2025-2026学年山东省淄博第六中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省淄博第六中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线2x-2y-6=0和直线x-y-1=0平行，则这两条平行线之间的距离为( )
A. 22B. 2C. 2 2D. 4 2
2.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，M为BC的中点，N为A1C1靠近A1的三等分点，设AB=a，AC=b，AA1=c，则用a→,b→,c→表示NM为( )
A. 12a+16b-cB. -12a+16b+c
C. 12a-16b-cD. -12a-16b+c
3.已知a=2,-1,2，b=-1,4,-3，c=4,5,λ，如a、b、c三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数λ为( )
A. 0B. 9C. 5D. 3
4.已知空间向量a=( 3,0,1),b=(12,0, 32)，则a在b上的投影向量的模为( )
A. 3B. 1C. 2D. 12
5.小明打算在周末约自己的crush一起出去玩.他精心准备了三种不同的约会方案：方案A(去游乐园)、方案B(看新上映的电影)、方案C(去郊外野餐).为了增加约到同学的成功率，小明决定每天随机选择一种方案去邀请同学，且选择每种方案的可能性均等.已知小明计划连续邀请同学3天(每天独立选择方案)，那么在这3天中，恰好有2天选择同一种约会方案(这2天方案相同，另1天方案不同)的概率是( )
A. 23B. 19C. 29D. 2249
6.已知n=-1,0,1为直线AB的一个方向向量，点A1,2,-1，P2,-1,2，则点P到直线AB的距离为( )．
A. 4B. 17C. 3 2D. 19
7.点(0,-1)到直线λx-y+λ=0(λ为任意实数)距离的最大值为( )
A. 22B. 1C. 2D. 2
8.黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力．对于A, B两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择A景点出游的概率为415，选择B景点出游的概率为215，A, B两个景点都不选的概率为710，则A, B两个景点都选的概率为( )
A. 115B. 110C. 215D. 415
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知PA=0.5，PB=0.3，则下列说法中正确的是( )
A. 若A，B互斥，则PA∪B=0.8B. 若A，B互斥，则PAB=0.15
C. 若A，B独立，则PA∪B=0.65D. 若A，B独立，则PAB=0.85
10.下列四个命题中正确的是( )
A. 过点3,1，且在x轴和y轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y-2=0；
B. 已知两条直线l1:3+tx+4y=5-3t,l2:2x+5+ty=8，若l1//l2，则t=-7；
C. 若直线kx-y-k-1=0和以M-3,1,N3,2为端点的线段相交，则实数k的取值范围为k≤-12或k≥32；
D. 若三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3-a不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合为-1,1．
11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足BP=λBC+μBB1，且0≤λ≤1,0≤μ≤1，则下列说法正确的是( )
A. 若λ+u=1，则AP//面A1C1D
B. 若λ+u=1，则AP⊥BC1
C. 若λ=μ=12，则P到平面A1BD的距离为23 3
D. 若λ=1,0≤μ≤1时，直线DP与平面A1BD所成角为θ，则sinθ∈ 33, 63
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一条光线经过点A2,3射到直线x+y+1=0上，被反射后经过点B1,1，则入射光线所在直线的方程为 ．
13.如图，二面角α-l-β的棱上有两个点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱l.若二面角α-l-β的平面角为π3，且AB=4，AC=6,BD=5，则CD= ．
14.联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为34和23，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对两个问题的概率为 ，“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A, B两部门的员工参加培训．
(1)已知该公司A, B部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间Ω，并求出事件“选取的2人全部来自A部门领导”的概率；
(2)此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为23, 23, 12，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率；
(3)从(1)中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到A部门领导且第二天选到B部门领导的概率.(无需过程，直接作答)
16.(本小题15分)
已知直线l的方程为2m+1x+m+1y-7m-4=0．
(1)求证：不论m为何值，直线l必过定点M；
(2)过点M的直线l1交坐标轴正半轴于A,B两点，当▵AOB面积最小时，求▵AOB的周长．
17.(本小题15分)
已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB/​/CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1．N是B1C1的中点，M是DD1的中点．
(1)求证D1N//平面CB1M；(此问传统立体几何方法和空间向量两种方法都可使用)
(2)求平面CB1M与平面BB1CC1所成二面角的余弦值；(此问使用空间向量的方法)
(3)求点B到平面CB1M的距离.(使用空间向量的方法)
18.(本小题17分)
临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试(前2 道题都答对或都答错，第3 道题均不需要回答).已知小明答对每道题目的概率均为35，小华答对每道题目的概率依次为23、23、12，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件A，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件B．
(1)求事件A发生的概率PA；
(2)求事件A和事件B同时发生的概率PAB；
(3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
19.(本小题17分)
如图，三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长为2，A1B=A1C= 2．
(1)求证：平面ABC⊥平面A1BC
(2)在线段B1C上是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC所成角的正弦值为3 3020？若存在求出CP的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.A
5.A
6.B
7.C
8.B
9.ACD
10.BC
11.ACD
12.5x-4y+2=0
13. 47
14.916 ； ； ； ； ；
；23
15.【详解】(1)记A部门的3名领导为a1,a2,a3，B部门的3名领导为b1,b2,b3，
从6名部门领导中随机选取2人负责，样本空间Ω为：
a1a2,a1a3,a2a3,a1b1,a1b2,a1b3,a2b1,a2b2,a2b3,a3b1,a3b2,a3b3,b1b2,b1b3,b2b3，共15种，
选取2人全部来自A部门领导的事件，不同结果有：a1a2,a1a3,a2a3，共3种，
所以全部来自A部门领导的概率为315=15．
(2)记C=“每位员工经过培训合格”，Ai=“每位员工第i轮培训达到优秀”(i=1,2,3)，
则P(A1)=P(A2)=23,P(A3)=12，C=A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3，
依题意，P(C)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)
=23×23×12+13×23×12+23×13×12+23×23×12=23，
所以每位员工经过培训合格的概率为23．
(3)由(1)知，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，共有15×2=30种，
记事件D：第一天选到A部门领导且第二天选到B部门领导，
则事件D包含：a1b1,a1b2,a1b3,a2b1,a2b2,a2b3,a3b1,a3b2,a3b3，共9种，
所以PD=930=310．

16.【详解】(1)由2m+1x+m+1y-7m-4=0可得，m2x+y-7+x+y-4=0，
令2x+y-7=0,x+y-4=0⇒x=3,y=1,所以直线l过定点M3,1．
(2)由(1)知，直线l1恒过定点M3,1，
由题意可设直线l1的方程为y-1=kx-3(k