浙江省杭州市第二中学2026届高三上学期10月月考数学试卷

这是一份浙江省杭州市第二中学2026届高三上学期10月月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数2i−1的实部是()
A. 1B. −1C. 2D. 2i
1
?
3
2. 2?−
的展开式中?的系数是()
A. −6B. 6C. −12D. 12
“集合?、?满足：? ∩ ? = ?”的一个充要条件是()
A. ? ⊆ ?B. ? ⊆ (? ∩ ?)C. ? ∪ ? = ?D. ? ∪ ? = ?
已知cs? +
2
3
π
4
= 5，则cs? = ()
7 2
27 2
2或7 2
1010
1010
1010
−或
5.已知函数?(?)是定义在?上的奇函数，且满足?(? + 2) + ?(?) = 0.当? ∈ [−2,0]时，?(?) =−?2−2?，则当
? ∈ [4,6]时，?(?)的最大值为()
A. 2B. 1C. −1D. 0
6.已知圆?：?2 + ?2 = 16，直线?：4? + 3?−12 = 0，点?(−3,0)，点?在圆?上运动，点?满足?? = ??
+ ??(?为坐标原点)，则点?到直线?距离的最大值为()
A. 44
5
7
B. 8C. 39
5
D. 24
5
4
4
.某个圆锥容器的轴截面是边长为 的等边三角形，一个表面积为
3
π的小球在该容器内自由运动，则小球
能接触到的圆锥容器内壁总面积为()
A. 4πB. 5πC. 6πD. 7π
e
8.若??2−?e?2 + ln? + ? ≤ 0对任意? > 0均成立，则?的最大值为()
A. 1B. e
2
C.
D. 1
e
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
π
3
9.已知函数?(?) = 2sin 2?−，则()
A. ?(?)的值域为[−2,2]
3
B. ?(?)的图象关于点 π ,0 对称
C. ?(?)在区间0,
D.
上单调递增
π
4
π
?(?)的图象可由曲线? = 2sin2?向右平移6个单位得到
已知首项为正数的等差数列{??}的前?项和为??，若(?25−?21)(?25−?22) < 0，则()
?23 + ?24 < 0
?21 < ?25 < ?22
当?? < 0时，?的最小值为47
?1 + ?2 + ⋅⋅⋅ + ?23 < ?24 + ?25 + ⋅⋅⋅ + ?46
11.已知平面上一点?到点?1(−1,0)，?2(1,0)的距离满足||??1|−|??2|| = 2|??1| ⋅ |??2|，设点?的运动轨迹为曲线?，则下列结论正确的是()
曲线?关于原点对称
|??1| ⋅ |??2| ≤ 1
点?横坐标的取值范围是[− 2, 2]
2
当点?不在坐标轴上时，点?在椭圆?2 + ?2 = 1内部
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知?? = (1,2)，?? = (3,1)，则∠??? = ．
13.已知函数?(?) = ?′(0)e−?−e2?，则?(0) = ．
14.某班5位同学参加3项跑步比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有种.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
售出水量?(单位：箱)
7
6
6
5
6
收益?(单位：元)
165
142
148
125
150
某校倡导学生为特困生捐款，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
(1)求收益?关于售出水量?的回归直线方程，并计算售出8箱水时的预计收益；
(2)学校决定将收益奖励给品学兼优的特困生，获奖学生每人奖励300元.已知甲、乙两名学生是否获奖是相
3
互独立的，甲获奖的概率为
5
2
，乙获奖的概率为
3
，求甲、乙两名学生获奖总金额?的分布列及数学期望．
∑?
附：? =
? ? −???
∑5 ?
∑5 ?2
?
?=1 ? ?
，? = ?−??，? = 6，? = 146，
?=1
??
= 4420，
?=1
? = 182．
∑
?
?=1
?2 −??2?
16.(本小题15分)
在????中，内角?，?，?的对边分别为?，?，?.已知2??sin? =3(?2 + ?2−?2)．
(1)求?；
(2)若? = 3，点?在边??上，?? = 2??，求????面积的最大值．
17.(本小题15分)
?
已知正项数列{??}的前?项和为??，且4?? = ?2 +2??．
(−1)?
??+1− ??
(1)求{??}的通项公式；
(2)若??
=
，记数列{??
}的前?项和为??
，求?
