2024-2025学年天津市高二上册10月月考数学阶段检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年天津市高二上册10月月考数学阶段检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， 若双曲线， 椭圆的焦距是______等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A B. C. D.
2. 与直线关于坐标原点对称直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知圆 圆 则这两圆的圆心距为（ ）
A. 5B. 25C. 10D.
4. 已知直线与直线平行，则实数的值是（ ）
A. B. C. 或D. 不存在
5. 若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （ ）
A. B. 或
C. D.
7. 若双曲线（k为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 16
8. 已知直线，且与以点，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 （ ）
A. B.
C. D.
9. 已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 （ ）
A 3B. C. D. 6
二.填空题（每小题4分，共计 24分）
10. 椭圆的焦距是______.
11. 已知双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于______.
12. 经过点，且在轴、轴上的截距相等的直线方程是________.
13. 已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是______.
14. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为_____________.
15. 如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为___
16. 求经过直线，的交点，且满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点；
（2）与直线平行；
（3）与直线垂直.
17. 如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦.
（1）当时，求的长;
（2）当弦被点平分时，写出所在直线的方程；
（3）当时，写出所在的直线的方程.
18. 已知椭圆的离心率是椭圆的一个顶点为，直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆标准方程；
（2）若线段的中点的横坐标为求直线的斜率以及弦长AB
2024-2025学年天津市高二上学期10月月考数学阶段检测试题
一. 选择题 （每小题4分，共计36分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角
【详解】解：设直线的倾斜角为，
由直线可知其斜率为，
所以，
因为，
所以，
故选：B
此题考查由直线方程求直线的倾斜角，属于基础题.
2. 与直线关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】
设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
【详解】设所求对称直线上任意一点坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即.
故选：D.
本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题.
3. 已知圆 圆 则这两圆的圆心距为（ ）
A. 5B. 25C. 10D.
【正确答案】A
【分析】利用圆的标准方程来确定圆心坐标，利用两点间距离公式，来求出圆心距即可.
【详解】由圆 可得圆心坐标为，
由圆 整理得：，可得圆心坐标为，
所以两圆的圆心距为，
故选：A.
4. 已知直线与直线平行，则实数的值是（ ）
A. B. C. 或D. 不存在
【正确答案】C
【分析】先判断两条直线的斜率都存在，再根据两条直线平行的关系，得到的方程，从而解得的值.
【详解】因为直线，互相平行
则两直线的斜率都应存在，
所以由两直线平行得到
，
解得或，
故选：C
5. 若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先求得，由此求得椭圆的离心率.
【详解】由于椭圆经过点，且焦点分别为和，
所以椭圆的焦点在轴上，且，
所以椭圆的离心率为.
故选：C
6. 已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （ ）
A. B. 或
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据双曲线的概念，解不等式2+mm+1>0即可.
【详解】因为方程 表示双曲线，所以2+mm+1>0，
解得或.
故选：B
7. 若双曲线（k为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是（ ）
A. 6B. 8C. 12D. 16
【正确答案】B
【分析】根据题意得到，进而根据离心率求出k，而后得到b,最后求出答案.
【详解】由题意，，则，双曲线的离心率，所以，，即虚轴长为8.
故选：B.
8. 已知直线，且与以点，为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围为 （ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】结合图象，求出端点处的斜率，从而求出函数的斜率的取值范围即可.
【详解】
直线恒过定点，
直线过点时，设直线的斜率为，
所以，
直线过点时，设直线的斜率为，
所以，
要使直线与线段有公共点，
则直线的斜率的取值范围为.
故选.
9. 已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 （ ）
A. 3B. C. D. 6
【正确答案】B
【分析】由渐近线的斜率和焦点坐标，解出，进而求出顶点坐标与渐近线方程，再根据距离公式求解即可.
【详解】依题意可知，，，
因为，所以，所以，，
所以双曲线的一个顶点为，一条渐近线方程为，
由双曲线的对称性可知，双曲线的顶点到渐近线的距离为.
故选：B
二.填空题（每小题4分，共计 24分）
10. 椭圆的焦距是______.
【正确答案】
【分析】
根据椭圆中，，的数量关系求解．
【详解】解：椭圆的焦距是．
故．
本题考查了椭圆中，，的数量关系，属于基础题．
11. 已知双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于______.
【正确答案】
【分析】根据双曲线的定义即可求解
【详解】因为双曲线的标准方程为，
所以，，所以，，.
