2025-2026学年山东省泰安市新泰市第一中学北校高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省泰安市新泰市第一中学北校高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线sin60∘x+cs30∘y+2=0的倾斜角是( )
A. 30∘B. 60∘C. 135∘D. 150∘
2.如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，则AB+BC+CC'=( )
A. A'CB. BDC. AC'D. B'D
3.经过点P(0,-1)作直线l，若直线l与连接A(1,-2)，B(2,1)两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是( )
A. [-1,1]B. (-1,1)
C. (-∞,-1)∪(1,+∞)D. [1,+∞)
4.已知点A(-3,8)和B(2,2)，在x轴上求一点M，使得|AM|+|BM|最小，则点M的坐标为( )
A. (-1,0)B. 0,225C. 225,0D. (1,0)
5.在空间直角坐标系中，向量a=(2,-1,m)，b=(-4,2,4)，下列结论正确的是( )
A. 若a→/\!/b→，则m=2
B. 若a=6，则m=5
C. 若为钝角，则m0,λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A(-2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|= 2|MB|，则下列说法正确的是( )
A. 圆方程为(x-6)2+y2=32B. 点M的轨迹围成区域的面积为32π
C. 点M的轨迹关于x-y-6=0对称D. 点(7,8)在圆内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(2,-1,3)关于x轴对称的点的坐标为 ．
13.已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E是AD的中点，则BA⋅CE= ．
14.已知点P(-2,2)，直线l:(λ+2)x-(λ+1)y-4λ-6=0，则点P到直线l的距离的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l1:2x-y+1=0和l2:x-y-2=0的交点为P．
(1)若直线l经过点P且与直线l3:4x-3y-5=0平行，求直线l的一般式方程；
(2)若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求▵OAB的面积．(其中O为坐标原点)．
16.(本小题15分)
如图，在▵ABC中，BC边上的高AD所在直线的方程为x-2y+2=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，点B的坐标为(1,3)．

(1)求直线BC的一般式方程；
(2)求直线AC的一般式方程及点C的坐标．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= 22a，设E,F分别为PC,BD的中点．
(1)证明：直线EF//平面PAD；
(2)求直线PB与平面ABCD所成的角的正切值．
18.(本小题17分)
已知A(2,-4),B(-2,-2)两点，直线l:x+4y-6=0．
(1)求线段AB的垂直平分线方程；
(2)若圆C过A,B两点，且圆心在直线l上，求圆C的标准方程．
19.(本小题17分)
在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π3，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点(如图1)将▵ACD沿AC折起到▵ACD'位置，使得平面D'AC⊥平面BAC(如图2)．
(1)求证：BC//平面POD'；
(2)求二面角A-BC-D'的大小；
(3)线段PD'上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD'所成角的余弦值为 588？若存在，求出PQPD'的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.D
5.D
6.C
7.A
8.A
9.ABC
10.AC
11.ABC
12.(2,1,-3)
13.1
14.[0,4 2)
15.【详解】(1)由2x-y+1=0x-y-2=0，解得x=-3y=-5，即得P(-3,-5)，
由l3:4x-3y-5=0可得其斜率为43，
故过点P且与直线l3平行的直线l的方程为y+5=43(x+3)，即4x-3y-3=0．
(2)

如图，设直线m的斜率为k(k≠0)，其方程为y+5=k(x+3)，
令x=0，可得y=3k-5，令y=0，可得x=5k-3，故A(5k-3,0)，B(0,3k-5)，
因P为线段AB的中点，则得5k-3=2×(-3)3k-5=2×(-5)，解得k=-53，
则A(-6,0)、B(0,-10)．
故▵OAB的面积为12⋅OA⋅OB=12×6×10=30．

16.【详解】(1)由BC边上的高AD所在直线的方程为x-2y+2=0，
即AD⊥BC，所以直线BC的斜率k=-2，
因为B的坐标为(1,3)，所以直线BC的方程为y-3=-2(x-1)，即2x+y-5=0；
(2)由直线AD的方程为x-2y+2=0，令y=0，可得x=-2，即A(-2,0)，
因为∠A的平分线所在直线的方程为y=0，所以直线AB与AC关于x轴对称，
又因为B(1,3)关于x轴的对称点为E(1,-3)，所以AC的斜率为kAE=-3-01-(-2)=-1，
所以直线AC的方程为y-0=-1×(x+2)，即x+y+2=0，
联立方程组x+y+2=02x+y-5=0，解得x=7,y=-9，即点C的坐标为(7,-9)．

17.【详解】(1)取AD中点O，连接PO,FO，
在四棱锥P-ABCD中，PA=PD= 22a，则PO⊥AD，
由PA2+PD2=AD2，则PA⊥PD，有PO=12AD=a2，
又平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，OA,OF⊂平面ABCD，则PO⊥OA,PO⊥OF，
又E,F分别为PC,BD的中点，底面ABCD是边长为a的正方形，
则OF//AB,AB⊥OA，
所以OA,OP,OF两两垂直，以O为原点，分别以OA,OF,OP所在直线为x轴，y轴，
z轴，建立空间直角坐标系，
P0,0,a2,Ba2,a,0,C-a2,a,0,E-a4,a2,a4,F0,a2,0,
则EF=a4,0,-a4，
因为OA⊥OF,OP⊥OF,OA∩OP=O，OA,OF⊂平面PAD，所以OF⊥平面PAD
所以平面PAD的法向量为OF=(0,a2,0)，
因为OF⋅EF=0，且EF⊄平面PAD，
所以EF//平面PAD；
(2)由(1)知：PB=a2,a,-a2，因为PO⊥平面ABCD，
所以OP=(0,0,a2)是平面ABCD的法向量，
设直线PB与平面ABCD所成的角为θ，
则sinθ=csPB,OP|=|PB⋅OPPBOP=a2 32a2= 66，
∴csθ= 1-( 66)2= 306，故tanθ= 55，
∴直线PB与平面ABCD所成的角的正切值为 55．

18.【详解】(1)因线段AB的斜率为kAB=-4-(-2)2-(-2)=-12，中点为M(2-22,-4-22)，即M(0,-3)，
则线段AB的垂直平分线的斜率k=2，故其方程为y+3=2x，即2x-y-3=0；
(2)设圆心坐标为C(a,b)，因为圆心在直线x+4y-6=0上，则a+4b-6=0①，
又圆C过A,B两点，则线段AB的垂直平分线必过圆心，由(1)可得2a-b-3=0②，
将①与②联立，解得a=2,b=1，则圆心为C(2,1)，圆的半径为r= (-2-2)2+(-2-1)2=5，
故圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=25．

19.【详解】(1)在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π3，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中点，
可得▵ADP为等边三角形，四边形DPBC为菱形，
故BC//OP，而OP⊂平面POD'，BC⊄平面POD'，
∴BC//平面POD'，
(2)由(1)得BC=2，∠ABC=π3，AB=4，故AC⊥BC，AC⊥DP，
而平面D'AC⊥平面BAC，平面D'AC∩平面BAC=AC，D'O⊂平面D'AC，D'O⊥AC，
∴D'O⊥平面BAC，
∴OA,OP,OD'两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则D'(0,0,1)，C(- 3,0,0)，B(- 3,2,0)，
D'C=(- 3,0,-1)，CB=(0,2,0)，
设平面BCD'的一个法向量为n=(x,y,z)，
则- 3x-z=02y=0，取x=1得n=(1,0,- 3)，
平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1)，
故csθ=|m⋅n||m|⋅|n|= 32，二面角A-BC-D'的大小为π6；
(3)设PQPD'=t,(0