二上学期10月学情检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对于空间任意两个非零向量a，b，“a//b”是“a,b=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知AB=-3, 3是直线l的方向向量，且直线m⊥l，则直线m的倾斜角为( )
A. 150°B. 120∘C. 30∘D. 60∘
3.设x,y∈R,a=(1,1,1),b=(1,y,z),c=(x,-4,2)，且a→⊥c→,b→//c→，则x+y+z=( )
A. -1B. 0C. 1D. 2
4.已知直线l1:mx-4y+2=0m∈R与l2:x-my+1=0，若l1/\!/l2，则l1,l2之间的距离是( )
A. 55B. 510C. 2 55D. 3 55
5.一条光线从点P(4,2)射出，经过y轴反射后恰好平分圆x2-4x+y2+4y=0的周长，则入射光线所在直线的方程为( )
A. x+y=0B. x-y=0C. 2x+3y+2=0D. 2x-3y-2=0
6.已知圆C:x2+y2-4y+2=0，直线l:x-y+1=0，则圆上到直线的距离等于 22的点的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.如图，已知A,B,C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且〈AP,AB〉=〈AP,AC〉=120°，|AP|=3，若AO=AB+AC，则|OP|=( )
A. 2 10B. 37C. 6D. 35
8.已知实数x,y满足方程 1-(y-1)2=x-1，则y+2x的取值范围是( )
A. 43,4B. 43,2C. 43,+∞D. [2,4]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间一点，且满足BP=λBC+μBB1，λ,μ∈[0,1]，则( )
A. 当λ=1时，点P在棱BB1上B. 当μ=1时，点P在棱B1C1上
C. 当λ+μ=1时，点P在线段B1C上D. 当λ=μ时，点P在线段BC1上
10.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=2.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则( )
A. D1O//平面BA1C1B. OB1⃗= 2,0, 2
C. A1C⊥BB1D. 点B到直线A1C的距离为 3
11.已知A(-1,0),B(3,0)，P是圆O：x2+y2=25上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 过点A且被圆O截得最短弦长的直线方程为x=-1
B. 直线x-my+4m-3=0与圆O总有两个交点
C. 过点B作两条互相垂直的直线，分别交圆O于点E,G和F,H，则四边形EFGH的面积的最小值为41
D. ▵PAB的外接圆的半径的最小值为145
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两点A(-2,0),B(2,2)，则以AB为直径的圆的标准方程为 ．
13.已知圆C：x2+(y+2)2=a2(a>0)与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数a的取值范围为 ．
14.棱长为4的正方体AC1中，M,N分别是平面A1B1C1D1和平面ACD1内动点，
BP=3PB1，则PM+MN的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
▵ABC三个顶点A(4,0),B(0,5),C(0,3)，求：
(1)边AB上中线所在直线方程；
(2)边AB上高所在直线方程；
(3)∠ACB的角平分线所在直线方程．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= 5，设E,F分别为PC,BD的中点．
(1)求证：EF//平面PAD；
(2)求直线EF与平面ABCD所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知圆C经过点A(2,0)，与直线x+y=2相切，且圆心C在直线2x+y-1=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过点P(0,1)，并且直线l与圆C交于M,N两点，若CM⊥CN，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，▵PAD是斜边为AD的等腰直角三角形，AB⊥AD,AB=1,AD=4,AC=CD=CP=2 2．
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)求异面直线PD,AC所成的角；
(3)在棱PB上是否存在点M，使平面ADM与平面ABCD的夹角的余弦值为 55？若存在，求出PMPB的值，若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知线段AB的端点B的坐标是(6,4)，端点A在圆(x+2)2+(y+4)2=16上运动，记线段AB中点的运动轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程．
(2)过点B作直线l与曲线C相切，切点分别为点M,N，求直线MN的方程．
(3)斜率为k的直线l与曲线C相交于异于原点的两点E,F，直线OE,OF的斜率分别为k1,k2，且k1+k2=43.若BD⊥EF,D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.D
6.B
7.B
8.A
9.BCD
10.ACD
11.AD
12.x2+(y-1)2=5
13.(1,3)
14.3 3
15.【详解】(1)由题意有：设AB的中点为D(x,y)，所以x=4+02=2y=0+52=52，所以D2,52，
所以kCD=52-32-0=-14，所以y=-14x+3，即x+4y-12=0，
所以边AB上中线所在直线方程为x+4y-12=0；
(2)设边AB上高所在直线的斜率为k，
由题意有：kAB=0-54-0=-54，由k⋅kAB=-1，所以k=45，
所以y=45x+3，即4x-5y+15=0，
所以边AB上高所在直线的方程为4x-5y+15=0；
(3)由题意得直线AC的方程为x4+y3=1，即3x+4y-12=0，
直线BC的直线方程为：x=0，
设∠ACB的角平分线所在直线上任意一点坐标为(x,y)，
所以3x+4y-125=|x|，所以3x+4y-12=±5x，
即x-2y+6=0或2x+y-3=0，
又∠ACB的角平分线所在直线方程的斜率为正数，
所以∠ACB的角平分线所在直线方程为x-2y+6=0．