由双曲线的定义可知，令，则.
故
12. 经过点，且在轴、轴上的截距相等的直线方程是________.
【正确答案】或
【分析】分截距为和截距不为两种情况，分别设出直线方程代入点的坐标即可求解.
【详解】当截距时，设所求直线为，
因为直线过点，所以，
所以，所以所求直线方程为，
当截距不为时，设所求直线方程为，
因为直线过点，所以，
所以所求直线方程为，
综上，所求直线方程为或.
故或.
13. 已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是______.
【正确答案】.
【分析】设圆心坐标为,根据、两点在圆上利用两点的距离公式建立关于的方程，解出值.从而算出圆的圆心和半径，可得圆的方程.
【详解】设圆心坐标为,点和在圆上，
，即，解之得，可得圆心为.
半径,圆的方程为.
故答案为.
本题考查圆方程的求解，关键在于设出圆心的坐标，由圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径，建立方程，属于基础题.
14. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为_____________.
【正确答案】
【详解】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，
显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．
圆心到直线的距离为：,
切线长的最小值为：故本题正确答案为.
15. 如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为___
【正确答案】
【分析】利用线段的中垂线性质，即可推导出动点到两定点的距离之和为定值，所以动点轨迹是椭圆，即可出椭圆方程.
【详解】
连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得，
则有，
所以点M 的轨迹是以为焦点，以5为长轴长的椭圆，
则，即，
所以点M 的轨迹方程为：，即，
故答案为.
16. 求经过直线，的交点，且满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点；
（2）与直线平行；
（3）与直线垂直.
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）把两条直线的方程联立方程组，则方程组的解即为交点的坐标，再用两点式求出直线的方程.
（2）由题意利用两条直线平行的性质，用待定系数法求出直线的方程.
（3）由题意利用两条直线垂直性质，用待定系数法求出直线的方程.
【详解】（1）由，求得，可得直线，的交点.
直线还经过点，故它的方程为，即.
（2）根据所求直线与直线平行，可设它的方程为，
再把点代入，可得，求得，故所求的直线的方程为.
（3）根据所求直线与直线垂直，可设它的方程为，
再把点代入，可得，求得，故所求的直线的方程为.
17. 如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦.
（1）当时，求的长;
（2）当弦被点平分时，写出所在的直线的方程；
（3）当时，写出所在的直线的方程.
【正确答案】（1）
（2）
（3）或
【分析】（1）根据直线倾斜角求出直线斜率，利用点斜式求直线方程即可；
（2）根据题意，确定圆心与的连线与直线垂直，利用两点坐标求出圆心与连线的斜率，在利用垂直关系求出直线的斜率，最后利用点斜式求直线方程即可；
（3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，若斜率不存在，写出直线的方程即可判断是否符合题意；若斜率存在设为为，再结合，利用弦心距、半径、弦长的关系列出方程解方程即可求出，最后利用点斜式求直线方程即可；
【小问1详解】
当时，直线的斜率为，又直线过，
所以直线的方程为，整理有；
根据圆的方程为，得圆心，半径，
设圆心到直线距离为，则，
所以.
【小问2详解】
设直线的斜率为，圆心与连线的斜率为，，
因为弦被点平分，所以圆心与的连线与直线垂直，所以，
即，解得，此时直线的方程为，
整理有.
【小问3详解】
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离为，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，此时直线方程为，
整理有，圆心到直线的距离，
因为，所以有，整理有，
即，解得，所以直线的方程为，
即；
综上所述当时，写出所在直线的方程为或.
18. 已知椭圆的离心率是椭圆的一个顶点为，直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若线段的中点的横坐标为求直线的斜率以及弦长AB
【正确答案】（1）；
（2），
【分析】（1）由题意可得，再由求解即可；
（2）根据题意可得中点的纵坐标为，将两点坐标代入椭圆方程作差，结合中点坐标公式及斜率公式，即可求得的值；联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可.
【小问1详解】
解：因为椭圆的一个顶点为，离心率是
所以，解得，
又因为，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
解：由题意可得，
两式相减，得，
所以，
又因为线段的中点的横坐标为
所以，
且中点的纵坐标为，
所以，
所以，
所以
又因为，
所以，
所以，
又因为，所以；
所以直线，
由，可得，
所以，
所以.
方法点睛：直线与圆锥曲线交相，涉及中点坐标时，经常采用点差法求解更简单些.