120．
18.(本小题17分)
3
2
3
2
已知椭圆?：?2 + ?2 = 1(? > ? > 0)经过点 −1,和3,−．
?2
?2
(1)求椭圆?的方程；
(2)设椭圆?的左焦点为?，点?，?是椭圆?上的两个动点，直线??的斜率存在并且不为0．
(?)若直线??，??关于?轴对称，证明：直线??过定点；
(??)若?为坐标原点，?为椭圆?的右顶点，直线??过点?(−2,2)，直线??与直线??，??分别交于点?，
?
，求|??|．
|??|
19.(本小题17分)
设函数?(?) = tan?−sin?−??3．
(1)求曲线?(?)在? = 0处的切线方程；
π
2
(2)若对任意? ∈ 0,，都有?(?) ≥ 0，求?的最大值；
(3)已知数列{??}满足：①?
= ?1+?? ；②? ,? , ⋅⋅⋅ ,?
均大于0，?
< 0.设?
= ?
??
?2+1
?
−，求
证：?1
+ ?2
+ ⋅⋅⋅ + ?2025
?+1
>
π3．
4
1−?1??
?(?+1)
2
2
1 29999
10000
??
附：13 + 23 + ⋅⋅⋅ + ?3 =．
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
4
π
−2
180
^∑5
?? ??−5??
参考答案
4420−5×6×146
?
【详解】(1)依题意可得? =
?=1
∑
5
?=1
?2 −5?2 =
182−5×62
= 20，? = ?−?? = 146−20 × 6 = 26，
所以回归直线方程为? = 20? + 26，
当? = 8时，? = 20 × 8 + 26 = 186(元)，即某天售出8箱水的预计收益是186元． (2)获奖总金额?的值为0,300,600，
32
记甲获奖为事件?，乙获奖为事件?，根据题意可得?(?) = 5,?(?) = 3，
所以?(? = 0) = ?(?)?(?) = 1−
2
3
5
2
3
=
1−，
15
3
5
2
3
?(? = 300) = ?(?)?(?) + ?(?)?(?) = 1−
21−
3 7 ，
× 3 +× 5 = 15
3262
?(? = 600) = ?(?)?(?) = 5 × 3 = 15 = 5，
所以总金额?的分布列为：
?
0
300
600
?
2
7
2
15
15
5
所以?(?) = 0 × 2 +300 × 7 +600 × 2 = 380(元)．
15155
16.【详解】(1)由余弦定理有：?2 + ?2−?2 = 2??cs?，又由2??sin? = 3(?2 + ?2−?2)有：?sin? = 3?cs?，由正弦定理有：sin?sin? = 3sin?cs?，
又0 < ? 0，
所以sin? = 3cs?，即tan? = 3，又0 < ? 0，所以?? + ??−1 > 0，
则??−??−1−2 = 0，即??−??−1 = 2，
所以数列{??}为2为首项，2为公差的等差数列，则?? = 2 + (?−1) × 2 = 2?．
(2)由??
=(−1)?
=(−1)?=，
??+1− ??
2(?+1)− 2?
(−1)?⋅2(?+1)+ 2?
240
2
2
则?120 = − 4+ 2 + 6+ 4 − 8+ 6 +⋯− 240+ 238 + 242+
= − 2+ 242 = 5 2．
2
18.【详解】(1)将 −1,
?2 = 4
和3,−
3
2
3
2
?2
代入可得
?2
+ 9
1
?2
3
?2
4?2
+ 3
4?2
= 1
= 1,
解得 ?2 = 3，故椭圆?的方程为 4 + 3 = 1；
(2)(?)设直线??的方程为? = ?? + ?，
联立?2 + ?2 = 1得(3 + 4?2)?2 +8??? + 4?2−12 = 0，
43
? = 64?2?2−4(3 + 4?2)(4?2−12) > 0，故4?2−?2 +3 > 0，设?(?1,?1),?(?2,?2)，
故?
+ ?
= 8?? ,? ?
= 4?2−12，
12−3+4?2 1 2
3+4?2
直线??，??关于?轴对称，设?关于?轴对称点为?′，则?′(?2,−?2)，且?′(?2,−?2)在直线??上，
直线??的斜率存在并且不为0，故直线?′?斜率存在且不为0，
?1
? +1
其中?(−1,0)，??? = ??′?，即
1
−?2
= ?2+1，
所以(?2 + 1)?1 =−?2(?1 + 1)，其中?1 = ??1 +?,?2 = ??2 +?，
所以(?2 + 1)(??1 + ?) =−(??2 + ?)(?1 + 1)，2??1?2 +(? + ?)(?1 + ?2) +2? = 0，
将?
