福建省厦门市外国语学校石狮分校2025-2026学年上学期九年级数学10月份月考考试卷

这是一份福建省厦门市外国语学校石狮分校2025-2026学年上学期九年级数学10月份月考考试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：二次根式有意义，
，
，
故选：．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式是被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义，逐一分析每个选项是否符合．
【详解】解：是最简二次根式，故选项A符合题意；
∵，
∴不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
∵，
∴不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
∵，
∴不是最简二次根式，故选项D不符合题意；
故选：A．
3．下列方程为一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟知一元二次方程的概念是正确解答此题的关键．
判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，据此解答即可．
【详解】解：A、未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意；
B、不是整式方程，故选项错误，不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故选项正确；
D、方程含有两个未知数，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
4．已知线段a，b，c，d是成比例线段，，，，则线段d的长是（ ）
A．1B．2C．3D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查了成比例线段，
根据成比例线段可得，再代入数值计算得出答案.
【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，
∴.
∵，
∴，
解得.
故选：D.
5．如果，那么的值是（ ）
A．5B．1C．D．
【答案】C
【分析】由可得，将代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查分式化简求值，解题的关键是能够用含x的代数式表示y，或用含y的代数式表示x．
6．用配方法解方程时，配方后得到的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将原方程进行移项，再通过配方得到完全平方公式，即可得到答案．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程的步骤，掌握配方法是解题的关键．
7．“握手”是日常生活中表达友好的一种方式，亚运会赛场上，赛前运动员也会相互握手，若某项比赛有名运动员相互握手，一共握手了45次，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，每名运动员都要与其他名运动员握手一次，但每对握手会被重复计算两次，因此总握手次数应为．根据题意，总次数为45次，由此建立方程．
【详解】解：设有名运动员，每名运动员需与其他名运动员握手，共产生次握手．由于每对握手被计算了两次，实际总握手次数为．
根据题意，总次数为45次，因此方程为；
故选C．
8．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键．
已知比例式，利用比例的基本性质和合比定理分析各选项是否成立．
【详解】解：A、，
交叉相乘得，但原式交叉相乘为，两者不一定相等，故A不成立，不符合题意；
B、，
若，设，则，，代入得，等式成立，故B正确，符合题意；
C、，
需满足，即或，但原式无法推出，故C不成立，不符合题意；
D、，
若，假设，，，，得，故D不成立，不符合题意；
故选：B．
9．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得，根据一元二次方程根的定义得，由，整体代入求解即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
10．已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a的个数是（ ）个
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】本题考查了方程整数解的求法，解题的关键是理解题意，分类讨论，正确计算．根据题意分类讨论：当时，原方程为，解得，；②当时，原方程可整理为：，则和的解是方程的根，即是方程的整数根，且x是整数，则或，进行计算即可得．
【详解】解：∵的根都是整数，
∴①当时，原方程为，
解得，；
②当时，原方程可整理为：，
则或，
即是方程的整数根，且x是整数，
则或，
解得，，，，，
综上，满足条件的整数的值为1，0，2，，3，共5个；
故选：C．
二、填空题
11．计算： ．
【答案】1
【分析】先化简二次根式，再计算减法．
【详解】解：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的性质．
12．如果关于的方程有实数根，那么实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根据一元二次方程根的情况求参数的方法．
方程有实数根，即根的判别式．
【详解】解：方程有实数根，
，
．
故答案为：．
13．已知，，则的值为
【答案】
【分析】根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：，，则，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
14．如图，是平行四边形边的延长线上一点，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得到，易证，由相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
即．
故答案为：．
15．已知实数m，n满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定是方程的两个根、掌握根与系数的关系是解题的关键．由两个方程的形式可知，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到与的数量关系再计算即可．
【详解】解：，
，
是方程的两个根，
∴，
∴，
故答案为：．
16．对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的有 ．
①存在实数使成立，则的取值范围是；②若，则；③若且，，则或；④存在整数、，使成立
【答案】①③/③①
【分析】本题考查不等式的解集，涉及一元二次方程根的判别式，不等式，代数式的值等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式及代数式的变形．由，得，根据，得，可判断①正确；由，得与同号，可判断②错误；由，则可得或，当时，，当时，，可判断③正确；若，可得或，由y为整数，知x不是整数，可判断④错误．
