2025-2026学年四川省成都市锦江区田家炳中学九年级上学期10月考数学试题

这是一份2025-2026学年四川省成都市锦江区田家炳中学九年级上学期10月考数学试题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2x2﹣y+1＝0B．x﹣＝0C．x2﹣1＝0D．2x2﹣2x(x+7)＝0
2．如图，直线，直线m，n分别与直线a，b，c相交于点A，B，C和点D，E，F，若，，，则（ ）
A．B．C．8D．
3．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m
B．30cm，20cm，90cm，60cm
C．1cm，2cm，3cm，4cm
D．2cm，3cm，4cm，5cm
4．如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点，则AB的长是（ ）
A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm
5．方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．两根异号
6．如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求道路的宽度．若设道路的宽度为x m，则x满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．在比例尺是1：4000的成都市城区地图上，位于锦江区的九眼桥的长度约为3cm，它的实际长度用科学记数法表示为（ ）
A．12×103cmB．1.2×102mC．1.2×104mD．0.12×105cm
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形
二、填空题
9．已知，则 ．
10．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ．
11．在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的概率稳定在，则口袋中白球的有 个．
12．已知菱形的一个内角为，其中较长的对角线为，则另一条对角线的长为 ．
13．如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧．交于点，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若．则 ．
三、解答题
14．计算：
(1)
(2)
15．已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值．
16．校园文化是学校的灵魂，实外西区校长肖明华推出《读100本名著》、《听100首名曲》、《赏100幅名画》、《懂100个名人》每一系列文化活动，为了解学生对这些文化活动的喜爱情况，我校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查，被调查的学生必须从《读100本名著》（记为A）、《听100首名曲》（记为B）、《赏100幅名画》（记为C）、《懂100个名人》（记为D）中选择自己最喜爱的一个栏目，它可以写出一个自己喜爱的其他校园文化栏目（记为E），根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答句题：
(1)在这项调查中，共调查了__________名学生；
(2)将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为__________；
(3)在选择“E”的学生中抽取2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生参加座谈会，请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率．
17．如图，在平行四边形中，平分，交边于点E，，交于点P，点G是边的中点，连接．且，与交于点M，过点M作于点H．
(1)求证：四边形是菱形：
(2)若，求的长；
(3)求证：．
18．中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点．
(1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：；
(2)如图2，若，，求的值；
(3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系．
四、填空题
19．设和是一元二次方程的两个根，则 ．
20．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分），若图1中的四个直角三角形的较长直角边为7，较短直角边为4，现随机向图2大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ；
21．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则m的值为 ．
22．定义：在平面直角坐标系中，若矩形的对角线与轴平行，且对角线在直线上，则称矩形ABCD为“率矩形”．如图，矩形为“率矩形”，点，且直线平分该矩形的面积，则点坐标为 ．
23．如图，在等边中，，E，F分别是边、上的动点，且满足，则的最小值为 ；
五、解答题
24．备受瞩目的2023成都世界科幻大会将于10月18日启幕．这是世界科幻大会第一次走进中国，成都也将成为亚洲第二个、中国首个举办世界最高规格科幻盛会的城市．某书店正在销售A、B两种科幻书，它们的进价和售价如表，若老板进A种科幻书200本和B种科幻书300本，则需资金18000元；若老板进A种科幻书300套和B种科幻书400本，则需要资金25000元．
(1)求A、B两种科幻书的进价；
(2)该书店打算在今年10月把科幻书A进行降价促销，若按原价销售则平均每天卖出6本，经调查发现每降价1元，平均每天可多售3本，将销售价定为每本多少元时，才能使科幻书A平均每天的销售利润为225元？
25．如图，是的对角线，，，．动点从点出发，以的速度沿运动到终点，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，当一点到达终点时另一点也停止运动．过点作，交射线于点，连接，以与为边作．设点的运动时间为，与重叠部分图形的面积为．
(1)_____（用含的代数式表示）；
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)求与之间的函数关系式．
26．y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7）且与坐标轴相交于点、B两点．
（1）求一次函数的解析式．
（2）如图，点P是直线AB上一动点，以OP为边作正方形OPNM，连接ON、PM交于点Q，连BQ，当点P在直线AB上运动时，的值是否会发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在平面内有一点H，当以H、N、B、P为顶点的四边形为菱形时，直接写出点H的坐标．
种类
A
B
进价（元/套）
a
b
售价（元/套）
48
66
《四川省成都市田家炳中学2025-2026学年九年级上学期10月考数学试题》参考答案
1．C
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
【详解】A、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程属于分式方程，故本选项错误；
C、x2﹣1＝0符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程化简后为﹣14x＝0，它不是关于x的一元二次方程，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义：形如的式子，其中a≠0.