+ ?
= 8?? ,? ?
= 4?2−12代入可得
12−3+4?2 1 2
3+4?2
2?4?2−12−(? + ?) 8?? +2? = 0，化简得? = 4?，代入4?2−?2 +3 > 0中，
3+4?2
21
3+4?2
11
4
? < ，即−
2
< ? < 2且? ≠ 0，
所以直线??方程为? = ?? + 4? = ?(? + 4)，直线??过定点(−4,0)；
(??)由题意得?(2,0)，直线??过点?(−2,2)，设直线??为?−2 = ?(? + 2)，联立?2 + ?2 = 1得(4?2 + 3)?2 +16?(? + 1)? + 16?2 +32? + 4 = 0，
43
8
? = 256?2(? + 1)2−4(4?2 + 3)(16?2 + 32? + 4) > 0，故24? + 3 < 0，解得? < −1，
设?(?1,?1),?(?2,?2)，
则?
+ ?
= 16?(?+1),? ?
= 16?2+32?+4，
12−
4?2+31 2
4?2+3
?−0
?1−0
直线??为? =−?，直线??为
?−2
=，
?1−2
联立直线??与直线??得?
= 2?1，同理可得?? = 2?2，
??1+?1−2
?2+?2−2
| 2?1 |||
|??| = |??| =
?1+?1−2 =
?1 ?2+?2−2 ，
|??||??|| 2?2 ||?2 ?1+?1−2 |
?2+?2−2
其中?1 = ??1 +2? + 2,?2 = ??2 +2? + 2，故|??| = |(??1+2?+2) (?+1)?2+2? |
|??|
|(??2+2?+2) (?+1)?1+2? |
|?(? + 1)?1?2 + 2?2?1 + 2(? + 1)2?2 + 4?2 + 4?|
= |?(? + 1)?1?2 + 2?2?2 + 2(? + 1)2?1 + 4?2 + 4?|
|?(? + 1)?1?2 + 2?2(?1 + ?2) + (4? + 2)?2 + 4?2 + 4?|
= |?(? + 1)?1?2 + 2?2(?1 + ?2) + (4? + 2)?1 + 4?2 + 4?|
将?
+ ?
= 16?(?+1),? ?
= 16?2+32?+4代入得
12−
4?2+31 2
4?2+3
|?(? + 1) 16?2 + 32? + 4 −2?2 16?(? + 1) + (4? + 2)? + 4?2 + 4?|
|??|
|??| =
4?2 + 3
16?2 + 32? + 4
4?2 + 32
16?(? + 1)
|?(? + 1)
16?(?+1) +2?2
4?2+3
(2?+1)|
16?(?+1) +2?1
4?2+3
(2?+1)|
|
4?2 + 3−2?2
|16?(?+1) +2?2|
4?2 + 3+ (4? + 2)?1 + 4?2 + 4?|
|1|
== 4?2+3
，(2? + 1 ≠ 0)，
|
由于?
+ ?
16?(?+1) +2?
4?2+3
= 16?(?+1)，所以|??| = |−?1−?2+2?2| = |−?1+?2| = 1，
12−
4?2+3
|??|
|−?1−?2+2?1|
|?1−?2|
当2? + 1 = 0时，直线??为? =
1? + 1，
−2
联立?2 + ?2 = 1得4?2−4?−8 = 0，即?2−?−2 = 0，解得? =−1或2，
43
3
当? =−1时，? = 2，当? = 2时，? = 0，即?,?其中一个点坐标为(2,0)，
= 1
与?(2,0)重合，不合要求，综上，|??|．
|??|
19.【详解】(1)?(0) = tan0−sin0−0 = 0，?(?) = sin?−sin?−??3，
cs?
?′(?) = cs2?+sin2?−cs?−3??2 = 1 −cs?−3??2，
cs2?cs2?
故?′(0) =1
cs20
−cs0−0 = 1−1 = 0，
故曲线?(?)在? = 0处的切线方程为? = 0；
π
2
(2)对任意? ∈ 0,，都有?(?) ≥ 0，
其中?(0) = 0，?′(0) = 0，
令?(?) = ?′(?) = 1 −cs?−3??2，
cs2?