【详解】解：若，则，即，
∵存在实数x使成立，
∴有实数根，即，
∴，
解得，故①正确，符合题意；
若，则，
∴，
∴与同号，
∴或，故②错误，不符合题意；
若，则；
∴，
∴或，
当时，，
当时，，
∴③正确，符合题意；
若，则，
∴，
∴，
∴，
即或，
若y为整数，则x不是整数，
∴不存在整数x、y，使成立，故④错误，不符合题意；
∴正确的有①③，
故答案为：①③．
三、解答题
17．计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式根据零指数幂运算法则、绝对值的代数意义和算术平方根的意义化简各项后再合并即可．
【详解】解：
．
18．解方程：．
【答案】，．
【分析】本题主要考查了分解因式法解一元二次方程，首先把一元二次方程分解因式，可得：，根据两数乘积为，这两数中至少有一个数为，可得两个关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得到一元二次方程的解．
【详解】解：，
分解因式可得：，
或，
解得：，．
19．已知关于的一元二次方程.
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值.
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，及根与系数的关系．
（1）计算一元二次方程根的判别式得，根据“当时，一元二次方程有两个不相等的实数根”即可得证得结论；
（2）根据一元二次方程的跟与系数的关系，得，，然后利用完全平方公式变形，求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，恒成立，与无关，
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：，为方程的两个实数根，
，，
，
解得，．
20．已知a，b，c，d为四个不为0的数．
(1)如果，求与的值；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】本题主要考查了比例的性质：
（1）先根据已知条件得到，再分别代入进行求解即可；
（2）设，则，，再代入计算即可证明结论成立．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：设，则，，
∴，，
∴．
21．如图，在平行四边形中，点在边上．
(1)过点作的平行线交于点、交的延长线于点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据同位角相等，两直线平行，即可作出图形；
（2）由四边形是平行四边形，得到，根据相似三角形的性质得，即可得，于是得到结论．
【详解】（1）解：如图，作，则即为所求；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，即
∴，
∴，
∴．
22．龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【答案】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔每个售价应定为50元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得（不合题意，舍去）
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
，所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
23．在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，的长度等于？
(2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或2时，；
(2)存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析
(3)
【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键：
（1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可；
（2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可；
（3）将的面积转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴当时，，
解得：或；
（2）存在，理由如下：
∵五边形的面积，
∴当五边形的面积等于时，，
解得：或，
∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，
∴当点到达点时，，
∴，
∴当时，五边形的面积等于；
（3）存在，
∵，
∵，
∴当时，的面积最大为．
24．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
【答案】(1)
(2)
(3)这四个连续正整数为1，2，3，4
【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解，
（2）设，则，或，由，得，即可求解，
（3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解，
本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．
【详解】（1）解：设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（2）解：设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（3）解：设最小正整数为x，则，即：，
设，则，
解得：，，
∵x为正整数，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．
25．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)求衍生点M的轨迹的解析式；
(3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围；
(4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想及数形结合的思想解决问题．
（1）依据题意，关于x的一元二次方程为，计算判别式，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由可得，故，，则该一元二次方程的衍生点，再令，进而可以得解；
（3）依据题意，结合图象，直线与x轴交于点A，可得，又M在直线上，可得在直线上，刚好和的边交于点（，又令，则，从而，结合，进而可以得解；
（4）依据题意，由直线，过定点，从而两个根为再由根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，
解得：，，
方程的衍生点为．
令，，
∴；
（3）解：如图，直线与x轴交于点A，
当，则，
∴
∴，
又M在直线上，
∴在直线上，刚好和的边交于点．
令，则，
∴，
∴．
∴；
（4）解：由题意，∵直线，
∴过定点，
∴两个根为，
∴，
∴
∴，即．