2．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．
3．B
【分析】本题主要考查相似图形，根据四条线段成比例的定义逐项判断即可．
【详解】A、，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意；
B、，各组线段的长度成比例，该选项符合题意；
C、，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意；
D、，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意．
故选：B
4．A
【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质可得答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD=3，

∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，
故选：A.
5．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，计算出，即可得解．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∴方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：B．
6．C
【分析】设道路的宽度为xm，根据“若使每一块草坪的面积为144m2”可得草坪的总面积为144×6m2，草坪的总面积＝矩形场地的面积−三条道路的面积和＋三条道路中重叠的两个小正方形的面积，据此可得出关于道路宽度的方程．
【详解】解：设道路的宽度为x m，由题意得：
40×26−2×26x−40x＋2x2＝144×6．
故选C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
7．B
【分析】先根据比例尺的定义表示出实际的长度是：3×4000cm，再统一单位，然后用科学记数法表示即可．
【详解】3×4000＝12000（cm）
12000cm＝1.2×104cm
12000cm＝120m＝1.2×102m．
故选：B．
【点睛】本题考查的是科学记数法：是指把一个大于10或者小于1的整数记为的形式，其中1 ≤| a| ＜10.
8．C
【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据轴对称和中心对称的定义对D进行判断．
【详解】A、一组对边平行，且相等的四边形是平行四边形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直，且相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；
C、四条边相等的四边形是菱形，所以C选项正确；
D、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，所以D选项错误．
故选C．
9．
【分析】本题主要考查比例的性质；根据已知条件设，，再代入求出答案即可．
【详解】解：∵，设，，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以，，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是明确当根的判别式大于0时，一元二次方程有两个不相等的实数根．
11．12
【分析】由摸到红球的概率稳定在附近，估计摸到红球的概率为，设袋中白球的个数为x，通过列方程进而求出白球个数即可．
【详解】解：设袋中白球的个数为x，根据题意，得：
，
解得，
经检验是分式方程的解，
所以口袋中白球可能有12个，
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．
12．5
【分析】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据菱形的性质可得，，进而根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5．
13．/22度
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．利用基本作图得到由垂直平分，所以，则利用互余可计算出，设与相交于点，如图，根据矩形的性质得到，所以，然后计算即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
∵，
，
设与相交于点，如图，
四边形为矩形，
，
∴，
．
故答案为：．
14．(1)
(2)
【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，绝对值，并分母有理化，再计算加减即可；
（2）先移项，再根据因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
或
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，分母有理化，二次根式的加法，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．,
【详解】试题分析：设另一根为x1,由根与系数的关系得,两根和为4,求得x1,,再根据两根积求得常数项c.
试题解析：设另一根为x1,由根与系数的关系得:
考点：根与系数的关系.
