2025-2026学年山东省淄博市临淄中学高二上学期10月月考数学试卷（五四制）（含答案）

这是一份2025-2026学年山东省淄博市临淄中学高二上学期10月月考数学试卷（五四制）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点P(-1,2,-3)关于xOy平面的对称点P'的坐标为( )
A. (1,2,-3)B. (-1,-2,-3)C. (-1,2,3)D. (1,-2,-3)
2.已知向量a=1,2,3,b=λ,-1,0，若a⊥b，则实数λ的值是( )
A. -2B. -12C. 12D. 2
3.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )
A. 0.42B. 0.12C. 0.18D. 0.28
4.已知向量a=2,1,1,b=9,x,y,a与5a-b共线，则a-b=( )
A. 7 62B. 6 3C. 9 62D. 8 3
5.已知空间中三点A(-1,0,0),B(0,1,-1),C(-2,-1,2)，则点C到直线AB的距离为( )
A. 63B. 62C. 33D. 32
6.若直线l的一个方向向量为a=1,-2,-1，平面α的一个法向量为b=5,2,1，则( )
A. l⊥αB. l//αC. l⊂αD. l//α或l⊂α
7.已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，且OM=xOA+yOB-OCx>0,y>0，若M,A,B,C四点共面，O不在该平面上，则4x+1y的最小值为( )
A. 4B. 5C. 92D. 9
8.某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下，累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲，乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都为12，则( )
A. 甲获得冠军的概率最大B. 甲与乙获得冠军的概率都比丙大
C. 丙获得冠军的概率最大D. 甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A,B为两个事件，且PA=0.5,PB=0.3，下列说法正确的有( )
A. 若A,B互斥，则PAB=0.15B. 若A,B互斥，则PA∪B=0.8
C. 若A,B独立，则PAB=0.15D. 若A,B独立，则PA∪B=0.65
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 已知两个向量a=(m,1,3),b=(-1,5,n)，且a//b，则mn=-3
B. 已知a=(0,1,1),b=(0,0,-1)，则b在a上的投影向量为0,-12,-12
C. 设{a,b,c}是空间的一个基底，则{a-b,b,c}也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点O，有OP=13OA+12OB-14OC，则P,A,B,C四点共面
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，E是棱CD上的动点，且DE=λDC0≤λ≤1.则下列结论正确的是( )
A. EB1⊥AD1
B. 点E到直线A1B1的距离为 2a
C. 直线AE与B1D1所成角的范围为π4,π2
D. 二面角E-A1B1-A的大小为π4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=2,-1,3，b=-1,k,-32，若向量a、b的夹角为钝角，则实数k的取值范围是 ．
13.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
14.如图，60∘的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=2,AC=3,BD=4，则CD长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=1,4,-2，b=-2,2,4．
(1)若c=12b，求cs的值；
(2)若ka+b//a-3b，求实数k的值．
16.(本小题15分)
如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120∘.设AB=a,AD=b,AA1=c．
(1)试用a,b,c 表示向量AC1，BD1，
(2)求AC1；
17.(本小题15分)
“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A，B，C的概率分别是12，14，18．
(1)若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；
(2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，点M，N分别为A1B和B1C1的中点．
(1)求异面直线A1B与NC所成角的余弦值；
(2)求A1B与平面NMC所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥S-ABC中，SA=SB=BC=AC= 5，SC=AB=2，E，F分别为AB，SC的中点．
(1)求直线BF与平面ABC所成角的正弦值；
(2)给出以下定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．根据以上定义可知，公垂线段的长度也可以看作是两条异面直线上任意两点连线的方向向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度．
请根据以上定义和理解，求异面直线SE，BF的距离d．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.A
6.D
7.C
8.C
9.BCD
10.ABC
11.ABD
12.-132,12∪12,+∞
13.310或0.3
14. 17
15.解：(1)由已知可得c=12b=-1,1,2，a=1,4,-2，
∴cs=a⋅cac=1×-1+4×1+-2×2 1+16+4× 1+1+4=-1 21 6=- 1442．
(2)ka+b=k-2,4k+2,-2k+4，a-3b=7,-2,-14，
∵ka+b//a-3b，∴存在实数m使得ka+b=ma-3b，
∴k-2=7m，4k+2=-2m，-2k+4=-14m，联立解得k=-13．

16.解：(1)AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c，
BD1=BC+CC1+C1D1=AD+AA1-AB=-a+b+c．
(2)因为AB⋅AD=a⋅b=0，
所以AB⋅AA1=a⋅c=1×2×(-12)=-1，
AD⋅AA1=b⋅c=1×2×-12=-1，
|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2 +2a⋅b+a⋅c+b⋅c
=1+1+4+20-1-1=2，
所以AC1= 2．

17.解：(1)设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”.
由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，所以P(D)=1-12-14-18=18．
所以P(C∪D)=P(C)+P(D)=18+18=14．
因此其得分低于4分的概率为14；
(2)设事件Ai，Bi，Ci，Di表示“”第i次被评定为等级A，B，C，D，i=1,2．
则“两次射击得分之和为8分”为事件B1B2∪A1C2∪A2C1，
且事件B1B2，A1C2，A2C1互斥，PB1B2=14×14=116，PA1C2=PA2C1=12×18=116，
所以两次射击得分之和为8分的概率P=PB1B2∪A1C2∪A2C1=PB1B2+PA1C2+PA2C1=116+116×2=316．

18.解：(1)证明：以点A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，于是B2,0,0，A10,0,2，C0,2,0，N1,1,2．
∴A1B⇀=2,0,-2，NC⇀=-1,1,-2，
设异面直线A1B与NC所成角为θ，则
csA1B⇀,NC⇀=A1B⇀⋅NC⇀A1B⇀⋅NC⇀ =2×-1+0×1+-2×-2 22+02+-22⋅ -12+22+-22= 36．
∴异面直线A1B与NC所成角的余弦值为 36．
(2)M1,0,1，A1B⇀=2,0,-2，NC⇀=-1,1,-2，MC⇀=-1,2,-1，
设n⇀=(x,y,z)是平面MNC的一个法向量，则
，取，
设向量A1B⇀和向量的夹角为φ，
则，
∴A1B与平面NMC所成角的正弦值为2 2211．

19.解：(1)连接EF，EC，由题知，SE是等腰三角形SAB底边AB上的中线，
∴AB⊥SE．
同理，AB⊥EC.∴AB⊥平面SEC，∴AB⊥EF．
同理，SC⊥平面ABF.
作EG⊥平面ABF，分别以EB，EF，EG为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由题知，SE=2，EF= 3，
∴A-1,0,0，B1,0,0，C0, 3,-1，E0,0,0，F0, 3,0，S0, 3,1．
设n=x,y,z是平面ABC的法向量，则
即2x=0x+ 3y-z=0，取n=0,1, 3.
csBF,n=BF⋅nBFn= 32⋅2= 34，
∴直线BF与平面ABC所成角的正弦值为 34.
(2)设m是异面直线SE，BF的公垂线的方向向量，
由，同(1)可求得m= 3,1,- 3.
由题知，异面直线SE，BF的距离等于EB在m方向上的投影向量的长度，即
d=EB⋅mm= 3 7= 217．
∴异面直线SE，BF的距离d= 217.