山东省泰安市泰安第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份山东省泰安市泰安第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线的一个方向向量是( )
A.B.C.D.
2．直线,若,则的倾斜角是( )
A.B.C.D.
3．设x,,,,且,,则( )
A.B.C.3D.4
4．已知直线和平行,则实数 ( )
A.-2B.0C.2D.±2
5．已知空间向量,,满足,,,,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
6．在棱长为1的正方体中,E为的中点,则点到直线CE的距离为( )
A.B.C.D.
7．经过点作直线l,若直线l与连接,两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．在空间直角坐标系中,,,,点H在平面ABC内,则当取最小时,点H的坐标是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．若构成空间的一个基底,则下列向量可以作为空间的另一个基底的是( )
A.B.
C.D.
10．下列说法正确的是( )
A.直线在x轴上的截距是2
B.过的所有直线的方程均可设为
C.一条直线经过两点和,则该直线的倾斜角为0
D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为和
11．下列命题正确的是( )
A.空间中任意两个向量一定共面
B.已知向量,若,则为钝角
C.直线l的方向向量,平面的法向量,且,则
D.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
12．如图,四棱锥中,平面平面ABCD,侧面PAD是边长为的正三角形,底面ABCD为矩形,,点Q是PD的中点,则下列结论正确的是( )
A.平面PAD
B.PC与平面AQC所成角的余弦值为
C.B到平面AQC的距离为2
D.四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为
三、填空题
13．直线l经过点,且与直线平行,则l的方程为______________（请写出一般方程）.
14．若直线过一、三、四象限,则m的取值范围为______________.
15．如图,在平行四边形ABCD中,,,把沿对角线AC折起,使与夹角为,则=____________.
四、双空题
16．手工课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型,底边和侧棱长均为4,则该正四棱锥的高为__________;过点A作一个平面进行切割,分别交PB,PC,PD于点E、F、G,得到四棱锥,若,则的值为____________.
五、解答题
17．如图,三棱柱中,底面边长和侧棱长都等于1,.
（1）设,,,用向量,,表示,并求出的长度;
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
18．已知过点的直线l与x轴,y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,求面积的最小值及此时直线l的方程.
19．如图,在三棱柱中,四边形是边长为3的正方形,平面平面,,,
(1)求证：;
(2)在线段上确定点D,使得,并求三棱锥的体积.
20．在中,点,AB边上的高线所在直线的方程为,BC边上的中线所在直线的方程为,求边AC所在直线的一般式方程.
21．如图1,四边形ABCD为矩形,,E为AD的中点,将、分别沿BE、CE折起得图2,使得平面平面BCE,平面平面BCE.

(1)求证： 平面BCE;
(2)若F为线段BC的中点,求直线FA与平面ADE所成角的正弦值.
22．在多面体ABCDEF,平面ABCD为正方形,,,,二面角的平面角的余弦值为,且.
(1)证明：平面平面DCE;
(2)若,求平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析:直线的斜率,
直线的一个方向向量为.
故选:C.
2．答案：B
解析：因为直线,
所以,
又,
所以的斜率为,
因为倾斜角的范围,
所以的倾斜角为,
故选：B.
3．答案：C
解析：因为,,且,
所以,解得,
所以,
又因为,且,
所以,,
所以,
所以,
所以.
故选：C.
4．答案：A
解析：由题意,,
时,方程是,即,的方程是,两直线重合,舍去,
时,方程可化为,方程化为,平行.
故选：A.
5．答案：C
解析：设与的夹角为.由,得,两边平方,得,
所以,解得,又,所以,
故选：C.
6．答案：C
解析：建立空间直角坐标系,如图,
则,,,所以,,
所以在上的投影为,
所以点到直线EC的距离.
故选：C.
7．答案：D
解析：设直线l的斜率为k,直线l的倾斜角为,则,
因为直线PA的斜率为,直线PB的斜率为,
因为直线l经过点,且与线段AB总有公共点,
所以,即,
因为,
所以或,
故直线l的倾斜角的取值范围是.
故选：D.
8．答案：A
解析：由题意,在空间直角坐标系中,,,,
设,为平面ABC的法向量,
则,,,,
则,
令,则,故,
则点O到平面ABC的距离为,
,
所以,
则
又,,,
即,
所以,,代入
可得,
则,
所以,则
故选：A.
9．答案：BD
解析：A中,设,
可得,解得,则向量,b,共面,
所以不能作为空间基底,故A错误;
B中,设,
可得,此时方程组无解,
则向量,,不共面,则可以作为空间的一个基底,故B正确;
C中,设,
可得,解得,
则向量,,共面,
所以不能作为空间基底,故C错误;
D中,设,得,此方程组无解,
则向量,,不共面,所以可以作为空间的一个基底,故D正确.
故选：BD.
10．答案：CD
解析：对于A,在方程中,当时,,所以直线在x轴上的截距是-2,故错误;
对于B,过且斜率存在的所有直线均可用表示,故错误;
对于C,由题意设直线的倾斜角为,则有,所以,故正确;
对于D,当直线过坐标原点时,则有,即;
当直线不过坐标原点时,设直线方程为,代入,得,此时直线方程为,即,
所以满足条件的直线方程为和,故正确.