16．(1)150
(2)图见详解，
(3)刚好选到同性别学生的概率为
【分析】本题主要考查条形与扇形统计图及概率，熟练掌握条形及扇形统计图和概率的求解是解题的关键；
（1）根据统计图可知最喜欢A栏目所占百分比和人数，然后问题可求解；
（2）根据（1）可知被调查的人数为150名，然后利用总人数减去A、C、D、E的人数，进而求出“B”所占百分比，最后问题可求解；
（3）根据列表法可进行求解概率．
【详解】（1）解：由统计图可知：
共调查的学生人数为（名）；
故答案为150；
（2）解：由统计图可知：“D”的人数为（名），
∴“B”的人数为（名），
补全条形统计图如下：
∴扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为；
故答案为；
（3）解：由题意可列表如下：
共有12种情况，其中刚好选到同性别学生的有4种情况，所以刚好选到同性别学生的概率为．
17．(1)见详解
(2)
(3)见详解
【分析】（1）由在平行四边形中，，可得四边形是平行四边形，又由平分，易得是等腰三角形，继而证得四边形是菱形；
（2）由，可得，即是等腰三角形，又由，可得，继而求得的长；
（3）首先连接交于点，易得是等边三角形，继而可得，，则可证得结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，
，
∵，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：，，
，
，
，
∴，
四边形是菱形；
∴；
（3）证明：连接交于点，
是中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键．
（1）先证点，点分别是线段的中点即可求解；
（2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值；
（3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系．
【详解】（1）证明：点是中点，
，
交于点，
，
又点是中点，
，
，
；
（2）如图2，过点作交于，
，
，
，
，
，即，
，
，即；
（3）如图3，过点作交于，
，
，
点是中点，
，
，
，
，
，
．
19．2019
【分析】本题主要考查一元二次方程的根、根与系数的关系、代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根及根与系数的关系是解题的关键．
由题意易得，，然后再对代数式变形后整体代入求解即可．
【详解】解：设和是一元二次方程的两个根，则，，
∴，
∴．
故答案为：2019．
20．
【分析】此题主要考查了几何概率及勾股定理，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，
∴，
，
则中间小正方形的面积为，
小正方形的外阴影部分的，
阴影部分的面积为，
针尖落在阴影区域的概率为．
故答案为：．
21．1
【分析】根据一元二次方程根于系数的关系，求出，，再根据，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程两根之和为，两根之积为．
22．
【分析】本题考查矩形的性质及一次函数图像上点的坐标特征，得出点在直线和上是解题关键，根据矩形的性质得出，根据轴得出点点、的纵坐标都为，根据直线平分该矩形的面积可得点在直线上，根据矩形为“率矩形”可得点直线的解析式为，列方程可求出的值，即可得答案．
【详解】解：∵为矩形，
∴，
∵轴，，
∴点、的纵坐标都为，
∵直线平分该矩形的面积，
∴点在直线上，
∴，
解得：，
∴，
∵矩形为“率矩形”，
∴直线的解析式为，点在直线上，
∴，
解得：，
∴，，
∵，轴，
∴．
故答案为：
23．
【分析】取、的中点、，连接、，则可得，，因此转而求的最小值；过作，且，连接、，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值．
【详解】解：如图，取、的中点、，连接、，

∵是等边三角形，
，，
根据三角形中位线可得，
∴，
的最小值转化为求的最小值，
在等边三角形中，，
∴，，
，，
，
，
；
过作，且，连接、，
则，
，
，
，
当点在线段上时，取得最小值，
且最小值为线段的长，
，
在中，由勾股定理得：，
的最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在．
24．(1)A的进价为30元/本，B的进价为40元/本
(2)每本45元或35元
【分析】（1）根据进A种科幻书200本和B种科幻书300本，则需资金18000元；进A种科幻书300套和B种科幻书400本，则需要资金25000元，列出方程组进行求解即可；
（2）设A种书降价x元，根据题意，列出一元二次方程，求出的值，进一步计算即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
解得：，
∴A的进价为30元/本，B的进价为40元/本．
（2）设A种书降价x元，
，
∴，；
或；
答：销售价定为每本45元或35元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组和一元二次方程．
25．(1)
(2)秒
(3)