16.【详解】(1)取AD中点O，因为PD=PA= 5，所以PO⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD
所以PO⊥平面ABCD，OF,OA⊂平面ABCD，所以PO⊥OF,PO⊥OA
∵F为BD中点，∴OF//AB，∴OF⊥OA，
已知AD=4,∴PO=1，以O为原点，分别以OA,OF,OP所在直线分别为x,y,z轴建系如图，则
F(0,2,0),C(-2,4,0),P(0,0,1),E-1,2,12,EF⃗=1,0,-12，
因为PO⊥OF,OF⊥OA，OF,OA⊂平面PAD，OF∩OA=O，所以OF⊥平面PAD，
平面PAD的法向量可取OF⃗=(0,2,0)，
EF⋅OF=0,∴EF⊥OF，又EF⊄平面PAD,∴EF//平面PAD，得证；
(2)因为PO⊥平面ABCD，所以平面ABCD法向量可取OP⃗=(0,0,1)，记EF与平面ABCD成角θ，
则，因为θ∈0,π2，所以csθ=2 55，
即直线EF与平面ABCD所成角的余弦值为2 55．

17.【详解】(1)因为圆心C在直线2x+y-1=0上，可设圆心为C(a,1-2a)．
则点C到直线x+y=2的距离d=|-a-1| 2，据题意，d=|AC|，则|-a-1| 2= (a-2)2+(1-2a)2，
解得a=1.所以圆心为C(1,-1)，半径r=d= 2，则所求圆的方程是(x-1)2+(y+1)2=2．
(2)当k不存在时，得：直线l:x=0，代入圆C方程中解得：M(0,0)，N(0,-2)，
由于kCM⋅kCN=-1-01-0⋅-1-(-2)1-0=-1，所以CM⊥CN，符合题意；
当k存在时，设直线方程l:kx-y+1=0，
由于CM⊥CN，故▵CMN为等腰直角三角形，因此可得圆心到直线l的距离为1，
即|k+2| k2+1=1，∴k=-34，∴直线方程为3x+4y-4=0．
综上所述，直线方程为x=0或3x+4y-4=0．

18.【详解】(1)证明：取AD中点O，已知PA⊥PD,AD=4,∴OP=2,OP⊥AD，
又∵CA=CD=2 2，
∴OC⊥AD,OC=2,∵CP=2 2= OP2+OC2,∴OP⊥OC，
以O为原点，OC,OA,OP所在直线分别为x,y,z轴建系如图，
P(0,0,2),D(0,-2,0),A(0,2,0),B(1,2,0),DP=(0,2,2),AB=(1,0,0)，DP⋅AB=0,∴DP⊥AB，
又PD⊥AP，AB∩AP=A，AB⊂面PAB，AP⊂面PAB，
∴PD⊥面PAB，得证；
(2)由(1)坐标系，C(2,0,0),AC=(2,-2,0),DP=(0,2,2),csAC,DP=-42 2⋅2 2=-12，
记异面直线PD，AC成角θ,csθ=csAC,DP=12,θ∈0,π2,∴θ=π3．
(3)假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD成角余弦值 55，
由(1)坐标系，AP=(0,-2,2),AD=(0,-4,0)，
设PM=λPB=(λ,2λ,-2λ),λ∈[0,1]，
AM=AP+PM=(λ,2λ-2,2-2λ)，
设m=x2,y2,z2为平面ADM的一个法向量，
n⋅AM=0n⋅AD=0即λx+(2λ-2)y+(2-2λ)z=0-4y=0，取m=(2λ-2,0,λ)，
平面ABCD一个法向量OP=(0,0,2)，
设平面ADM与平面ABCD夹角α，csα=csm,OP=m⋅OPm⋅OP=|2λ|2⋅ (2λ-2)2+λ2= 55，
∴λ=12,∴PMPB=12．

19.【详解】(1)设线段AB的中点为(x,y),A(2x-6,2y-4)，
因为点A在圆(x+2)2+(y+4)2=16上，
所以(2x-4)2+4y2=16，化简得(x-2)2+y2=4，
所以曲线C的方程为(x-2)2+y2=4．
(2)因为CM⊥BM,CN⊥BN,
所以B,M,C,N四点共圆，圆心为B,C的中点(4,2)，半径为12|BC|=2 2，
即圆的方程为(x-4)2+(y-2)2=8，

直线MN是两圆公共弦所在直线，(x-2)2+y2=4(x-4)2+(y-2)2=8,
作差得x+y-3=0，所以直线MN所在的直线为x+y-3=0．
(3)设直线lEF:y=kx+t,Ex1,y1,Fx2,y2,x1x2≠0，
y=kx+t(x-2)2+y2=4，得1+k2x2+(2kt-4)x+t2=0,Δ=(2kt-4)2-4t21+k2>0，
即t2+4kt-4