故选：CD.
11．答案：AC
解析：由共面向量的概念可知,空间中任意两个向量一定共面,故A正确;
当时,向量,则,
则,方向相反,,不是钝角,故B错误;
当时,,解得,故C正确;
直线与直线互相垂直,等价于,解得或,
由“”可以推出“直线与直线互相垂直”,
但 “直线与直线互相垂直”推不出“”,
则“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件,故D错误.
故选：AC.
12．答案：BCD
解析：A选项：取AD的中点O,BC的中点E,连接OE,OP,
因为三角形PAD为等边三角形,所以,
因为平面平面ABCD,所以平面ABCD,
因为,所以OD,OE,OP两两垂直,
所以,如图,以O为坐标原点,分别以OD,OE,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,
建立空间直角坐标系,则,,,,,
因为点Q是PD的中点,所以
设平面PAD的一个法向量为
,显然与不共线,
所以CQ与平面PAD不垂直,所以A不正确,
B选项,,,,
设平面AQC的法向量为,
,
令,则,所以
设PC与平面AQC所成角为,
则,
所以,所以B正确;
C选项：平面AQC的法向量为,,
则B到平面AQC的距离为,所以C正确;
D选项：设四棱锥外接球的球心为,则,
所以,
解得,即为矩形ABCD对角线的交点,
所以四棱锥外接球的半径为3,
设四棱锥外接球的内接正四面体为FGHK,棱长为x,
将正四面体FGHK补成正方体,其中正四面体的棱为正方体面的对角线,
故正方体的棱长为,因为正方体的对角线为球的直径,
所以,得,
所以正四面体的表面积为,所以D正确.
故选：BCD.
13．答案：
解析：由直线l与直线平行,可知直线l的斜率,
又直线l经过点,
则直线方程为,
整理得.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为直线方程为,即为,
又因为直线过一、三、四象限,
所以直线在y轴上的截距小于零,
即,解得,
所以m的取值范围为.
故答案为：.
15．答案：
解析：由题意得,其中,
故
,
故.
故答案为：.
16．答案：;
解析：设AC,BD交于点O,连接PO,
由于为正四棱锥,故PO为四棱锥的高,
由底边和侧棱长均为4可得,,
所以;
第二空,,
设,则,
由于A、E、F、G四点共面,故,解得,
故,则.
故答案为：;.
17．答案：（1）
（2）
解析:（1）,
因为,同理可得,
所以
（2）因为,所以,
因为,
所以.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
18．答案：面积的最小值为8,方程为
解析：由题意可知,直线l的斜率存在且不为零,且直线不过原点,
可设直线l的方程为,
因为直线过,所以,而,所以,
所以,当且仅当,即,时等号成立,
所以面积的最小值为8,此时直线l的方程为,即.
19．答案：(1)证明见解析
(2),体积为
解析：（1）证明：因为四边形为正方形,可得,
因为平面平面,平面平面,且平面,
所以平面ABC,
又因为平面ABC,所以.
（2）由（1）知,.
由题意知,,,所以.
以A为坐标原点,以AC,AB,所在直线分别为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
可得,,
假设是线段上一点,且,
可得,解得,,,
所以,
由,可得,解得,此时,
此时,
即三棱锥的体积为.
20．答案：
解析：设,因为C在高线上,所以①,
因为B、C中点在中线上,所以②,
联立①②解得,,所以,
设,由AB与高线垂直,及点A在中线上,
可知③,④,
联立③④解得,,所以,
所以AC所在直线的方程为：,化简得.
21．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）在图2中,取BE、CE的中点M、N,连接AM、DN、MN,
在图1中,,且E为AB的中点,则,所以,
又因为平面平面BCE,平面平面,平面ABE,
所以平面BCE,同理,平面BCE,所以.
又因为,所以四边形AMND为平行四边形,所以,
而平面BCE,平面BCE,所以平面BCE.
（2）在图1中,,,.
以点E为坐标原点,EB,EC所在的直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系,
设,则,,,,,
向量,
设平面ADE的法向量为
由,得,令,
得平面ADE的一个法向量为,
又,
设直线FA与平面ADE所成角为,
则,
所以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为.
22．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：（1）,,,
,即,
又在正方形ABCD中,,
且,平面EDC,平面EDC,
平面EDC,又平面ABCD,
平面平面EDC;
（2）由（1）知,是二面角的平面角,
作于点O,则,,且平面平面EDC,
平面平面,平面EDC,
平面ABCD,
取AB中点M,连接OM,则,
如图,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,,,
设平面CEF的一个法向量为,
则,取,
,,
设平面ABF的一个法向量为,
则,取,
,
令(且),则根据对勾函数的性质可得或,
,
;
当时,;
,
即平面ABF与平面CEF所成锐二面角的余弦值的取值范围为.