【分析】（1）先根据点P的运动速度和时间可得PB的长，从而得的长；
（2）根据，列方程可得结论；也可以根据平行四边形的性质可得，据此列出方程求出t的值即可；
（3）分三种情况分别求出S与t的函数关系式即可：①当时，与重叠部分为矩形；②当时，与重叠部分为梯形；③当时，与重叠部分为五边形．
【详解】（1）解：由题意得： ，
∵，
∴；
故答案为∶；
（2）解∶ 如图1，当点F落在边上，
由题意得：，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
即，
∴，
则当点F落在边上时，t的值秒；
（3）解∶ ①当时，Q在上，如图1，过P作于M，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴；
②当时，Q在上，如图3，过Q作于H，
∵，
∴），
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
③当时，如图4，Q在上，
同②知：，
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴，
综上，S与t之间的函数关系式为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，平行四边形的动点问题，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．
26．（1）y＝x+4；（2）的值不变，理由见解析；（3） 点H的坐标为或或．
【分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题．
（2）如图1中，结论：的值不变．连接BM，设PB交OM于G．想办法证明∠PBM＝90°，利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（3）分三种情形：如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，如图2﹣2中，当点P与A重合时．得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原点O重合．如图2﹣3中，当四边形PBNH是菱形时，分别求解即可解决问题．
【详解】解：（1）∵y＝kx+b的图象经过点（﹣2，2）、（3，7），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+4．
（2）如图1中，结论：的值不变．
理由：连接BM，设PB交OM于G．
∵直线y＝x+4与坐标轴相交于点、B两点，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∵四边形POMN是正方形，
∴∠POM＝∠AOB＝90°，OM＝OP，
∴∠AOP＝∠BOM，
∵OA＝OB，
∴△AOP≌△BOM（SAS），
∴∠OPG＝∠GMB，
∵∠OGP＝∠BGM，
∴∠GBM＝∠GOP＝90°，
∴QM＝QP，
∴QB＝QP＝QM，
∵△POQ是等腰直角三角形，
∴OP＝QP，
∴．
（3）如图2﹣1中，当四边形PBNH是菱形时，
∵BH垂直平分线段PN，BH垂直平分线段OM，
∴BM＝OB＝4，
∴M（﹣2，4+2），
∴P（﹣4﹣2，﹣2），
∴BN＝BP＝，
∴PH＝BN＝，
∵QB＝QN＝OQ，
∴∠NBO＝90°，
∴BN∥OA∥PH，
∴H（﹣4﹣2，﹣2）．
如图2﹣2中，当点P与A重合时，得到四边形PNMO是正方形（是菱形），此时H与原点O重合，H（0，0）．
如图2﹣3中，当四边形PBNH是菱形时，设PH交OB于J，在JO上取一点F，使得PJ＝JF．
∵BP＝BN，
∴∠BPN＝∠BNP＝22.5°，
∵∠OPN＝90°，∠PAO＝45°，
∴∠APO＝67.5°，
∴∠AOP＝67.5°，
∴∠POJ＝22.5°，
∵∠PFJ＝∠FPO+∠POF＝45°，
∴∠FPO＝∠POF＝22.5°，
∴PF＝OF，设PJ＝BJ＝JF＝x，则PB＝BN＝PF＝OF＝x，
∴2x+x＝4，
∴x＝4﹣2，
∴BN＝PH＝4﹣4，P（2﹣4，2），
∴H（6﹣8，2），
综上所述，满足条件的点H的坐标为（﹣4﹣2﹣4，﹣2）或（0，0）或（6﹣8，2）．
【点睛】本题考查的是一次函数与几何的综合，难度系数较大，第三问比较容易忽略的点在于当点P与A重合时．得到四边形PNMO是正方形，此时是特殊的菱形.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
C
B
B
A
B
C
B
C


男1
男2
女1
女2
男1
/
（男1，男2）
（男1，女1）
（男1，女2）
男2
（男2，男1）
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（男2，女1）
（男2，女2）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）
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（女1，女2）
女2
（女2，男1）
（女2，男2）
（女2，女1）
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