2025-2026学年天津市第四十五中学高二上学期阶段性考查（10月）数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年天津市第四十五中学高二上学期阶段性考查（10月）数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线过点(1,2)，(4,2+ 3)，则此直线的倾斜角是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
2.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且满足OM=2MA，点N为BC的中点，则MN=( )
A. 12a-23b+12cB. -23a+12b+12cC. 12a+12b-12cD. 23a+23b-12c
3.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为( )
A. 2 23B. 1C. 2D. 2 2
4.已知向量a=1,2,2，b=-2,1,1，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. -29,-49,-49B. 29,49,49C. -23,13,13D. 23,-13,-13
5.圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0与圆C2:x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.设x,y∈R，向量a=x,1,1，b=1,y,1，c=2,-4,2且a⊥c，b//c，则a+b=( )
A. 2 2B. 10C. 3D. 4
7.过点P-2,4作圆O：(x-2)2+(y-1)2=25的切线l，直线m：ax-3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为( )
A. 4B. 2C. 85D. 125
8.已知动直线y=kx-1+kk∈R与圆C:x2+y2-2x+4y-4=0(圆心为C)交于点A,B，则弦AB最短时，ΔABC的面积为( )
A. 3B. 6C. 5D. 2 5
9.已知OA=1,2,3，OB=2,1,2，OP=1,1,2，O为坐标原点，点Q在直线OP上运动，则当QA⋅QB取得最小值时，点Q的坐标为( )
A. 12,34,13B. 12,32,34C. 43,43,83D. 43,43,73
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知向量a=2,0,2，b=0,2,-1，c=3,4,m，若向量a，b，c共面，则实数m的值为 ．
11.如图，正方体的棱长为1，点M是线段DD1的中点，点N是线段A1M上的动点，下列结论中正确的序号是 ．
①存在点N，使AN//平面C1BD；
②存在点N，使DN⊥平面C1BD；
③存在点N，使点N到平面C1BD的距离等于1．
12.已知入射光线经过点M(-3,4)，被直线l：x-y+3=0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为 ．
13.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，D为AC的中点，AB=BB1=2，∠ABB1=∠CBB1=120 ∘，则异面直线BD与AB1所成角的余弦值为 ．
14.已知圆E:x2+y2-2x-6y+6=0,点P是直线l:x+2y+3=0上的一点，过点P作圆E的两条切线，切点分别为A,B，则当PE⋅AB取得最小值时，直线AB的方程为 ．
15.已知直线y=kx-2与曲线 1-(y-1)2=|x|-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ．
三、解答题：本题共4小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱AA1的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱BC的中点．
(1)证明：BD1//平面C1DE；
(2)求平面C1DE与平面ABCD的夹角的正切值；
17.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线x- 3y-4=0相切．
(Ⅰ)求圆O的方程；
(Ⅱ)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2 3，求直线MN的方程．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE//CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．
(1)求A到平面PBC的距离；
(2)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值；
(3)在线段PE上是否存在点M，使得DM//平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．
19.(本小题13分)
如图，圆M:(x-2)2+y2=1，点P(-1,t)为直线l:x=-1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．
(1)若t=1，求切线所在直线方程；
(2)求AB的最小值；
(3)若两条切线PA,PB与y轴分别交于S、T两点，求ST的最小值．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.C
5.D
6.C
7.A
8.D
9.C
10.1
11.① ③
12.6x-y-6=0
13.56
14.x+2y-5=0
15.-2,-43∪43,2
16.解：(1)根据题意，建立以D为原点，
分别以DA,DC,DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向得空间直角坐标系D-xyz，
因为侧棱AA1的长为3，底面ABCD是边长为2的正方形，
所以B2,2,0，C0,2,0，C10,2,3，D10,0,3，
因为E是棱BC的中点，
所以E1,2,0，
所以DC1=0,2,3，DE=1,2,0，BD1=-2,-2,3，
设平面C1DE的一个法向量为n=x,y,z，
所以n⋅DE=0n⋅DC1=0⇒x+2y=02y+3z=0，令y=-3，得x=6,z=2，
所以n=6,-3,2，
因为n⋅BD1=-12+6+6=0，所以n⊥BD1，
因为BD1⊄平面C1DE，所以BD1//平面C1DE．
(2)由(1)得平面C1DE的一个法向量为n=6,-3,2，
由题可设平面ABCD的一个法向量为m=0,0,1，
所以csm,n=m⋅nm⋅n=2 36+9+4×1=27，
所以sinm,n=3 57，
所以tanm,n=3 52，
所以平面C1DE与平面ABCD的夹角的正切值为3 52．

17.解：(Ⅰ)依题意知圆O的半径r等于原点O到直线x- 3y=4的距离，即r=4 1+3=2，
所以圆O的方程为x2+y2=4.
(Ⅱ)由题意，可设直线MN的方程为2x-y+m=0，
则圆心O到直线MN的距离d=|m| 5.
故m25+( 3)2=22，即m=± 5．
所以直线MN的方程为2x-y+ 5=0或2x-y- 5=0．

18.解：(1)因为平面PAD⊥平面ABCD，BE⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BE⊥平面PAD，
作Ez⊥AD，以E为原点，以EB，ED的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，

则点E(0,0,0)，P(0,-2,2)，A(0,-2,0)，B(2,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，
所以PB=(2,2,-2)，BC=(-1,2,0)，PE=(0,2,-2)，AP=(0,0,2)
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，
所以n⋅PB=0n⋅BC=0，即x+y-z=0-x+2y=0,y=1，解得n=(2,1,3)，
A到平面PBC的距离为d=AP⋅nn=6 14=3 147
(2)由(1)知，平面PBC的法向量为n=(2,1,3)，
设直线PE与平面PBC所成角为θ，
则直线PE与平面PBC所成角的正弦值为：
sinθ=|cs|=PE⋅nPE⋅n=4 8× 14= 77．
所以直线PE与平面PBC所成角的正弦值为 77
(3)“线段PE上存在点M，使得DM//平面PBC”等价于“DM⋅n=0”.
因为PE=(0,2,-2)，设PM=λPE=(0,2λ,-2λ)，λ∈0,1，
则M(0,2λ-2,2-2λ)，DM=(0,2λ-4,2-2λ)．
由(2)知平面PBC的法向量为n=(2,1,3)，
所以DM⋅n=2λ-4+6-6λ=0.解得λ=12．
所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM//平面PBC．

19.解：(1)由题意，切线斜率存在，可设切线方程为y-1=kx+1，即kx-y+k+1=0，
则圆心M到切线的距离d=3k+1 k2+1=1，解得k=0或-34，
故所求切线方程为y=1，3x+4y-1=0；
(2)连接PM,AB交于点N，
设∠MPA=∠MAN=θ，则AB=2AMcsθ=2csθ，
在RtΔMAP中，sinθ=AMPM=1PM，
∵PM≥3，∴sinθmax=13，∴csθmin=2 23，∴ABmin=4 23；
(3)设切线方程为y-t=kx+1，即kx-y+k+t=0，PA,PB的斜率为k1,k2，
故圆心M到切线的距离d=3k+t k2+1=1，得8k2+6kt+t2-1=0，
∴k1+k2=-34t，k1k2=t2-18，
在切线方程中令x=0可得y=k+t，
故ST=k1+t-k2+t=k1-k2= k1+k22-4k1k2= t2+84，
∴STmin= 22，此时t=0，故ST的最小值为 22．