则?′(?) = 2sin? + sin?−6??，?′(0) = 0，
cs3?
令ℎ(?) = ?′(?) = 2sin? + sin?−6??，
cs3?
则ℎ′(?) = 2+4sin2? + cs?−6?，其中ℎ′(0) = 2 + 1−6? = 3−6?，
cs4?
′1
令ℎ (0) ≥ 0，即3−6? ≥ 0，解得? ≤ 2，
1
下面证明? ≤ 2时，?(?) ≥ 0在? ∈
0,
上恒成立，
π
2
?(?) = tan?−sin?−??3 ≥ tan?−sin?−1?3，
2
π
2
令?(?) = tan?−sin?−1?3，? ∈ 0,
2
，注意到?(0) = 0，
则?′(?) = 1 −cs?−3?2，注意到?′(0) = 0，
cs2?2
令?(?) = ?′(?)，则?′(?) = 2sin? + sin?−3?，注意到?′(0) = 0，
cs3?
令?(?) = ?′(?)，则?′(?) = 6sin2? +2
+ cs?−3，
cs4?cs2?
> 0? ∈
其中6sin2?在0,
cs4?
上恒成立，令? = cs? ∈ (0,1)，?(?) = 2 +?−3，
π
2
?2
故?′(?) = −4 +1 = ?3−4 < 0，故?(?) = 2 +?−3在? ∈ (0,1)上单调递减，
?3
?3
?2
其中?(1) = 2 + 1−3 = 0，故?(?) > 0在? ∈ (0,1)上恒成立，
π
2
故 2 + cs?−3 > 0在? ∈
2 0,
cs ?
上恒成立，
π
2
故?′(?) = 6sin2? + 2 + cs?−3 > 0在? ∈ 0,
上恒成立，
cs4?cs2?
π
2
故?(?) = ?′(?)在? ∈ 0,
上单调递增，
π
2
故?′(?) > ?′(0) = 0，故?(?) = ?′(?)在? ∈ 0,
上单调递增，
?′(?) > ?′(0) = 0，故?(?) = tan?−sin?−1?3在? ∈ 0,
2
上单调递增，
π
2
?(?) > ?(0) = 0，故?(?) ≥ ?(?) > 0，
11
2
所以? ≤ 2，?的最大值为；
π
2
(3)令?? = tan??，则?1 = tan?1,??+1 = tan??+1，
?1,?2, ⋅⋅⋅ ,?2025均大于0，设?1,?2, ⋅⋅⋅ ,?2025
∈ 0,，
因为?
?+1
= ?1+?? ，1 ≤ ? ≤ 2025，
1−?1??
所以tan?
?+1
= tan?1+tan??
π
2
1−tan?1tan??
= tan(?1
+ ??
)，1 ≤ ? ≤ 2025，
显然?1
+ ??
∈ 0,
，1 ≤ ? ≤ 2025，若?1
+ ??
∈ π ,π ，1 ≤ ? ≤ 2025，上式不成立，
2
由于? = tan?在? ∈ 0,
上单调递增，
π
2
故??+1 = ?1 + ??，??+1−?? = ?1，1 ≤ ? ≤ 2025，
故{??}为等差数列，首项和公差均为?1，故?? = ?1 +(?−1)?1 = ??1，1 ≤ ? ≤ 2025，故?? = tan??1，1 ≤ ? ≤ 2025，
? = ?
??
tan??1
tan2??1+1
−= tan?? −
= tan?? −sin?? ，1 ≤ ? ≤ 2025
?2+1
?
??111
由(2)知，tan?? −sin?? > 1(?? )3，
1121
所以?
> 1(?? )3，1 ≤ ? ≤ 2025，
?21
1111
? + ? +⋅⋅⋅ + ?> (? )3 + (2? )3 +⋅⋅⋅ + (2025? )3 = ?3(13 + 23 +⋅⋅⋅ + 20253)
1220252121
2025×2026
2
1 32
212 1
= 2?1，
因为?9999 > 0,?10000 < 0，所以tan9999?1 > 0,tan10000?1 < 0，
所以9999?1 2，
π
< ?1 2200003
= 4 ×
2×200003 ，
其中(2025×2026)2 > (2000×2000)2 = 1.6×1013 = 1，
2×200003
1.6×1013
1.6×1013
所以?1
+ ?2
+ ⋅⋅⋅ + ?2025
π3．
>
4